И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Объёмы таких цилиндрических колец равны соответственнограни функции2T(VOY = π ∫ x 2 (t )y ′(t )dt = π ∫ 2t − t 2) (4 − 3t )dt =220T02Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл290()= −π ∫ 3t 6 − 12t 5 + 8t 4 + 16t 3 − 16t 2 dt =02⎛ 3t 78t 516t 3 ⎞⎟ == −π ⎜⎜− 2t 6 ++ 4t 4 −53 ⎟⎠ 0⎝ 7⎛ 128 ⋅ 19 256⎞ 64π (куб.ед).= π⎜−− 64 ⎟ =5⎝ 21⎠ 105Для решения задачи также можно было воспользоваться формулой (13)(пример 12 ниже).7.5.2. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно осиOx и вращается вокруг оси Oyyπmi (xi2+1 − xi2 ) и πM i (xi2+1 − xi2 ) .При вращении вокруг Oy F и ступенчатых фигур PT и QT образуютсятело FOY и два тела в виде объединения цилиндрических колец, одно из которых ( POY ) содержится в FOY , а другое ( QOY ) – содержит в себе FOY .Объёмы этих тел равны соответственноn −1y=y(x)yТеорема 2. Пусть функция= f ( x ) непрерывна на сег-ментеx0ab[a, b] .Тогда тело FOY ,образованное вращением вокругоси Oy криволинейной трапецииi =0Доказательство.
Выполним произвольное разбиение T сегментаa = x0 < x1 < x 2 < ... < x n −1 < x n = b ,[2], с.254.) и V (QOYn −1()) = π ∑ M i2 xi2+1 − xi2 .i =022Тогдаn −1n −1i =0n −1i =0n −1i =0i =0V ( POY ) = 2π ∑ mi xi Δxi + π ∑ mi Δ2 xi ,V (QOY ) = 2π ∑ M i xi Δxi + π ∑ M i Δ2 xi .(8)[a, b] :Легко видеть, что первые слагаемые в этих выражениях представляютсобой соответственно нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для функции2πxy x .()Обозначим через Δ T диаметр разбиения T и устремим Δ T к нулю.
Поскольку функция102i2 xi (xi +1 − xi ) + (xi +1 − xi ) = 2 xi Δxi + Δ2 xi .ba−x2кубируемо, и его объём VOY может быть вычислен по формуле102i +1Представим разность xi +1 − xi в видеF = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y (x ), y ∈ C [a, b]},VOY = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx .(V ( POY ) = π ∑ m x2i2πxy(x ) интегрируема на сегменте [a, b] , то§7. Вычисление объёмов телn −1291n −1bi =0alim 2π ∑ mi xi Δxi = lim 2π ∑ M i xi Δxi = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx .ΔT →0ΔT →0i =0Далее, в силу оценокn −1π ∑ mi Δ x i < Δ T π2i =0и интегрируемостиπy ( x )n −1∑ m Δxi =0наin −1иiπ ∑ M i Δ xi < Δ T π2i =0[a, b]n −1∑Mi =0iΔxin −1bi =0alim π ∑ mi Δxi = lim π ∑ M i Δxi = π ∫ y ( x )dx < ∞ ,ΔT →0i =0для вторых слагаемых имеем:n −1ΔT →0i =0i =0Следовательно, тело FOY кубируемо и его объём VOY вычисляется поформуле (8), что и требовалось доказать.Пример 9. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oyплоской фигуры, ограниченной линиями y = 2 x − x и y = 0 .Решение.
По формуле (8) имеyем:2bVOY = 2π ∫ x ⋅ y (x )dx =a12()= 2π ∫ x 2 x − x 2 dx =0x0F = {( x; y ) 0 ≤ −b ≤ x ≤ −a,0 ≤ y ≤ y (− x ), y (− x ) ∈ C[− b,−a ]},симметричных друг другу относительно этой оси, равны. Выполняя в интеграле (8) замену t = − x , получим, что−ab−baVOY = 2π ∫ (− x) ⋅ y (− x )d (− x) = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx .(9)22(F = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y ( x ), y ( x ) ∈ C[a, b]},так и в случаеF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b ≤ 0,0 ≤ y ≤ y ( x ), y ( x ) ∈ C[a, b]}.Замечание 10 (случай неположительной функцииn −1lim π ∑ mi Δ2 xi = lim π ∑ M i Δ2 xi = 0 .ΔT →0иСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интегралФормулой (9) можно пользоваться как в случаеn −1ΔT →0292)= 2π ∫ 2 x 2 − x 3 dx =02⎛ 2x3 x 4 ⎞8π= 2π ⎜⎜− ⎟⎟ =4 ⎠03⎝ 3(куб.ед).Замечание 9 (случай a < b ≤ 0 ). Отметим, что объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Oy трапецийF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b ≤ 0,0 ≤ y ≤ y ( x ), y ( x ) ∈ C[a, b]}y( x ) ). Легко видеть,что тела, полученные при вращении вокруг оси Oy каждой из двух криволинейных трапецийF = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y (x ), y ∈ C [a, b]}иF− = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,− y ( x ) ≤ y ≤ 0, y ∈ C [a, b]}симметричны друг другу относительно оси Ox , поэтому их объёмы равны.В подобных ситуациях для получения формулы, пригодной в любом издвух случаев, когда функция y x не меняет знака на a, b , в подынте-()гральном выражении в формуле (8) достаточно заменить[ ]y( x ) на y ( x ) .Таким образом, имеем, что для криволинейных трапеций любого из видовF = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y (x ), y ∈ C [a, b]}илиF = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b, y ( x ) ≤ y ≤ 0, y ∈ C [a, b]} ,(не пересекающих оси вращения Oy ), верна следующая формула для вычисления объёма соответствующего тела вращения:bVOY = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx .(10)aОбобщая, получим, что как в условиях замечания 9, так и в условиях замечания 10 для вычисления объёма тела вращения можно пользоваться формулойbVOY = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx .a(11)§7.
Вычисление объёмов тел293Замечание 11 (случай криволинейной трапеции общего вида, заданнойстандартно относительно оси Ox ).Объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции любого издвух видовСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл294Пусть, кроме того, график функциипомощью уравненийx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T ,()() [ ]x(T0 ) = b , x(T ) = a ,где функции x(t ) и y(t ) непре-yF = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ); y1 , y 2 ∈ C [a, b]}y=y(x)илиF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b ≤ 0, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ); y1 , y 2 ∈ C [a, b]}вокруг оси Oy , вычисляется по формулеb()VOY = 2π ∫ x y 2 ( x ) − y1 (x ) dx .рывнодифференцируемы наT0 , T , и при изменении пара-[(12)AПример 10. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oy3(x ≥ 0) .Решение.
Данная фигура является стандартной относительно оси{}F = ( x; y ) 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 x − x ,3Ox :следовательно,yb()=xVOY = 2π ∫ x y 2 ( x ) − y1 ( x ) dx =ya1()= 2π ∫ x 2 x − x 3 − x dx =01x0= 2π ∫04πx − x dx =(куб.ед).15(24)Baaплоской фигуры, ограниченной линиями y = x и y = 2 x − xy( x ) допускает параметризацию сметра t от T0 до T(x(t ); y(t ))точкадвижется по кривойтак, что криволинейная трапецияостаётся слева (т.е. от точки, см. рисунок).b xB( x(T0 );0) к точке A( x(T );0)]Перейдём в подынтегральном выражении в формуле (8) к переменнойинтегрирования t , и получим следующую формулу для вычисления объёматела вращения для этого случая:bT0TaTT0VOY = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx = 2π ∫ x(t ) y (t )x ′(t )dt = − 2π ∫ x(t ) y (t )x ′(t )dt .Обобщая последнюю формулу на случаи криволинейных трапеции любого из видовF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b ≤ 0,0 ≤ y ≤ y ( x ), y (a ) = y (b ) = 0},F = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b, y ( x ) ≤ y ≤ 0, y (a ) = y (b ) = 0} ,F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b ≤ 0, y ( x ) ≤ y ≤ 0, y (a ) = y (b ) = 0} ,получим1Замечание 12 (случай криволинейной трапеции, расположенной стандартно относительно оси Ox и ограниченной кривой, заданной параметрически).Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком0 ≤ a < b функциинепрерывной и неотрицательной на сегменте a, b[ ] ()y = y( x ) , обращающейся на концах этого сегмента в нуль, и снизу – отрезком оси Ox от a до b :F = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y ( x ), y (a ) = y (b ) = 0}.bTaT0VOY = 2π ∫ x ⋅ y ( x )dx = − 2π ∫ x(t ) y (t ) x ′(t )dt .(13)Пример 11.
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oyплоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоидыy = a(1− cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) и y = 0 .Решение. VOY = − 2πT∫ x(t )y(t ) x′(t )dt =T0x = a(t − sin t ) ,§7. Вычисление объёмов тел295Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл2962πVOY = 2π ∫ x(t ) y (t )dx(t ) − 2π ∫ x(t ) y (t )dx(t ) =02π11= 2π ∫ a(t − sin t )a(1 − cos t )a(1 − cos t )dt =022()()= 2πa 3 ∫ (t − sin t )(1 − cos t ) dt == −2π ∫ 2t − t 2 4t − t 3 2(1 − t )dt =t13⎛3⎞= 2πa 3 ∫ ⎜ t − 2t cos t + cos 2t − sin t + sin 2t − sin t cos 2t ⎟dt .2222⎠0⎝= 4π ∫ t 6 − 3t 5 − 2t 4 + 12t 3 − 8t 2 dt =2002πЛегко убедиться в том, что интеграл2π⎛t⎞13∫ ⎜⎝ 2t cos t + 2 cos 2t − 2 sin t + sin 2t − 2 sin t cos 2t ⎟⎠dt = 00(сделайте это самостоятельно), поэтому2⎛3 ⎞⎛3 ⎞VOY = 2πa ∫ ⎜ t ⎟dt = 2πa 3 ⎜ t 2 ⎟ = 6π 3 a 3 (куб.ед).2 ⎠⎝4 ⎠00⎝Замечание 13 (случай, когда вращаемая вокруг оси Oy область ограничена замкнутой кривой, заданной параметрически).Пусть дана произвольная область F , не пересекающая оси Oy и ограниченная непрерывной кусочно-гладкой замкнутой кривойL = {( x; y ) x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [T0 , T ]; x(T0 ) = x(T ), y (T0 ) = y (T )},⎛ 27 26⎞ 64π258(куб.ед).= 4π ⎜⎜ −− 2 ⋅ + 3 ⋅ 2 4 − ⋅ 2 3 ⎟⎟ =253⎝ 7⎠ 105Для решения задачи можно было воспользоваться формулой (7) (см.
пример 8 выше).7.5.3. Вращение вокруг оси, не совпадающей ни с однойиз координатных осейЕсли тело образовано вращением области F вокруг произвольной оси, непересекающей область F и не являющейся одной из осей координат, то длявычисления объёма полученного тела необходимо сделать замену системыкоординат так, чтобы в новой системе одна из координатных осей совпала сосью вращения. В частности,а) если осью вращения является прямая y = l , не пересекающая областьF = {(x; y ) a ≤ x ≤ b, f1 ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x )},где при изменении t от T0 до T кривая L проходится так, что область Fостаётся слева.Объём тела, полученного вращением данной области вокруг оси Oy , вычисляется по формуле (13), которая остаётся справедливой и в этом случае.то объём Vl тела Fl , полученного вращением F вокруг этой оси, вычисляется по формулеbVl = π ∫ ( f 2 − l ) 2 − ( f 1 − l ) 2 dx .Пример 12. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oyплоской фигуры, ограниченной петлёй кривой x = 2t − t , y = 4t − t .Решение.
Определим пределы интегрирования в формуле (13). Так какx 0 = x 2 = 0 и y 0 = y 2 = 0 , то начало координат – точка самопересечения данной кривой, а, значит, при изменении значений параметра t в2()()3()x(t ) дополнительно определяем, что при возрастании t от 0 до 1 величина x(t ) такжевозрастает от 0 до 1, а при дальнейшем возрастании t от 1 до 2 значениеx(t ) убывает от 1 до 0. Тогда, учитывая неотрицательность x(t ) , y(t ) , по-пределах от 0 до 2 кривая делает петлю. Далее, из вида функциилучим)2π2π3()(0(14)aЭта формула получается переносом осей координат так, чтобы осьновой осьюl стала⎧x = xOx1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
