И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Таким образом,dVOX = 2π ∫ y ( x 2 ( y ) − x1 ( y ))dy ;FЗапишем параметрические уравнения кривой (в качестве параметра берётся угол ϕ ):3x=x (y)dот 0 доТогда для объёма получаемbc ≤ y ≤ d , x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y ) ,x1 , x 2 ∈ C [c, d ].dx1 (здесь учтено, что при возраста-⎞⎛ax1 (ϕ ) = a (1 + cos ϕ )sin ϕ , y1 = −⎜ + a(1 + cos ϕ ) cos ϕ ⎟ .⎝4⎠xСтандартна относительно Oy :0нииay=y1 (x)2.abFx1 = y , y1 = − x −bVOX = π ∫ y 22 (x ) − y12 ( x )dx ;VOY = 2π ∫ x ( y 2 ( x ) − y1 ( x ))dx ;y=y2(x)Решение.
Перейдём к новым прямоугольным координатам по формуламОбъём тела вращения2FaxbVOY = −2π ∫ x(t ) y (t ) x ′(t )dt ;T0§7. Вычисление объёмов телСтандартна относительно осиOy и прилегает к Oy ; криваяобходится в положительном направлении и задана параметрически: x = x (t ), y = y (t ) ,y (T0 ) = c, y (T ) = d .TVOX = −π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt ;7.VOY = π ∫ x 2 (t ) y ′(t )dt ;βVOP =проходится так, что сектор остаётся слева):TVOX = 2π ∫ x(t ) y (t ) y ′(t )dt ;dКриволинейный сектор0≤α ≤ϕ ≤ β ≤π ,T0VOY = −2π ∫ x(t ) y (t ) x ′(t )dt ;r (ϕ ) ∈ C (1) [α , β ] .ϕ=αxOЗамкнутый контур, ограничивающий область, задан параметрически и обходится в положительном направлении:x = x(t ), y = y (t ) ,x(t ), y (t ) ∈ C (1) [T0 , T ] ,x(T0 ) = x(T ) , y (T0 ) = y (T ) .yVOX= −π ∫ y (t )x ′(t )dt ;2T0TVOY = π ∫ x 2 (t ) y ′(t )dt ;T0TVOX = 2π ∫ x(t ) y (t ) y ′(t )dt ;8.Стандартная относительно осиOxобластьa ≤ x ≤ b,y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) , вращаетсявокруг не пересекающих её прямых y = l или x = p .y=y2(x)Fy=y1 (x)aβVOY = π ∫ x 2 (ϕ ) y ′(ϕ )dϕ ,−π 2 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π 2,α0 ≤ r ≤ r (ϕ ) ,где x(ϕ ) = r (ϕ ) cos ϕ ,вращается вокруг оси ϕ = π 2y (ϕ ) = r (ϕ )sin ϕ ,(кривая r = r (ϕ ) проходитсяr (ϕ ) ∈ C (1) [α , β ] .так, что сектор остаётся слева):TxyPКриволинейный секторT0F6.Tϕ=β5.где x(ϕ ) = r (ϕ ) cos ϕ ,FT0cαy (ϕ ) = r (ϕ )sin ϕ ,TF2π 2r (ϕ )sin ϕdϕ ;3 α∫0 ≤ r ≤ r (ϕ ) , вращается вокругβ2полярной оси (кривая r = r (ϕ ) V′OX = −π ∫ y (ϕ )x (ϕ )dϕ ,T0TT0yСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл308ϕ=β4.307bxVOY = −2π ∫ x(t ) y (t ) x ′(t )dt ;FT0ϕ=αbVl = π ∫ ( y 2 − l ) 2 − ( y1 − l ) 2 dx ;OPabV p = 2π ∫ ( y 2 − y1 ) x − p dx ;aОтметим, что приведённые формулы справедливы и для областей, не являющихся стандартными относительно любой из осей координат.§7. Вычисление объёмов тел30910. y = sin x , y = 0 (0 ≤ x ≤ π ) : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy ;Контрольные задания и задачидля самостоятельного решения к §7в) вокруг прямой y = −1 ; г) вокруг прямой y = 1 ; д) вокруг прямойЗадачи на вычисление объёмов по поперечным сечениям тел1. Найдите объём усечённого конуса, основания которого являются эллипсами с полуосями A, B и a, b , а высота равна h .2.
Найдите объём параболоида, полученного вращением параболыy = ax 2 вокруг оси Oy , если его основание равно S , а высота равна H .x2 y23. Найдите объём тела, ограниченного поверхностью+=1a2 z2(0 < z < a ) .4. Найдите объём тела, ограниченного поверхностями x + y + z = 1 ,2x = 0, y = 0, z = 0.5. Найдите объём шара радиуса R (через площадь поперечного сечения).6. Найдите объём тела, ограниченного плоскостями x = 1 , x = 3 , еслиплощадь его поперечного сечения обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, апри x = 2 площадь сечения равна 27.z7. Найдите объём цилиндрическогоклина, вырезанного из прямого кругового цилиндра, по его размерам, указанным на рисунке (задача Архимеда).8.
В цилиндрический стакан с водойhвложен параболоид вращения вершинойвниз. Основание и высота параболоидаa x совпадают с основанием и высотой цилиндра. Найдите объём оставшейся вaстакане воды, если радиус основанияyравен R , а высота равна h .Задачи на вычисление объёмов тел вращенияНайдите объёмы тел, ограниченных поверхностями, полученными привращении следующих кривых, заданных явным образом в прямоугольнойсистеме координат, вокруг указанной оси:2⎛ x ⎞39. y = b⎜ ⎟ (0 ≤ x ≤ a ) , вокруг оси Ox (нейлоид).⎝a⎠Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл310x = −1 .11.
y = cos x , y = 2 cos x , x = ± π 2 : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг осиOy .y = 0 (0 ≤ x < +∞ ) : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy .13. y = e , y = 0 , x = 0 , вокруг оси Oy .x14. y = e − 1 , y = 2 , x = 0 : а) вокруг оси Oy ; б) вокруг прямойy = 2.15. y = sec x , y = 0 , x = ± π 4 , вокруг оси Ox .216. y = x , y = 2 x , вокруг оси Ox .2217. y = x , x = y , вокруг оси Ox .318. y = x , x = 0 , y = 8 , вокруг оси Oy .12. y = e−x,−x19. y =20.21.22.23.x e x , x = 1 , y = 0 , вокруг оси Ox .y = x 2 2 , y = x 3 8 , вокруг оси Ox .y 2 = 2 px , x = p , вокруг оси Ox .y 3 − y = x , x = 0 : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy .xy = ach , x = ± a , y = 0 , вокруг оси Ox .a2⎛ x⎞y = h⎜ ⎟ , y = h (параболоид вращения), вокруг оси Oy .⎝a⎠125.
y = 2, y = 0 , x = ±1 : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси симx +1метрии; в) относительно прямой y = 1 .2226. y = 64 (x + 16 ) , x = 8 y , вокруг оси Ox .27. y = x(3 − x ) , y = x : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy ; в) вокругпрямой y = x .24.Найдите объёмы тел, ограниченных поверхностями, полученными привращении следующих кривых, заданных неявным образом в прямоугольнойсистеме координат, вокруг указанной оси:§7. Вычисление объёмов тел311234.y 2 = (x − 1) , x = 2 , вокруг оси Ox .y 3 = 4 x 2 , y = 2 , вокруг оси Oy .xy = 4 , x = 1 , x = 4 , y = 0 вокруг оси Ox .y 2 + x 4 = x 2 , вокруг оси Ox .x 2 + y 4 = y 2 , вокруг оси Oy .35.x 3 + y 3 = a 3 (a > 0 ) , вокруг оси Oy .30.31.32.33.36.общей частью круговб) вокруг прямой y =322x 2 + ( y − b ) = a 2 (0 < a ≤ b ) , вокруг оси Ox .2x2 y2−= 1 (гипербола), y = ±2b , вокруг оси Oy .a2 b2x2 y238.
2 + 2 = 1 (эллипс), вокруг оси Oy .ab39. Найдите объём шара радиуса R (как тела вращения).40. Найдите объём прямого кругового конуса с высотой, равной h , и радиусом основания R .41. Определите объём тора (тела, полученного вращением круга радиусаR вокруг не пересекающей его оси). Расстояние от центра круга до оси равно d .42. Найдите объём тела, полученного при вращении круга радиуса a относительно прямой, лежащей в плоскости круга и отстоящей от его центра нарасстояние b (b > a ) .43.
Дан круг радиуса a и прямая, лежащая в плоскости круга на расстоянии b от центра (0 < b < a ) . Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг этой прямой каждой из частей круга, на которые его делит даннаяпрямая.44. Найдите объём тела, полученного при вращении параболического сектора с основанием 2a и высотой H : а) вокруг основания; б) вокруг осисимметрии; в) вокруг касательной, проведённой через вершину сектора.45.
Найдите объём тела, полученного при вращении части эллипсаxy+ 2 = 1 , лежащей между прямыми y = h и y = −h2abвокруг вертикальной оси симметрии.x = t , y = t 2 , y = 4 , вокруг оси Oy .3249. x = t , y = t , x = ±1 , вокруг оси Ox .3350. x = a sin t , y = b cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy .3351.
x = a cos t , y = a sin t , вокруг прямой x = a .52. x = a sin t , y = a sin 2t : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy ; в)вокруг прямой x = a ; г) вокруг прямой y = a .53. x = a (t + sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) , y = 0 : а) вокругоси Ox ; б) вокруг оси симметрии; в) вокруг прямой y = 2a .54. x = 2a sin 2t , y = 2a cos t : а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy .48.22x 2 + y 2 = 2ax , x 2 + y 2 = 2ay : а) вокруг оси Ox ;x.Найдите объёмы тел, ограниченных поверхностями, полученными привращении следующих кривых, заданных параметрически в прямоугольнойсистеме координат, вокруг указанной оси:47.
x = a cos t , y = b sin t , вокруг оси Ox .37.2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл46. Найдите объём тела, полученного при вращении фигуры, являющейся= x 3 , x = 4 , вокруг оси Ox .3229. x = y , x = 0 , y = − 1 27 , y = 8 , вокруг оси Oy .28. 2 y312(0 < h < b ) ,55. Найдите объём тела, полученного при вращении области, ограниченной петлёй кривой x = a cos 2t , y = a cos 3t : а) вокруг оси Ox ; б) вокругпрямой x = a ; в) вокруг прямой x = − a .Найдите объёмы тел, образованных вращением областей, ограниченныхкривыми, заданными в полярных координатах, вокруг полярной оси:56.r = a (1 + sin 2 ϕ ) .57.r = a cos 2 ϕ .58. r = a sin 2ϕ .(0 ≤ ϕ ≤ π ) , ϕ = 0 , ϕ = π .59. r = ae60.
Найдите объём тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда r = aϕ (a > 0;0 ≤ ϕ ≤ π ) , вокруг полярной оси.2ϕРазные задачи на вычисление объёмов тел61. Пространственное тело Tr состоит из всех точек, находящихся на рас-стоянии не большем r от данного выпуклого многогранника S . Пусть V (r )V (r ).r → +∞ r 3– объём этого тела. Найдите lim314§ 8.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙВРАЩЕНИЯСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интегралПусть в трёхмерном пространстве введена декартова прямоугольная система координат Oxyz . Кривой поверхностью, или просто поверхностью, назовём множество всех точек M , координатыются уравнениямиx = x u, v , y = y u, v ,( )8.1. Понятие кривой поверхности и способы её задания.Гладкая поверхность. Одно- и двусторонние поверхностиПоверхность – одно из основных геометрических понятий.
В школьномкурсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности (конуса, цилиндра, шара). При этом каждая изкривых поверхностей определяется специальным способом, чаще всего какмножество точек, удовлетворяющих определённым условиям. Так, поверхностью шара называют множество (геометрическое место) точек, отстоящих назаданном расстоянии от данной точки пространства. Понятие поверхностилишь поясняется, а не определяется.
Например, говорят, что поверхность естьграница тела или след движущейся линии.Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии1. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям). Более точно,простой поверхностью называют образ гомеоморфного отображения (т.е.взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренностиквадрата.Теория поверхностей изучается, как правило, позже – на втором году обучения в университетах (на факультетах с углублённой математической подготовкой или на спец. курсах), когда уже пройдены кратные и поверхностныеинтегралы, позволяющие вычислять площади кривых поверхностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
