И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Вычисление площадей поверхностей вращения325В общем случае, учитывая, что переменная длина дуги l принимает значения 0 ≤ l ≤ L (здесь L – длина всей дуги AB ), имеем следующую формулу для вычисления площади поверхности вращения:LS пов , X = 2π ∫ y dl .(2)Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл326Решение. В силу того, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей, достаточно удвоить плоyщадь поверхности, описанной дугой астроиды, лежащей в 1-й четвертиa0≤t ≤π 2 .(0xПример 1.
Найти площадь поверхности, образованной вращением аркиa > 0;0 ≤ t ≤ 2π вокруг осициклоиды x = a t − sin t , y = a 1− cos t()() ())По формуле (1) имеем:aOx .TS пов , X = 2π ∫ y (t )y(x ′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt =T0Решение.Согласно формуле (1) имеем:2aπ2x= 4π ∫ a sin 3 t2πa0TS пов , X = 2π ∫ y (t )2)2t ⋅ cos t dt =)= 12πa 2 ∫ sin 3 t sin 2 t ⋅ cos 2 t cos 2 t + sin 2 t dt =22π∫ (1 − cos t )02π∫ (1 − cos (t 2))d (cos(t 2)) =202π64πa 21⎛⎞3(кв.ед).= −16πa ⎜ cos(t 2 ) − cos (t 2 )⎟ =33⎝⎠02Пример 2.
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокругOx астроиды x = a cos t , y = a sin t (a > 0) .30⎛ sin 5 t ⎞ 2 12 2⎟⎟ = πa (кв.ед).= 12πa 2 ⎜⎜5⎝ 5 ⎠02π02π023∫ (1 − cos t ) sin(t 2)dt = 8πa ∫ sin (t 2)dt =π20sin 2 (t 2)dt =2ππ= 12πa 2 ∫ sin 3 t ⋅ sin t ⋅ cos t dt = 12πa 2 ∫ sin 4 td (sin t ) =0оси2023) + (3a sin(2(x ′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt == 2π ∫ a(1 − cos t ) (a(1 − cos t )) + (a sin t ) dt == −16πa 2t ⋅ sin tπ2π= 4πa 220T0= 4πa 2(− 3a cosРассмотрим несколько важных следствий из доказанной выше теоремы.Теорема 2 (случай явного задания кривой). Если кривая задана явно урав-y = y ( x ) ∈ C 1 [a, b] , то площадь поверхности, полученной вращением дуги кривой вокруг оси Ox , вычисляется по формуленениемbS пов , X = 2π ∫ y ( x ) 1 + ( y ′( x )) dx .2(3)aЭта теорема является прямым следствием теоремы 1.Пример 3.
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокругоси Ox дуги синусоиды y = sin 2 x от x = 0 до x = π 2 .§8. Вычисление площадей поверхностей вращенияРешение. Зависимость327y от x задана явным образом. Вычислимy ′( x ) = 2 cos 2 x , тогда по формуле (3) имеемπb2S пов , X = 2π ∫ y ( x ) 1 + ( y ′( x )) dx = 2π ∫ sin 2 x 1 + (2 cos 2 x ) dx .2a20sin 2 x = sin 2 x , и произведёмотсюда − 4 sin 2 xdx = dt , т.е.Учтём, что на промежутке интегрированиязаменупеременнойt = 2 cos 2 x ,1sin 2 xdx = − dt . Найдём пределы интегрирования по t : если x = 0 , то4t = 2 , если x = π 2 , то t = −2 . Таким образом,−2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл328Рассмотрим примеры, когда вращаемая вокруг оси Ox кривая задана неявно, или же уравнение разрешено относительно другой переменной, чем этотребуется в формуле.В примере, изложенном ниже, удаётся найти явную зависимость нужнойпеременной от другой (при этом для нахождения производной используетсяприём дифференцирования функции, заданной неявно).Пример 5.
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокругосиOx параболы y 2 = 2 px (0 ≤ x ≤ x0 ) .2px0()π⎛ 1⎞S пов , X = 2π ∫ 1 + t 2 ⎜ − ⎟dt = ∫ 1 + t 2 dt =2 −2⎝ 4⎠2π⎛tРешение. Пусть, ради определённости, p > 0 .Чтобы найти производнуюy ′ x , продифференцируем ра-y2)(x00x2 yy ′ = 2 p ,21⎞= ⎜ 1 + t 2 + ln t + 1 + t 2 ⎟ =2⎝22⎠ −2(π ⎛⎜(15 + 2⎞ π⎟ = 2 5 + ln 5 + 2= ⎜ 2 5 + ln22⎝5 − 2 ⎟⎠ 2)) (кв.ед).Посколькуb2x ⎞a 2b ⎞⎛⎛= 2πa ∫ ⎜1 + ch ⎟dx = 2πa⎜ b + sh ⎟ =a ⎠a ⎠2⎝0⎝2b ⎞⎛= πa⎜ 2b + ash ⎟ (кв.ед).a ⎠⎝откудаx:py′ = .yпоy = 2 px , то со-гласно формуле (3) имеем2px0bS пов , X = 2π ∫ y ( x ) 1 + ( y ′( x )) dx =Пример 4. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокругx(a > 0; x ≤ b).оси Ox цепной линии y = achaxx2 xи 1 + shРешение.
а) Учитывая, что y = ach > 0 , y ′( x ) = sh=aaax= ch 2 , по формуле (3) получаем:abbxxxS пов , X = 2πa ∫ ch1 + sh 2 dx = 4πa ∫ ch 2 dx =aaa−b0y 2 = 2 pxвенство2ax0= 2π ∫0Положимz=x0p2 px 1 + dx = 2π p ∫ p + 2 x dx .2x0p + 2 x , тогда dx = zdz и придём к интегралуS пов , X=2π3p + 2 x022π p 3= 2π p ∫ z dz =z3p(( p + 2 x )0p 2 + 2 px 0 − p 2p + 2 x0=p) (кв.ед).В следующем примере уравнение, задающее кривую вращения, не разрешено относительно y , но разрешено относительно x , поэтому в формуле (3)удобно перейти к переменной интегрирования y (при этом производная§8.
Вычисление площадей поверхностей вращения329y ′( x ) выражается через производную x′( y ) в соответствии с правиломдифференцирования обратной функции).Пример 6. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокругa + a2 − y2− a 2 − y 2 (a > 0) .оси Ox трактрисы ± x = a lnyРешение. Кривая симметрична относительно оси Oy , поэтому достаточно вычислить площадь поверхности, образуемой вращением вокруг Ox одной ветви этой кривой (например, лежащей в полуплоскости x ≥ 0 ), и удвоить полученный результат. Для определения пределов интегрирования заметим, что при y → 0 x → +∞ , а при y → a x → 0 .
В качестве переменной интегрирования возьмём y . Учтём, что при x ≥ 0 положительномуприращению переменной y соответствует отрицательное приращение переменной330верхнюю (относительно y = b ; её уравнениенижнюю (с уравнениемdl = 1 + ( y ′( x ))a= − 1 + ( x′( y )) dy .2− 1 + (x ′( y )) dy = −2ady. Тогда по форyмуле (3) имеем:S пов , X = 4π+∞∫ y(x )02a0a−a20В очередном примере, несмотря на то, что вращаемая кривая задана неявным уравнением, его легко можно разрешить относительно переменной y(правда, при этом кривую приходится разбивать на две кривые, и площадиповерхностей суммировать).Пример 7. Найти площадь поверхности, образованной вращением окруж-ности x + ( y − b ) = a222(0 < a ≤ b) вокруг оси Ox .Решение.
Точки окружности симметричны относительно прямой y = b ,проходящей через её центр. Эта прямая разбивает окружность на две части:2−adl = 1 + ( y1′ (x )) dx = 1 + ( y 2′ ( x )) dx = 1 +22x2dx =a2 − x2adxa2 − x2,тоaS пов , X = 2πa ∫ ( y1 + y 2 )a= 8πab ∫0dxa −x22adxa −x22= 8πabarcsin= 4πab ∫−axaadxa − x22== 4π 2 ab (кв.ед).0Наконец, в ряде случаев, когда кривая задана неявным образом, можнопараметризовать её, и затем вычислить площадь поверхности вращения поформуле (1).Пример 8. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг232323Ox астроиды x + y = a .Указание: воспользоваться параметрическими уравнениями этой кривой(см.
пример 2 выше).a= 4π ∫ y 1 + ( x ′( y )) dy = 4πa ∫ dy = 4πa 2 (кв.ед).02Так какоси1 + ( y ′(x )) dx = − 4π ∫ y 1 + ( x ′( y )) dy =2aS пов ,1 = 2π ∫ y1 1 + ( y1′ ( x )) dx , S пов , 2 = 2π ∫ y 2 1 + ( y 2′ ( x )) dx .2Несложно убедиться в том, чтоy 2 = b − a 2 − x 2 ≥ 0 ).
Площадь поверхности−a⎛ 1 ⎞x ′( y )2⎟⎟ ⋅ x ′( y )dy = 1 + ( x ′( y )) ⋅dx = 1 + ⎜⎜dy =x ′( y )⎝ x ′( y ) ⎠y1 = b + a 2 − x 2 ≥ 0 ) ивращения вычислим по формуле S пов , X = S пов ,1 + S пов , 2 , гдеx ( x′( y ) < 0) , поэтому2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл8.5.2. Вращение вокруг оси OyИз теоремы 1 следуют теоремы.Теорема 3 (случай параметрического задания кривой). Пусть плоскаякривая AB задана параметрическими уравнениямиx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T ,()()[]x(t ) , y(t ) ∈ C (1) [T0 , T ] . Тогда площадь поверхности S пов ,Y , полученнойвращением AB вокруг оси Oy , вычисляется по формулегдеTS пов ,Y = 2π ∫ x(t )T0(x′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt .(4)§8.
Вычисление площадей поверхностей вращения331Пример 9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокругоси Oy арки циклоидыx = a(t − sin t ) , y = a(1− cos t ) (a > 0;0 ≤ t ≤ 2π ) .2π00S пов ,Y = 4πa ∫ a(t − sin t ) sin 2 (t 2)dt = 4πa 2Положим∫ (t − sin t )sin (t 2)dt .z = t 2 , тогда придём к интегралуS пов ,Y = 8πa∫ (2 z − sin 2 z )sin zdz =ππ⎛⎞0⎜= 16πa ⎜ ( z cos z ) π + ∫ cos zdz − ∫ sin 2 zd (sin z )⎟⎟ =00⎝⎠π⎛sin 3 z ⎞⎟= 16πa 2 ⎜ π −= 16π 2 a 2 (кв.ед).⎜3 0⎟⎝⎠2x = x( y ) ∈ C (1) [c, d ] , то площадь поверхности, полученной вращением дуги кривой вокруг оси Oy , вычисляется по формуленениемS пов ,Y = 2π ∫ x( y ) 1 + (x ′( y )) dy .2(5)2π= 2pcПример 10.
Найти площадь поверхности, образованной вращением пара-y = 2 px (0 ≤ x ≤ x0 ) вокруг оси Oy .Решение. Пусть, ради определённости, p > 0 . Учитывая симметрию кри2S пов ,Y = 2π ∫ x( y ) 1 + (x ′( y )) dy = 2π2c2π= 2p2 px0∫− 2 px02⎛ y⎞y21 + ⎜⎜ ⎟⎟ dy =2p⎝ p⎠2 px0∫y 2 p 2 + y 2 dy .0Вычислим неопределённый интеграл=())()))(I = ∫ y 2 p 2 + y 2 dy интегриро-))((((())3⎛y 2p2⎜⎜ ( p + y 2 )2 −y p 2 + y 2 + p 2 ln y +48⎝⎛π ⎜(2 px0 p 2 + 2 px02 p ⎜⎜⎝2=вой относительно оси абсцисс, по формуле (5) получаемd)(Теорема 4 (случай явного задания кривой). Если кривая задана явно урав-болы()(0d)((π23⎞⎛1y p 2 + y 2 dy = d ⎜⎜ ( p 2 + y 2 )2 ⎟⎟ , то⎠⎝33311I = p 2 + y 2 2 y − ∫ p 2 + y 2 2 dy =333y1= p 2 + y 2 2 − ∫ p 2 + y 2 p 2 + y 2 dy =333y1= p 2 + y 2 2 − ∫ p 2 p 2 + y 2 dy + ∫ y 2 p 2 + y 2 dy =333y1= p 2 + y 2 2 − ∫ p 2 p 2 + y 2 dy + I =3323ypI= ( p 2 + y 2 )2 −y p 2 + y 2 + p 2 ln y + p 2 + y 2 + C − ,363где C – произвольная постоянная.
Отсюда находим3yp2I = ( p 2 + y 2 )2 −y p 2 + y 2 + p 2 ln y + p 2 + y 2 + C .48Окончательно, S пов ,Y =ванием его по частям. Так как(Решение. Согласно формуле (4) имеем:2πСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл332π ⎛⎜( p + 4 x0 )⎜4⎝)32−p +y22))⎞⎟⎟⎠02 px0⎛ 2 px + p 2 + 2 pxp 2 ⎛⎜002 px0 p 2 + 2 px0 + p 2 ln⎜⎜2 ⎜p⎝⎝(2 x0 ( p + 2 x0 ) − p 2 ln)2 x0 +=⎞ ⎞ ⎞⎟⎟⎟ =⎟ ⎟ ⎟⎟⎠⎠⎠p + 2 x0 ⎞⎟ (кв.ед).⎟p⎠Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вращением цеп-x(a > 0; x ≤ b) вокруг оси Oy .aРешение. Кривая симметрична относительно оси Oy , поэтому достаточно вычислить площадь поверхности, образуемой вращением вокруг Oy тойчасти этой кривой, которая лежит в полуплоскости x ≥ 0 (0 ≤ x ≤ b ) .ной линии y = ach§8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
