И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Перейдём в прямоугольные координаты. В декартовой системекоординат, совмещённой с полярной, x и y запишутся как функции пара-()§8. Вычисление площадей поверхностей вращения341ϕ : x = r (ϕ ) cos ϕ , y = r (ϕ )sin ϕ . Подставляя вместо r (ϕ ) выражение a(1+ cos ϕ ) , получим параметрические уравнения кардиоиды в пря-метрамоугольных координатах:x = a(1 + cos ϕ ) cos ϕ , y = a(1 + cos ϕ )sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .π⎛1⎛3ϕ5ϕ ⎞ ⎞3ϕ ⎞ 3ϕϕ 1⎛= 8πa 2 ∫ ⎜⎜ ⎜ cos + cos ⎟ + cos + ⎜ cos+ cos ⎟ ⎟⎟dϕ =2 ⎠ 42 4⎝22 ⎠⎠220⎝ ⎝= 4πaНайдём уравнение касательной в этой прямоугольной системе координат.Левая вертикальная касательная к кривой проходит через точку(x(ϕ 0 ); y(ϕ 0 )) , где x(ϕ 0 ) – наименьшее значение функции x ϕ на сегмен-( )()x(ϕ ) достигается в одной из следующих точек:2π4πϕ1 = 0 , ϕ 2 =, ϕ3 = π , ϕ 4 =, ϕ 5 = 2π .
Легко показать, что наи33aменьшее значение x(ϕ ) достигается в точках ϕ 2 и ϕ 4 и равно − . Итак,4aуравнение левой вертикальной касательной: x = − . Расстояние ρ (ϕ ) от4aточки ( x(ϕ ); y (ϕ )) до оси вращения равно x (ϕ ) + , дифференциал дуги4dl , как было показано в предыдущем пункте, равен 2a cos(ϕ 2) dϕ . Учинаименьшее значениеϕ⎛⎛∫ ⎜⎜⎝ ⎜⎝ cos 2 + cos3ϕ5ϕ ⎞ ⎞3ϕ ⎞ 3ϕ 1⎛+ cos ⎟ ⎟⎟dϕ =⎟ + cos + ⎜ cos2 ⎠ 22 2⎝22 ⎠⎠π3ϕ 15ϕ ⎞ϕ 3⎛5= 4πa 2 ∫ ⎜ cos + cos+ cos ⎟dϕ =22 22 22 ⎠0⎝πϕ3ϕ 15ϕ ⎞84 2⎛πa (кв.ед).= 4πa ⎜ 5 sin + sin+ sin⎟ =22 52 ⎠05⎝π7πϕ, вращается вокругПример 20. Часть спирали r = e ,≤ϕ ≤662прямой, проходящей через концевые точки спирали.
Найти площадь поверхности полученного тела.Решение. Выберем декартову систему координат так, чтобы начало координат совпало с полюсом, положительная полуось6.πππ⎞ ⎛π ⎞ ϕ−π⎞⎛⎛y = r ⎜ ϕ − ⎟ sin⎜ ϕ − ⎟ = e 6 sin⎜ ϕ − ⎟ .6⎠ ⎝6⎠6⎠⎝⎝2πНайдём дифференциал дуги:dl = r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ ))2 dϕ =πa⎞ϕ⎛= 8πa ∫ ⎜ x(ϕ ) + ⎟ cos dϕ =4⎠20⎝πϕ= 6π1⎞⎛= 8πa 2 ∫ ⎜ (1 + cos ϕ ) cos ϕ + ⎟ cos(ϕ 2)dϕ =4⎠0⎝πππ⎞ ⎛π ⎞ ϕ−π⎞⎛⎛x = r ⎜ ϕ − ⎟ cos⎜ ϕ − ⎟ = e 6 cos⎜ ϕ − ⎟ ,6⎠ ⎝6⎠6⎠⎝⎝a⎞⎛S пов.
= 2π ∫ ρ (t )dl = 2π ∫ ⎜ x(ϕ ) + ⎟2a cos(ϕ 2) dϕ =4⎠T00⎝ϕ 3ϕ 1ϕ⎞⎛= 8πa 2 ∫ ⎜ cos ϕ cos + cos + cos 2ϕ cos ⎟dϕ =2 42 22⎠0⎝Ox с лучом ϕ =Тогдатывая симметрию кривой относительно полярной оси, по формуле (6) получаемTπ20( )те 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Наименьшее значение непрерывной на сегменте функцииможет достигаться или в точках локальных экстремумов, или в его граничныхточках. Производная имеет вид x ′ ϕ = −a sin ϕ + 2 sin ϕ cos ϕ , поэтомуСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл342O7π=ϕ 6Pe ϕ 2 dϕ .Так как осью вращения являетсяось Ox , тоρ (ϕ ) = y (ϕ ) = eϕ−π6π⎞⎛sin ⎜ ϕ − ⎟.6⎠⎝Следовательно, по формуле (6):TS пов. = 2π ∫ ρ (t )dl =T0§8.
Вычисление площадей поверхностей вращения= 2π7π6∫2e2ϕ −π343Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл344= 4πaππ2t +π⎞⎛sin⎜ ϕ − ⎟dϕ = 2π 2 ∫ e 6 sin tdt =6⎠⎝06π−ππ⎞⎛1= 2 2πe ∫ e sin tdt = 2 2πe ⎜ (2 sin t − cos t )e 2t ⎟ =⎠0⎝5062t= 4πa622 2 6 2π=πe (e + 1) (кв.ед).5()лемнискаты Бернулли r = a cos 2ϕ a > 0 вокруг оси ϕ = π 4 .Решение. Перейдём к новым полярным координатам. Примем лучϕ =π 4Тогдаза новую полярную ось, положивS пов ,1 = 4π∫π−r1 (ϕ1 ) sin ϕ1ϕ1 = ϕ −π4,r1 (ϕ1 ) = r (ϕ ) .4((r1 (ϕ1 ))2 + (r1′(ϕ1 ))2 dϕ1 ,−(r1 (ϕ1 ))2 + (r1′(ϕ1 ))2 dϕ1π4(с учётом симметрии точек кривой относительно оси вращения и того, что вновой системе координат sin ϕ1 принимает отрицательные значения при изменении ϕ1 от − π 2 до 0).Возвращаясь к прежним координатам r иS пов ,1 = 4πa 20∫π−4))Найдите площади поверхностей тел, образованных вращением вокруг осиOx дуг кривых, заданных явным образом в декартовой системе координат:1.
y = 2chS пов , 2 = 4π ∫ r1 (ϕ1 ) sin ϕ1(⎛π⎞42⎞⎛⎟ = 2πa 2 2 − 2 .= 4πa 2 cos⎜ ϕ − ⎟ = 4πa 2 ⎜⎜1 −4⎠02 ⎟⎠⎝⎝222Окончательно, S пов. = 2πa 2 + 2πa 2 − 2 = 4πa (кв.ед).Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к §8204ππ4∫0π⎞π⎞⎛⎛sin⎜ ϕ − ⎟dϕ = 4πa 2 cos⎜ ϕ − ⎟ = 2πa 2 2 .4⎠4 ⎠ −π⎝⎝4π⎞π⎞⎛⎛S пов , 2 = 4πa 2 ∫ sin ⎜ ϕ − ⎟ dϕ = 4πa 2 ∫ sin ⎜ ϕ − ⎟dϕ =4⎠4⎠⎝⎝π0S пов. = S пов ,1 + S пов , 2 , где−40Пример 21. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением24π2. В других случаях переходят к новым полярным координатам так, чтобыв результате вращение происходило вокруг новой полярной оси.2π⎞π0π⎛∫π sin⎜⎝ϕ − 4 ⎟⎠ dϕ =−6π π02ϕ , получим:π⎞⎛cos 2ϕ sin⎜ ϕ − ⎟4⎠⎝dϕcos 2ϕ=xот x = 0 до x = 2 .21, 0<a≤ x≤b.x5.
y = tgx , 0 ≤ x ≤ π 4 .3. y =2.y = x 3 от x = 0 до x = 1 2 .4.y 2 + 4 x = 2 ln y , 1 ≤ y ≤ 2 .Найдите площади поверхностей тел, образованных вращением дуг кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат:6. x = t − sin t , y = 1 − cos t (площадь, образованную вращением во-Ox одной арки).tt7. x = e sin t , y = e cos t , 0 ≤ t ≤ π 2 , вокруг оси Ox .8. x = a(t + sin t ) , y = a(1− cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π , вокруг оси симметрии.круг оси9.⎛π3π⎛ t ⎞⎞, вокруг оси Ox .x = a⎜⎜ cos t + ln⎜ tg ⎟ ⎟⎟ , y = a sin t , ≤ t ≤24⎝ 2 ⎠⎠⎝§8. Вычисление площадей поверхностей вращения345§ 9.10. x = 2 a sin t , y = 2a cos t вокруг оси2Ox .11.
x = a(2 cos t − cos 2t ) , y = a(2 sin t − sin 2t ) вокруг оси Ox .3312. x = a cos t , y = a sin t , вокруг прямой y = x .ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛАНайдите площади поверхностей тел, образованных вращением дуги ABкривой:13. x = at , y =21at (3 − t 2 ) , A(0;0) , B(3a;0) : а) вокруг оси Ox ; б)3вокруг оси Oy .9 4614. x = at , y =a (5t 3 − 3t 5 ) , A(0;0) , B(5a;0) : а) вокруг оси525Ox ; б) вокруг оси Oy .332415. x = 2at , y = a (2t − t ) , A(0;0) , B 4a 2 ;0 : а) вокруг оси4Ox ; б) вокруг оси Oy .(9.1. Масса плоской кривой)Найдите площади поверхностей тел, образованных вращением дуг кривых, заданных неявным образом в декартовой системе координат:x2 y216. 2 + 2 = 1 ( a ≥ b , вокруг оси Ox ).ab2xy217.
2 + 2 = 1 ( a ≥ b , вокруг оси Oy ).ab2218. 3ay = x (a − x ) (петли кривой вокруг оси Ox ).Теорема 1. Пусть AB – плоская гладкая кривая,6ность массы в текущей точке кривойчисляется по формулеLM = ∫ ρ (l )dl ,[l , l + Δl ] изменения параметра l , то это означает, что функцияявляется одной из первообразных для функции ρ (l ) на сегментеM (l )[0, L] . Отсюда по формуле Ньютона–Лейбница получаем выражение дляLмассы всей кривой (при изменении2Ox ; б) вокруг оси Oy .(1)промежуткувокруг оси Ox области, ограниченной линиями y = 2 x и 2 x = 3 .21. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении области, лежащей внутри окружности r = 2a sin ϕ и вне окружности r = a ,относительно осей координат.22.
Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением обласоси(0 ≤ l ≤ L ) . Тогда масса кривой вы-dl – дифференциал дуги.Доказательство. Поскольку по определению линейной плотностиΔM = ρ (l ) Δl + o( Δl ) , где ΔM – масса части кривой, соответствующая)r 2 = a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ– линейная плот-гдеот центра на расстояние b b > a .20.
Найдите полную площадь поверхности тела, полученного вращениемти, ограниченной кривойρ (l )019. Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением окружности радиуса a относительно прямой, лежащей в её плоскости и отстоящей(В предыдущем параграфе были рассмотрены основные геометрическиеприложения определённого интеграла. Данный параграф посвящён приложениям из области физики, в частности, механики.(a > b) ,а) вокругl от 0 до L ): M = ∫ ρ (l )dl , что и тре0бовалось доказать.Замечание. В случае постоянной линейной плотности ρ ≡ 1 (масса распределена равномерно вдоль кривой) масса кривой численно равна её длине.Эта теорема имеет ряд важных следствий.Следствие 1. Пусть простая плоская кривая задана в декартовой системекоординат параметрическими уравнениями6То есть масса, приходящаяся на единицу длины.§9.
Физические приложения определённого интеграла347x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T0 , T ] ,348Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралгде расстоянияx(t ) , y(t ) ∈ C (1) [T0 , T ] , и пусть ρ ( x(t ), y(t )) – линейная плотность распределения массы в точке ( x; y ) этой кривой. Тогда масса кривой вычисля-d k точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со зна-гдеком плюс, а расстояния точек по другую сторону – со знаком минус.В частности, статическими моментами M x и M y системы точекется по формулеотносительно осей Ox и Oy соответственно называются суммы произведений масс этих точек на их ординаты (абсциссы):TM = ∫ ρ ( x(t ), y (t )) ( x ′(t )) + ( y ′(t )) dt .22(2)T0y = y( x ) , где y ( x ) ∈ C (1) [a, b] , то её масса вычисbM = ∫ ρ ( x ) 1 + ( y ′( x )) dx .2a∈ C (1) [c, d ] , то масса кривой вычисляется по аналогичной формулеdM = ∫ ρ ( y ) 1 + (x ′( y )) dy .2(3’)cСледствие 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
