И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Интегрированием найдите объём обелиска, основаниями которогослужат прямоугольники со сторонами A , B и a , b , а высота равна H .24. Интегрированием найдите объём шара радиуса R .25. Удельная теплоёмкость вещества при температуре t равна2c = 0,2 + 0,001t22( Дж (г С )) . Какое количество теплоты нужно затраoтить, чтобы нагреть 1г вещества от 0 С до 100 С ?26. Найдите силу давления воды на вертикальный полукруглый щит радиуса a , диаметр которого находится на поверхности воды.ooСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл36827. В жидкость с плотностью ρ погружена треугольная пластинка вершиной вверх. Найдите силу давления жидкости на пластинку, если основаниетреугольника равно a , высота равна h . Вершина треугольника расположенана поверхности.28. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростьюv0 , без учёта сопротивления воздуха определяется по формуле v = v0 − gt ,где t – протекшее время, g – ускорение силы тяжести. На каком расстоянииот начального положения будет находиться тело через t секунд после броска?29. Скорость точки меняется по закону v = 100 + 8t (где v выражается вм с ).
Какой путь пройдёт эта точка за промежуток времени [0,10] ?−0.01t( м с ) . Найдите путь, пройден30. Скорость движения точки v = teный точкой от начала движения до полной остановки.31. Скорость точки изменяется по закону v = 2 6 − t (где(в)v выражаетсям с ). Каково наибольшее удаление точки от начала движения?32. Точка движется по оси Ox , начиная от точки M (1;0) , так, что ско-рость её равна абсциссе. Где она будет через 10 сек от начала движения?33. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх.
Считая, что при постоянной тяге ускорение ракеты за счёт уменьшения её веса растёт по законуy = A a − bt a − bt > 0 , найдите скорость v в любой момент времени()()t , если начальная скорость равна нулю. Найдите также высоту h , достигнутую ракетой к моменту времени t = t1 .34. Вычислите работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду извертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания R и высоту H .35.
Найдите работу, совершаемую при выкачивании воды из коническогососуда, основание которого горизонтально и расположено ниже вершины,если радиус основания равен r и высота равна h .36. Вычислите кинетическую энергию диска массы M и радиуса R ,вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через егоцентр перпендикулярно к его плоскости.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл370§ 10.ления интеграла (Римана) привели А. Лебега к важному обобщению понятияинтеграла.Прежде, чем перейти к определению интеграла Лебега, напомним некоторые определения из теории множеств и рядов, необходимые для уясненияпоследующего материала этого параграфа.МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА10.2. Используемые понятия10.2.1. Эквивалентные множества.
Операции над множествами10.1. История вопросаВ классическом математическом анализе, как отмечалось выше, основнымобъектом изучения являются непрерывные функции, заданные на конечныхили бесконечных интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости.Однако уже со 2-й половины XIX века развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематического изучения функций более общеготипа.
Основной причиной этого являлось то, что предел последовательностинепрерывных функций может быть разрывной функцией. Иными словами,класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа – предельного перехода. В связи с этим функции,определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. Потой же причине могут быть разрывными производные непрерывных функцийи т.п. Далее, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрениифизических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладкихфункций, но имеют их в более широких классах функций. Всё это стимулировало развитие метрической теории функций, большой вклад в которуюбыл сделан московской математической школой (Д.Ф.
Егоров, Н.Н. Лузин,А.Я. Хинчин, Д.Е. Меньшов, А.Н. Колмогоров и другие).Определение интеграла Римана как предела интегральных сумм удобно,когда подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования.Разрывные функции часто оказываются неинтегрируемыми в указанномсмысле. В частности, производная F ′( x ) непрерывной функции может бытьнеинтегрируемой по Риману. Таким образом, операция интегрирования, ставящая в соответствие функции f ( x ) функцию F ( x ) =x∫ f (t )dt + C , неaможет считаться полностью решающей задачу восстановления первообразнойфункции по производной.
Не менее важно и то, что предел последовательности интегрируемых функций (даже будучи ограниченным) может уже не бытьинтегрируемым. Эти и некоторые другие недостатки классического опреде-Говорят, что между элементами двух множеств установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие некоторый элемент второго множества так, что при этомкаждый элемент второго множества соответствует только одному элементупервого множества.Два множества называются эквивалентными, если между их элементамиможно установить взаимно однозначное соответствие. Если множества A иB эквивалентны, то пишут A ~ B .Например, эквивалентными являются множества {1;2;3;4;...} и{2;4;6;8;...} , сегменты [0,1]R = (− ∞,+∞ ) .[ ]и a, b , интервал(a, b )и числовая прямаяЕсли два множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковуюмощность.К основным операциям над множествами относятся следующие.Объединением (суммой) множеств E1 , E 2 ,..., E n называется множествоnE = U E k , которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одk =1ному из множеств E k(k = 1,2,..., n ) .
Объединение множествE1 и E 2 бу-дем обозначать символом E1 U E 2 или E1 + E 2 .ПересечениеммножествE1 , E 2 ,..., E nназываетсямножествоnE = I E k , которое состоит из всех элементов, принадлежащих каждому изk =1множеств E k(k = 1,2,..., n ) . Пересечение множествзначать символом E1 I E 2 или E1 E 2 .E1 и E 2 будем обо+∞Точно так же определяются объединение E = U E k и пересечениеk =1§10.
Мера и интеграл Лебега371k =1Разностью множеств E1 и E 2 называется множество E = E1 \ E 2 , которое состоит из всех элементов множества E1 , не содержащихся в E 2 .10.2.2. Счётные и несчётные множестваМножество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (иными словами, множество называется счётным, если егоэлементы можно занумеровать с помощью натуральных чисел).Справедливы следующие утверждения.Теорема 1. Бесконечное подмножество счётного множества также счётно.Теорема 2.
Объединение конечного или счётного числа счётных множествесть счётное множество.Теорема 3. Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счётно.Теорема 4. Множество точек разрыва монотонной функции конечно илисчётно.Теорема 5. Множество всех рациональных чисел сегмента 0,1 счётно, амножество всех вещественных чисел этого же сегмента несчётно1.[ ]Если множество эквивалентно множеству всех вещественных чисел сегмента 0,1 , то говорят, что оно имеет мощность континуума.[ ]Теорема 6. Множество иррациональных чисел сегмента 0,1 и множествовсех иррациональных чисел из R имеют мощность континуума.Теорема 7.
Пусть A – бесконечное множество, B – конечное или счётноемножество, тогда:а) A + B ~ A ;б) если A \ B – бесконечное множество, то A \ B ~ A .Пример 1. Доказать, что интервал (0,1) = I и числовая прямаяR – эк-вивалентные множества: R ~ I .Решение. Чтобы доказать эквивалентность множеств I и R , необходимоустановить между их элементами взаимно однозначное соответствие. Такоесоответствие, например, осуществляет функцияπ⎞⎛y = tg ⎜ πx − ⎟ , x ∈ I .2⎠⎝1Доказательство можно найти, например, в [9], с. 61–63.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралВ самом деле, каждому x ∈ I эта функция ставит в соответствие некоторое y ∈ R , а так как она непрерывна и возрастает на I и, кроме того,+∞E = I E k счётного (см. следующий пункт) числа множеств.[ ]372π⎞π⎞⎛⎛lim tg ⎜ πx − ⎟ = −∞ , lim tg ⎜ πx − ⎟ = +∞ , то ∀y ∈ R существуетx → +0x →1− 02⎠2⎠⎝⎝π⎞⎛единственное x ∈ I такое, что y = tg ⎜ πx − ⎟ .
Это и означает, что между2⎠⎝элементами множеств I и R установлено взаимно однозначное соответствие. Итак, R ~ I .[ ]Пример 2. Доказать, что интервал (0,1) = I и сегмент 0,1 = S – эквивалентные множества: S ~ I .Решение. Пусть Q – множество всех рациональных чисел сегмента S .Это множество счётное. Положим Q = S \ Q , тогда S = Q + Q . Удалим измножества Q точки 0 и 1. Получим счётное множество Q1 рациональныхчисел интервала I . Очевидно, I = Q1 + Q . Так как Q и Q1 – счётныемножества, то Q ~ Q1 . Отсюда следует, что Q + Q ~ Q1 + Q , т.е.
S ~ I .Замечание. Из утверждений примеров 1 и 2 следует, что числовая прямаяR (множество всех вещественных чисел) имеет мощность континуума.10.2.3. Открытые и замкнутые множестваПусть E – произвольное числовое множество. Точка x называется внутренней точкой E , если существует окрестность точки x , целиком принадлежащая E .Множество E называется открытым, если все его точки внутренние.Множество E называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Например, интервал (a, b ) – открытое множество, а сегмент[a, b] – замкнутое множество.[ ]Пример 3. Пусть E – открытое множество и E ⊂ a, b . Доказать,[ ]что G = a, b \ E – замкнутое множество.Решение. Достаточно доказать, что G содержит все свои предельныеточки. Из определения разности множеств следует, что ∀x ∈ a, b либо[ ]x ∈ E , либо x ∈ G . Пусть x – предельная точка множества G , т.е. в любой окрестности точки x имеются точки множества G , отличные от x .§10. Мера и интеграл Лебега373Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл374[ ]Очевидно, x ∈ a, b . Докажем, что x ∈ G . Предположим противное. Тогда10.3. Мера множества 2x ∈ E , и так как E – открытое множество, то существует окрестность точкиx , целиком принадлежащая E . Следовательно, в этой окрестности точки xнет ни одной точки из множества G , но это противоречит тому, что x –предельная точка G .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
