И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Полученное противоречие доказывает, что x ∈ G , и,значит, G – замкнутое множество.Аналогично можно доказать, что если E – замкнутое множество иE ⊂ (a, b ) , то G = (a, b ) \ E – открытое множество.Мера множества – обобщение понятия длины отрезка, площади плоскойфигуры и объёма тела на множества более общей природы. В данном параграфе речь будет идти о понятии меры ограниченного множества на прямой.Мерой интервала (a, b ) , где a < b , назовём его длину, т.е.
число b − a .Следующие теоремы из теории множеств отражают основополагающиесвойства открытых и замкнутых множеств.Теорема 1 (об объединении открытых множеств). Объединение конечного или счётного числа открытых множеств является открытым множеством.Теорема 2 (о пересечении открытых множеств). Пересечение конечногочисла открытых множеств является открытым множеством, а пересечениесчётного числа открытых множеств может не быть открытым множеством.Теорема 3 (о структуре открытых множеств). Любое открытое множество на прямой является объединением конечного или счётного числа попарно непересекающихся интервалов.Теорема 4 (о пересечении замкнутых множеств).
Пересечение конечногоили счётного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.Теорема 5 (об объединении замкнутых множеств). Объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством, а объединение счётного числа замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством.10.2.4. Числовой ряд и его сумма. Сходимость рядаПусть {a n } – числовая последовательность. Образуем формально выра-Пусть G – ограниченное открытое множество. Тогда в силу леммы егоможно представить в виде G = U (a k , bk ) , где (a k , bk ) – попарно непереk =1секающиеся интервалы.МеройμGоткрытого ограниченного множества G назовём суммудлин составляющих его интервалов:μG = ∑ (bk −a k ) .k =1Отметим, что если число интервалов (a k , bk ) счётно, то сумма длин ин+∞тервалов является числовым рядом∑ (bk =1− a k ) с положительными членами(bk −a k ) .
В силу ограниченности множества Gэтот ряд сходится.Пусть E – произвольное ограниченное множество. Рассмотрим всевозможные ограниченные открытые множества G , содержащие E . Множество{μG} мер этих множеств ограничено снизу (например, числом 0) и, следова-тельно, имеет inf {μG}.Числоμ E = inf {μG}называется внешней (верхней) мерой множестваE .
Внутренняя (нижняя) мера μ E множества E определяется как разностьμG − μ (G \ E ) , где G– какой-либо интервал, содержащий множествоE,и G \ E – множество всех точек этого интервала, не содержащихся в E .жение+∞a1 + a 2 + ... + a n + ... = ∑ a kk =1членами ряда, а число S n =n∑ak =1kE называется измеримым (по Лебегу), если ∀ε > 0 существует открытое множество G , содержащее E , для которого μ (G \ E ) < ε .Иными словами, множество E , для которого внешняя мера равна внутренМножествои назовём его числовым рядом (или просто рядом). Числа a k называются– его n -й частичной суммой.Рассмотрим последовательность {S n } .
Если существует lim S n = S , тоней, называют измеримым (по Лебегу). При этом общее значение внешней ивнутренней мер этого множества называется его мерой (Лебега) и обозначаетсяμE , т.е. μE = μ E = μ E .Замечание 1. Все измеримые множества предполагаются ограниченными.n → +∞+∞говорят, что рядk∑ak =1kсходится, а число S называется суммой ряда.2Излагается, в основном, в соответствии с [13].§10. Мера и интеграл Лебега375Замечание 2. Любое множество точек на прямой, имеющее длину в элементарном смысле (интервал, сегмент), измеримо по Лебегу, и его мера совпадает с его длиной. Однако на прямой существуют множества, не имеющиедлины в обычном смысле (не спрямляемые), но при этом являющиеся измеримыми. Для этих более сложных множеств роль длины играет мера.Замечание 3. Для открытого множества E это определение меры эквивалентно определению меры, данному выше (в качестве G достаточно взятьсамо E ).Замечание 4.
Пустое множество ∅ считается измеримым, при этомμ ∅=0.Q всех рациональных чисел произвольного сегмента [a, b ] измеримо, причём μQ = 0 .Решение. Множество Q счётно, поэтому его точки можно занумеровать спомощью натуральных чисел. Зададим произвольное ε > 0 и заключим первую точку множества Q в интервал длины ε 2 , вторую – в интервал длиныПример. Доказать, что множествоε 22,…, n -ю – в интервал длиныε 2nμG < ∑+∞При этом мера суммыE = U E k конечной или счётной системы попарноk =1непересекающихся (измеримых) множествi ≠ j ) равна сумме их мер:E1 , E 2 ,..., E n ,...
( Ei I E j = ∅ ,+∞μE = ∑ μE kk =1(свойство счётной аддитивности меры Лебега).В следующих двух теоремах сформулированы достаточные условия измеримости двух важных видов множеств.Теорема 1 (об измеримости замкнутого ограниченного множества). Любое замкнутое ограниченное множество измеримо.Теорема 2 (об измеримости дополнения до сегмента).
Если E – измери-[ ]E = [a, b] \ E (дополнениедо сегмента [a, b ] ) измеримо, причём μE = μ [a, b ] − μE .мое множество и E ⊂ a, b , то множествомножестваEи т.д. Объединение этих интерваловявляется открытым множеством G , мера которого+∞Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл376ε=ε .10.4. Измеримые функцииВ силу того, что ε произвольно мало, отсюда следует, что внешняя мераμ Q = 0 . Так как (G \ Q ) ⊂ G , то μ (G \ Q ) ≤ μ G = μG < ε . Это означа-Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической теории функций, является класс так называемых измеримых функций.
Приведём соответствующие определения.Пусть функция f ( x ) определена на измеримом множестве E и, возмож-ет по определению, чтоно, не ограничена на нём. Символом x ∈ Ek =12kQ измеримо, причём μQ = μ Q = 0 (в таком случаеговорят, что множество Q имеет меру нуль (по Лебегу)).Замечание 5. Множество Q всех рациональных точек сегмента [a, b ] имножество Q всех иррациональных точек того же сегмента сходны в томсмысле, что каждое из них всюду плотно на сегменте [a, b ] , т.е. что междулюбыми двумя точками указанного сегмента найдутся как точки множестваQ , так и точки множества Q . В то же время, как следует из рассмотренногопримера, они резко различаются по мере: μQ = 0 , а μQ = μ [a, b] = b − a .Свойства меры Лебега во многом аналогичны соответствующим свойствам длины.
Приведём два основных свойства.1o . Мера любого (измеримого) множества неотрицательна: μE ≥ 0 .2 o . Объединение (если оно ограничено) и пересечение конечного илисчётного числа измеримых множеств являются измеримыми множествами.{f ( x ) ≤ c} будем обозначатьмножество всех таких значений аргумента x , принадлежащих множествудля которых f ( x ) ≤ c ( c – заданное число).Функция f ( x ) называется измеримой на множестве{го действительного числа c множество x ∈ EЗаметим, что если f ( x ) измерима наE,E , если для любо-f ( x ) ≤ c} измеримо.E , то измеримы все множества:{x ∈ E f (x ) ≥ c}, {x ∈ E f (x ) > c}, {x ∈ E f (x ) = c},{x ∈ E f (x ) < c}.Пример 1. Доказать, пользуясь определением, что функция ДирихлеD( x ) измерима на [a, b] .§10. Мера и интеграл Лебега377Решение.
По определению измеримой функции, нужно доказать, что ∀c{ [ ] f (x ) ≤ c} ≡ Eмножество x ∈ a, bЕсли c ≥ 1 , тоизмеримо. Рассмотрим три случая.E c = [a, b] – измеримое множество.Если 0 ≤ c < 1 , то[ ]cE c = Q , где Q – множество всех иррациональныхчисел a, b – измеримое множество.Если c < 0 , тоE c = ∅ (∅ – измеримое множество).Итак, D ( x ) – измеримая функция.[ ]Пример 2. Доказать, что непрерывная функция f ( x ) измерима на a, b .Решение. Докажем, что ∀c множество{x ∈ [a, b] f (x ) ≤ c} ≡ Ecиз-E c = ∅, то E c измеримо: μE c = μ ∅ = 0 .
Пусть E c не пусто. Докажем, что E c – замкнутое множество. Отсюда будет следовать, чтоE c измеримо. Пусть x0 – предельная точка множества E c . Покажем, чтоx0 ∈ E c . Ясно, что x0 ∈ [a, b] . Согласно определению предельной точки∃{x n } → x0 , причём ∀n x n ∈ E c . Из непрерывности f ( x ) в точке x0следует, что { f ( x n )} → f ( x 0 ) , а так как x n ∈ E c , то f ( x n ) ≤ c . Значит,f ( x0 ) ≤ c , т.е. x0 ∈ E c , что и требовалось доказать.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл3785 o . Непрерывные функции измеримы на любом измеримом множестве.6 o . На множестве меры нуль все функции измеримы.7 o . Абсолютная величина измеримой функции есть измеримая функция.Говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на множествеE , если множество точек из E , на котором оно не выполняется, имеет мерунуль.Функции f ( x ) и g ( x ) , определённые на измеримом множестве, называются эквивалентными на этом множестве, если они равны почти всюду нанём. Обозначение эквивалентных функций: f ( x ) ≈ g ( x ) на E .Например, функция Дирихле⎧0, если x − иррационально;D(x ) = ⎨⎩1, если x − рационально,меримо.
ЕслиРассмотрим некоторые свойства измеримых функций.1o . Если функция f (x ) измерима на множестве E , то она измерима налюбом измеримом подмножестве множества E .2 o . Если функция f (x ) измерима на каждом из множествE1 , E 2 ,..., E n ,... (их количество конечно или счётно), то она измерима на их+∞объединении Uk =1+∞E k и пересечении I E k .k =13o . Если функция f (x ) определена на множестве E меры нуль, то онаизмерима на этом множестве.4 o .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
