И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Известно, что функция D ( x ) неинтегрируема по Риману на[a, b] . Последний пример показывает, что интегрируемая по Лебегу функцияможет быть неинтегрируемой по Риману.§10. Мера и интеграл Лебега385§ 11.Для более детального ознакомления с теорией меры и интеграла Лебегаможно рекомендовать обратиться к недавно вышедшему учебному пособиюпо действительному анализу [6], содержащему доказательства сформулированных выше свойств измеримых функций и интеграла Лебега, а также большое количество задач (с решениями).ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСАКонтрольные задания и задачидля самостоятельного решения к §101. Измеримо ли множестворавна его мера?Q всех рациональных чисел? Если да, то чему2. Измеримо ли множество Q всех иррациональных чисел? Если да, точему равна его мера?3.
Докажите, что если функция f ( x ) = 0 почти всюду на измеримоммножествеE , то она интегрируема по Лебегу, причём∫f ( x )dμ ( x ) = 0 .E4. Докажите, что если ограниченные функции f ( x ) и g ( x ) эквивалентыE и функция f (x ) интегрируема на E , то функция g ( x )также интегрируема на E , причём∫ f (x )dμ (x ) = ∫ g (x )dμ (x ) .на множествеEE[ ]5. Докажите, что всякая функция, интегрируемая по Риману на a, b ,[ ]является интегрируемой на a, b по Лебегу, причём интегралы Римана иЛебега от такой функции равны.6. Докажите, что ограниченная измеримая на множестве E функция интегрируема по Лебегу на этом множестве.7. Докажите, что имеет место следующий критерий интегрируемостифункций по Лебегу (аналогичный критерию интегрируемости по Риману):для того чтобы ограниченная на измеримом множестве E функция была интегрируема по Лебегу на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы∀ε > 0 существовало такое лебеговское разбиение T множества E , длякоторого справедливо неравенство S T − sT < ε .8.
Докажите, что если функция f ( x ) ограничена и измерима на множест-ве(δE , то предел её лебеговских интегральных сумм при δ → 0= max δ k , где δ k = y k − y k −1 ) равен интегралу Лебега от функции11.1. Понятие об интеграле Стилтьеса как линейном функционалена пространстве непрерывных функцийОбратимся ещё к одному обобщению интеграла Римана – интегралуСтилтьеса4. Он отражает другую особенность интеграла Римана по сравнению с интегралом Лебега. Если введение меры и интеграла Лебега позволилинам расширить класс измеримых множеств и класс интегрируемых функций,то введение интеграла Стилтьеса позволяет решить следующую задачу.Рассмотрим множество C[ a, b] всех функций, непрерывных на сегменте[a, b] .
Для каждой функции f (x ) из этого множества можно ввести величинуf = max f ( x) ,a ≤ x ≤bназываемую нормой функции f (x ) в пространстве C[ a, b] .bЗаметим, что выражениеI ( f ) = ∫ f ( x)dx можно воспринимать как чиaсловую функцию, заданную на этом пространстве, т.е. как функционал. Очевидно, что он является линейным: I (αf + β g ) = αI ( f ) + β I ( g ) для любыхα , β ∈ R и любых функций f , g ∈ C[ a, b] . Кроме того, этот функционал является ограниченным, т.е. существует число M > 0 такое, что длялюбой функции f ∈ C[ a , b] справедливо неравенство I ( f ) ≤ M f .чиселНаименьшее из таких чисел M называется нормой линейного функцио-I .
Таким образом, интеграл Римана I ( f ) задаетлинейный функционал на пространстве C[ a, b] .нала I и обозначается1≤ k ≤ nf ( x ) по множеству E .4Т. Стилтьес (1856–1894) – голландский математик.§11. Интеграл Стилтьеса387С помощью интеграла Римана можно строить и другие функционалы наэтом пространстве. Например, пусть функция g ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] . Тогда можно определить линейный функционал по правилуСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл388M > 0 такое, что для любого разбиениячислоT : a = x0 < x1 < K < x n = b сегмента [a, b] выполняется неравенствоственноеnbV ( f ; T ) = ∑ f (t k ) − f (t k −1 ) < M .aВеличина V ( f ) = sup V ( f ; T ) , где точная грань берётся по всем раз-I g ( f ) = ∫ f ( x) g ( x)dx .k =1Заметим, что если функция G ( x ) является первообразной для функцииg ( x ) на сегменте [a, b] , то выражение I g ( f ) можно представить в видеbI g ( f ) = ∫ f ( x)dG ( x) .baTбиением сегмента [ a , b] , называется полным изменением или полной вариацией функции f ( x ) на сегменте [ a , b] .Отметим некоторые свойства функций ограниченной вариации.aДля развития теории интегрирования и для некоторых её приложений,например, для теории вероятностей, вариационного исчисления, теоретической механики, важно иметь ответ на следующий вопрос: любой ли линейныйфункционал ϕ ( f ) на пространстве C[ a, b] представим в таком виде, т.е.1.
Сумма двух функций ограниченной вариации есть функция ограниченной вариации.Доказательство. Действительно, пусть h( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Тогда длялюбого разбиения T сегмента [ a , b] выполнено:V (h; T ) ≤ V ( f ; T ) + V ( g ; T ) .всегда ли найдётся такая функция g ( x ) , чтоbbaaϕ ( f ) = I g ( f ) = ∫ f ( x) g ( x)dx = ∫ f ( x)dG ( x) .Несложно увидеть, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана, то ответ на этот вопрос будет отрицательным: например, функционалϕ ( f ) = f a + b 2 в таком виде представить нельзя. Но можно расширить понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейныйфункционал ϕ ( f ) на пространстве C[ a, b] можно будет представить в виде(() )bОтсюда следует, что полное изменение V a (h ) функции h( x ) на [ a , b] непревосходит суммы полных изменений функций f ( x ) и g ( x ) .2.
Любая ограниченная монотонная функция на сегменте [ a , b] является функцией ограниченной вариации на этом сегменте.Доказательство. Пусть f ( x ) – ограниченная монотонная функция насегменте [ a , b] . Рассмотрим случай, когда f ( x ) не убывает. Тогда для любого разбиения T сегмента [ a , b] имеем:nnk =1k =1bV ( f ; T ) = ∑ f (t k ) − f (t k −1 ) = ∑ ( f (t k ) − f (t k −1 ) ) = f (b) − f (a ) .aa < c < b и функция f ( x ) имеет ограниченную вариацию наbcbсегменте [ a , b] . Тогда Va ( f ) = Va ( f ) + Vc ( f ) .Доказательство.
Возьмём произвольные разбиения T1 и T2 сегментов[a, c ] и [c, b ] соответственно. Тогда T = T1 U T2 – разбиение сегмента[a, b] , причём V ( f ; T ) = V ( f ; T1 ) + V ( f ; T2 ) .cbТак как Va ( f ) = sup V ( f ; T1 ) , Vc ( f ) = sup V ( f ; T2 ) , то получаем:ϕ ( f ) = ∫ f ( x)dG ( x) . Расширение понятия интеграла Римана в указанномнаправлении и достигается введением понятия интеграла Стилтьеса.11.2. Функции ограниченной вариации и их свойства.Определение интеграла СтилтьесаДля того чтобы определить понятие интеграла Стилтьеса, нам понадобится ввести новый класс функций.Функция f ( x ) называется функцией с ограниченным изменением, илифункцией ограниченной вариации, на сегменте [ a , b] , если существует веще-3.ПустьT1T2V ( f ) + V ( f ) = sup V ( f ; T ) ≤ sup V ( f ; T ) = Vab ( f ) .cabcT =T1 UT2T§11.
Интеграл Стилтьеса389Возьмём теперь произвольное разбиение T сегмента [ a , b] и добавим кc . Получим разбиение T ′ , причём T ′ = T1 U T2 , где T1 – разT2–разбиениеТогдабиениесегмента[a, c] ,[c , b ] .V ( f ; T ) ≤ V ( f ; T ′) = V ( f ; T1 ) + V ( f ; T2 ) . Переходя в последнем нера-нему точкувенстве к точным верхним граням, получим, чтоVab ( f ) = sup V ( f ; T ) ≤ sup V ( f ; T1 ) + sup V ( f ; T2 ) = Vac ( f ) + Vcb ( f ) .TT1T2Вместе с ранее доказанным противоположным неравенством это даёт:Vab ( f ) = Vac ( f ) + Vcb ( f ) ,4. Любая функция ограниченной вариации на сегменте [ a , b] можетбыть представлена в виде разности двух ограниченных монотонно возрастающих функций.ϕ ( x) = Vax ( f ) , a ≤ x ≤ b . Тогда, по определению полной вариации функции на сегменте, функция ϕ ( x ) не убываетДоказательство. Обозначими ограничена на [ a , b] .ψ ( x1 ) −ψ ( x 2 ) =V xxkk−1 ( f ) = f ( xk ) − f ( x k −1 ) .Пример.
Найти полную вариацию функции f ( x ) = sin x на сегменте[0, 2π ] .Решение. Разобьём сегмент [0, 2π ] на промежутки монотонности функ⎡ π ⎤ ⎡ π 3π ⎤ ⎡ 3π⎤, ⎢ции sin x : ⎢0, ⎥ , ⎢ ,, 2π ⎥ . Тогда, согласно свойствам 3 и 5,⎥⎦⎣ 2⎦ ⎣2 2 ⎦ ⎣ 2имеем:если 0 ≤ x ≤ π / 2⎧sin x,⎪V (sin x) = ⎨2 − sin x, если π / 2 ≤ x ≤ 3π / 2 и V02π (sin x) = 4 .⎪4 + sin x, если 3π / 2 ≤ x ≤ 2π⎩x0что и требовалось доказать.Далее, положим ψ ( x ) = f ( x ) − ϕ ( x ) .
ПустьСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл390x1 > x2 . ТогдаПерейдём к определению интеграла Стилтьеса.Пусть функция f ( x ) непрерывна на сегменте [ a , b] , а функция g ( x )имеетнаэтомсегментеограниченнуювариацию.ПустьV = {x0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n } – размеченное разбиение сегмента [a, b] ;T = T (V ) – соответствующее ему неразмеченное разбиение.
ОбозначимΔ k g = g ( x k ) − g ( x k −1 ) и рассмотрим суммуnσ g (V ) = ∑ f (ξ k )Δ k g .= V ( f ) − V ( f ) − f ( x1 ) + f ( x 2 ) = V ( f ) − ( f ( x1 ) − f ( x 2 )) ≥ 0,x1ax1x2x2aтак какВыражениеnV ( f ) = sup ∑ f (a k ) − f ( a k −1 ) ≥ f ( x1 ) − f ( x 2 ) ,x1x2Tk =1k =1T : x 2 = a 0 < a1 < K < a n = x1 .Значит, функции ϕ ( x ) и ψ ( x ) являются неубывающими. Тогда очевидно, что функцию f ( x ) можно представить, например, в видеf ( x) = (ϕ ( x ) + x ) − (ψ ( x) + x ) , где функции ϕ ( x) + x и ψ ( x ) + x стро-гдего возрастают.5. Любая функция с конечным числом экстремумов на сегменте [ a , b]является функцией ограниченной вариации на этом сегменте.Доказательство.
Пусть сегменты [ x k −1 , x k ] , k = 1, K , n , задают участки монотонности f ( x ) на [ a , b] . Тогда V ( f ) =ban∑Vk =1xkx k −1( f ) , гдеσ g (V ) = σ g (V ; f )называется интегральной суммойСтилтьеса функции f ( x ) по функции g ( x ) .Если существует пределε >0lim σ g (V ) = I g ( f ) , т.е. если для любогоΔV → 0δ = δ (ε ) > 0 , что для любого размеченного разбиения V сегмента [ a , b] , удовлетворяющего условию Δ V < δ ,числавыполнено:найдётся такое числоσ g (V ) − I g ( f ) < ε, то функция f ( x ) называется интегри-руемой по функции g ( x ) на сегменте [ a , b] , а величина I g ( f ) называетсяинтегралом Стилтьеса от функции f ( x ) по функции g ( x ) (или относительно функции g ( x ) ) и обозначаетсяbIg (f) =∫ f ( x)dg ( x) .a§11. Интеграл Стилтьеса391Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл39211.3. Условия существования интеграла Стилтьеса=Сформулируем и докажем некоторые условия существования интегралаСтилтьеса.Теорема 1. Пусть функция g ( x ) является функцией ограниченной ва-njk∑∑ ( f ( xk =1 j =1f ( x ) была непрерывна наε >0найдётся числомеченных разбиенийδ = δ (ε ) > 0 такое, что для любых двух раз-V1 и V2 сегмента [a, b] , удовлетворяющих условиюΔ V1 < δ и Δ V2 < δ , справедливо неравенство:εЗначит,σ g (V1 ) − σ g (V2 ) < ε2., т.е. согласно критерию Коши существуетЗафиксируемε > 0.Так как функция f ( x ) непрерывна на сегменте[a, b] , то она равномерно непрерывна на нём. Значит, существуетδ = δ (ε ) > 0 такое, что для любых точек x1 , x2 ∈ [a, b] , удовлетворяющихx1 − x2 < δ , выполнено:f ( x1 ) − f ( x 2 ) <ε2Vab ( g )(еслиbVab ( g ) = 0 , то g ( x ) ≡ 0 на [a, b] и, очевидно,∫ f ( x)dg ( x) существует иaV1 и V2 сегмента [a, b] , длякоторых выполняются условия Δ V1 < δ и Δ V2 < δ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
