И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть T1 = T (V1 ) иравен нулю). Возьмём произвольные разбиенияT2 = T (V2 ) – соответствующие им неразмеченные разбиения. Тогда разбиение T = T1 U T2 – измельчение разбиений T1 и T2 . Обозначим через Vпроизвольное размеченное разбиение сегмента [ a , b] , удовлетворяющее условию T = T (V ) .
Для него выполнено:σ g (V1 ) − σ g (V ) =nnjk∑ f ( xk )Δ k g − ∑∑ f ( x j )Δ j g =k =1Предположим теперь, что функция g ( x ) является возрастающей. Отсюда сразу следует, чтоΔ k g > 0 для любого k = 1, K , n , что позволяет до-словно повторять многие рассуждения, проводимые ранее для интеграла Римана.Аналогично суммам Дарбу в случае обычного интеграла Римана для любого разбиения T = {x0 ; x1 ;K; x n } сегмента [ a , b] определим верхнюю инижнюю суммы Дарбу–Стилтьеса:σ g (V1 ) − σ g (V2 ) < ε .условию2V ( g )Vab ( g ).ΔV → 0Доказательство. Сформулируем критерий Коши существования пределаинтегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю: пределlim σ g (V ) = I g ( f ) существует тогда и только тогда, когда для любогочислаbalim σ g (V ) = I g ( f ) .
Теорема доказана.a[a, b] .ΔV → 0εσ g (V2 ) − σ g (V ) <bдостаточно, чтобы функция) − f ( x j ))Δ j g <Аналогично доказывается, чториации на сегменте [ a , b] . Тогда для существования интеграла Стилтьеса∫ f ( x)dg ( x)kk =1 j =1nnk =1k =1S g (T ) = ∑ M k ( g ( x k ) − g ( x k −1 )) , s g (T ) = ∑ m k ( g ( x k ) − g ( x k −1 )) ,гдеM k = sup f ( x) , mk = infxk −1 ≤ x ≤ xkxk −1 ≤ x ≤ xkf ( x) .Заметим, что в простейшем случае g ( x ) = x + c мы получаем обычноеопределение сумм Дарбу.Рассуждениями, полностью аналогичными соответствующим рассуждениям для обычных сумм Дарбу, можно доказать следующие свойства суммДарбу–Стилтьеса:1) При измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу–Стилтьеса можеттолько уменьшиться; нижняя – только возрасти.2) Для любых разбиений T1 и T2 сегмента [ a , b] выполнено:s g (T1 ) ≤ S g (T2 ) .Так же, как и в случае интеграла Римана, можно определить верхний и∗нижний интегралы Дарбу–Стилтьеса: I g = inf S g (T ) , I ∗ g = sup s g (T ) ,TTгде нижняя и верхняя грани берутся по всем неразмеченным разбиениям сегмента [ a , b] .
Как и в случае интеграла Римана, можно доказать, что верхнийинтеграл Дарбу–Стилтьеса является пределом верхних сумм при стремлениидиаметра разбиения к нулю; нижний – пределом нижних интегральных сумм.§11. Интеграл Стилтьеса393Теорема 2. Пусть функция f ( x ) ограничена на сегменте [ a , b] . Она яв-Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл394Пример 1. Показать, что если функция f ( x ) интегрируема на сегментеляется интегрируемой на этом сегменте по возрастающей функции g ( x )[a, b]тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся такое неразмеченное разбиение T сегмента [ a , b] , для которогоg ( x) = С + ∫ ϕ (t )dt , где функция ϕ (t ) также интегрируема по Риману напоРиману,Риману, а функция g ( x ) удовлетворяет на этом сегменте условию Липши-[a, b] , то интеграл СтилтьесаРешение.
Действительно, так какx2g ( x1 ) − g ( x 2 ) ≤ ∫ ϕ (t )dt ≤ M x1 − x 2x1Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функция g ( x ) возрастает и удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует числоC>0x1 , x2 ∈ [a, b] выполнено:g ( x1 ) − g ( x 2 ) ≤ C x1 − x 2 .такое, что для любых точекx1 , x2 ∈ [a, b] . Значит, функция g ( x ) удовлетворяет на[a, b] условию Липшица и, согласно предыдущей теореме, функция f ( x )интегрируема по g ( x ) на этом сегменте.для любых точекПоскольку функция f ( x ) интегрируема на сег-менте [ a , b] по Риману, то существует такое разбиение T сегмента [ a , b] ,С, где s (T ) и S (T ) – соответственно ниж-11.4. Свойства интеграла Стилтьеса1.
Если функция g ( x ) дифференцируема и её производная интегрируемапо Риману на сегменте [ a , b] , то имеет место равенствоbняя и верхняя суммы Дарбу для функции f ( x ) . Заметим теперь, чтоnk =1Согласно теореме 2 это означает, что функция f ( x ) интегрируема по g ( x )на [ a , b] .Пусть теперь g ( x ) – произвольная функция, удовлетворяющая условиюЛипшица.
Рассмотрим представлениеg ( x ) = ϕ ( x ) − ψ ( x ) , где ϕ ( x ) = Cx + x , ψ ( x ) = Cx + x − g ( x ) .Заметим, что если∫nS g (T ) − s g (T ) = ∑ ( M k − m k )Δ k g ≤ C ∑ ( M k − mk )Δx k < ε .k =1ϕ (t ) интегрируема по Риману на[a, b] , то она ограничена: ϕ (t ) ≤ M . Следовательно,aдля которого S (T ) − s (T ) <∫ f ( x)dg ( x) существует.a∫ f ( x)dg ( x) существует.εпредставлениеxbε > 0.допускаетbДоказательство этой теоремы является дословным повторением рассуждений, проводимых в случае интеграла Римана (см. теорему 2 пункта 1.2.5§1).Теорема 3. Если функция f ( x ) интегрируема на сегменте [ a , b] поЗафиксируемg ( x)функцияaS g (T ) − s g (T ) < ε .ца, то интегралаx1 < x 2 , то ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 ) = (C + 1)( x 2 − x1 ) > 0 ,ψ ( x2 ) − ψ ( x1 ) = C ( x2 − x1 ) − ( g ( x2 ) − g ( x1 )) + x2 − x1 ≥ x2 − x1 > 0в силу условия Липшица.
Значит, для каждой из функций ϕ ( x ) и ψ ( x ) теорема верна. Тогда она справедлива и для их разности – функции g ( x ) .abf ( x)dg ( x) = ∫ f ( x) g ′( x)dx ,aгде интеграл в правой части понимается как обычный интеграл Римана.Доказательство. Заметим, что, так как функция g ′( x ) интегрируема поРиману на сегменте [ a , b] , то функция g ( x ) удовлетворяет условию Липшица на этом сегменте и интеграл в левой части равенства существует (см.пример 1 предыдущего пункта).
Интеграл в правой части существует, поскольку произведение двух интегрируемых по Риману функций снова является функцией, интегрируемой по Риману (свойство 2 пункта 1.4 § 1).Осталось доказать равенство левой и правой частей.
Зафиксируем произвольное ε > 0 . Тогда существует δ = δ (ε ) > 0 , что для любого размеченного разбиенияV сегмента [a, b] , Δ V < δ , выполнено:§11. Интеграл Стилтьесаbσ g (V ; f ) − ∫ f ( x)dg ( x) <aε2395bи σ (V ; fg ′) − ∫ f ( x ) g ′( x ) dx <aε(по определениям интегралов Стилтьеса и Римана соответственно). Пустьтеперь T = {x0 ; x1 ;K; x n } – некоторое неразмеченное разбиение [ a , b] ,baaV1 – размеченное разбиение сегмента [a, с ] , V2– разбиение сегмента [c, b ] . Тогда V = V1 U V2 – размеченное разбиениесегмента [ a , b] , причём Δ V = max{Δ V1 , Δ V2 } и σ g (V ) = σ g (V1 ) ++ σ g (V2 ) .
Поскольку все три интеграла существуют, то из последнего соотношения предельным переходом получаем, чтоудовлетворяющее условиюbСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралДоказательство. Пусть2Δ T < δ . Тогда по теореме Лагранжаg ( x k ) − g ( x k −1 ) = g ′(ξ k )( x k − x k −1 ) , k = 1, K , n .ОбозначимV = {x0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n } . Тогда получаем,σ g (V ; g ) = σ (V ; fg ′) , т.е.396b∫чтоaε >0abbaa( x))dg ( x) = α ∫ f1 ( x)dg ( x) + β ∫ f 2 ( x)dg ( x) ,b∫ f ( x)d (αg ( x) + βg12abbaa( x)) = α ∫ f ( x)dg1 ( x) + β ∫ f ( x)dg 2 ( x) .Доказательство этих свойств вытекает из соотношений для интегральныхсумм Дарбу–Стилтьеса:σ g (V ; αf 1 + β f 2 ) = ασ g (V ; f1 ) + βσ g (V ; f 2 )σ αg + βg (V ; f ) = ασ g (V ; f ) + βσ g (V ; f )для любого размеченного разбиения V сегмента [ a , b] .121b3. Еслиca < c < b , то∫a2cbacf ( x)dg ( x) = ∫ f ( x)dg ( x) + ∫ f ( x)dg ( x) впредположении, что существуют все три интеграла.∫ f ( x)dg ( x) .aщей функции g ( x ) , т.е.
(при условии существования каждого из интеграловСтилтьеса в правой части)2a⎧0, − 1 ≤ x ≤ 0,⎧0, − 1 ≤ x < 0,g ( x) = ⎨Пример 1. Пусть f ( x) = ⎨.⎩1, 0 < x ≤ 1,⎩1, 0 ≤ x ≤ 12. Интеграл Стилтьеса удовлетворяет свойству линейности как относительно интегрируемой функции f ( x ) , так и относительно интегрирую-1bbчто и требовалось доказать.acba∫ (αf ( x) + βfcне следует, вообще говоря, существование интеграла∫ f ( x)dg ( x) = ∫ f ( x) g ′( x)dx ,ba∫ f ( x)dg ( x) и ∫ f ( x)dg ( x)произвольно, то это означает, чтоbbЗаметим, что из существования обоих интегралов∫ f ( x)dg ( x) − ∫ f ( x) g ′( x)dx < ε .Посколькуcf ( x)dg ( x) = ∫ f ( x)dg ( x) + ∫ f ( x)dg ( x) .10Доказать, что интегралы∫ f ( x)dg ( x)−1и∫ f ( x)dg ( x)существуют и0равны нулю.Решение. Действительно, первый из интегралов равен нулю, посколькуфункция f ( x ) тождественно равна нулю на промежутке интегрирования.Второй интеграл равен нулю, поскольку интегрирующая функция g ( x ) постоянна на сегменте [0,1] , следовательно,выбора точекg ( x k ) − g ( x k −1 ) = 0 для любогоx k −1 и x k .1Однако интеграл∫ f ( x)dg ( x)не существует.
В самом деле, рассмот-−1рим разбиение T сегмента [ −1,1] , не содержащее в качестве точки разбиения точку 0 . Пусть V – произвольное размеченное разбиение, которомусоответствует разбиение T . Тогда в интегральной сумме Стилтьеса σ g (V )останется лишь одно слагаемое, а именно, слагаемоеf (ξ k )( g ( x k ) − g ( x k −1 )) = f (ξ k ) ,для которого точка нуль содержится в сегменте [ x k −1 , x k ] . В зависимости от§11.
Интеграл Стилтьесатого, будет ли точкаполучим, чтоξkудовлетворять условиюξk ≤ 0илиξk > 0 ,398мыиз линейности интеграла Стилтьеса (свойство 2).σ g (V ) = 0 или σ g (V ) = 1 . Это означает, что не существуетпредела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю.4. Если функции f ′( x ) и g ( x ) интегрируемы по Риману на сегменте[a, b] , то имеет место следующая формула интегрирования по частям:b∫ f ( x)dg ( x) = f ( x) g ( x)baaСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл3976. Для интеграла Стилтьеса справедлива следующая формула среднегозначения: пусть функция f ( x ) ограничена на сегменте [ a , b] , так чтоm ≤ f ( x) ≤ M , а функция g ( x ) монотонно возрастает на этом сегменте. Тогда найдётся такое число μ , m ≤ μ ≤ M , что для интеграла Стилтьеса выполнено:b− ∫ f ′( x) g ( x)dx ,b∫ f ( x)dg ( x) = μ ( g (b) − g (a))aгде интеграл в правой части понимается как интеграл Римана.Доказательство.
Пусть V = {x 0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n } – произвольноеразмеченное разбиение сегмента [ a , b] . Тогдаaпри условии существования интеграла в левой части последнего равенства. Вчастности, если дополнительно предположить непрерывность функцииf ( x ) на [a, b] , то можно утверждать, что найдётся такая точкаξ ∈ [a, b] , чтоnσ g (V ) = ∑ f (ξ k )( g ( x k ) − g ( x k −1 )) =bk =1∫ f ( x)dg ( x) = f (ξ )( g (b) − g (a)) .n −1= − ∑ g (ξ k )( f ( xk + 1 ) − f ( x k )) + f (ξ n ) g ( x n ) − f (ξ1 ) g ( x0 ) =aДоказательство этого факта вполне аналогично доказательству формулысреднего значения для интеграла Римана (см. теорему 1 пункта 2.2.1 §2).Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
