И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть x – дробная часть числа x , т.е. x = x − x , гдеk =1= f (b) g (b) − f (a) g (a) − g (b)( f (b) − f (ξ n )) − g (a)( f (ξ1 ) − f (a)) −n −1− ∑ g (ξ k )( f ( xk +1 ) − f ( xk )) = f (b) g (b) − f (a ) g ( a ) − σ g (V1 ) ,[x] = m ∈ Zk =1гдеξ n +1V1 = {ξ 0 ; ξ1 ;K; ξ n +1 ; x1 ;K; x n −1 } (предполагается, что ξ 0 = a ,= b ).
Так как, очевидно, Δ V1 ≤ 2Δ V ≤ 4Δ V1 , то существуетlim σ g (V ; f ) = f (b) g (b) − f ( a ) g ( a ) − lim σ f (V ; g ) =ΔV → 0ΔV 1 → 0{}– целая часть числаaинтегралаh( x) интегрируемы по g ( x ) на этом сегментеf ( x ) ≥ h( x ) для любого x ∈ [ a, b] , тоиb03∫aДоказательство3∫0 xd {x} = ∫0 xdx + 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) = − 2 .Пример 3.
Пусть⎧sin x, 0 ≤ x < π ,Вычислить интегралg ( x) = ⎨⎩cos x, π ≤ x ≤ 2π .aнеравенствавытекает2π∫ xdg (x) .0Решение. Получим, что2ππ2π00π∫ xdg ( x) = ∫ xd sin x + ∫ xd cos x + (−1) ⋅ π = 2π − 2 .f ( x)dg ( x) ≥ ∫ h( x)dg ( x) .этого3Решение. Имеем:иbx , m ≤ x < m + 1 . Вычислить значение∫ xd {x} .Отсюда и из свойства 1 вытекает необходимое утверждение.5. Если функция g ( x ) монотонно возрастает на сегменте [ a , b] , функции f ( x )[]3b= f (b) g (b) − f (a ) g ( a ) − ∫ g ( x) df ( x ) .{}изсоотношенияσ g (V ; f − h) ≥ 0 для любого размеченного разбиения V сегмента [a, b] иВ заключение приведём (без доказательства) теорему об общем виде линейного функционала в пространстве C[ a, b] .§11.
Интеграл Стилтьеса399Теорема 1. 1) Пусть функция g ( x ) является функцией ограниченной вариации на сегменте [ a , b] . Тогда интеграл СтилтьесаСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралфункции f ( x ) и g ( x ) не являются ограниченными на этом сегменте.7. Постройте три такие функции f ( x ) , g ( x ) и h( x ) на сегменте [0,1] ,b1, и при этом функция f ( x ) интегрируема по2функции g ( x ) на [0,1] , но не интегрируема по h( x ) на этом сегменте.8.
Приведите пример функций f ( x ) , g ( x ) и h( x ) на сегменте [0,1]таких, что функция f ( x ) непрерывна на этом сегменте; функции g ( x ) иh( x) имеют на нём ограниченное изменение, причём g ( x ) = h( x ) приx ≠ 1 , ночто g ( x ) = h ( x ) при x ≠I g ( f ) = ∫ f ( x)dg ( x)aявляется линейным функционалом в пространстве C[ a, b] .2) Пусть400ϕ ( f ) – произвольный линейный функционал в пространствеC[ a, b] . Тогда существует такая функция ограниченной вариации g ( x ) насегменте [ a , b] , что ϕ ( f ) представляется в виде:bϕ ( f ) = I g ( f ) = ∫ f ( x)dg ( x) .1∫aДля более детального ознакомления с интегралом Стилтьеса и его свойствами рекомендуем обратиться к классическим изданиям [9,18].Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к § 1121.Вычислите интеграл∫ f ( x)dθ ( x) , где функцияf ( x ) непрерывна−1на сегменте [ −1, 2] , а⎧0, x ≤ 0– функция Хевисайда.⎩1, x > 0θ ( x) = ⎨12.Вычислите интеграл∫ xd x .⎧0, − 1 ≤ x < 0,неf 0 ( x) = ⎨⎩ f ( x), 0 ≤ x ≤ 1интегрируема на сегменте [ −1,1] по функции g ( x ) .⎧0, x − иррациональное,10.
Пусть D ( x) = ⎨– функция Дирихле на⎩1, x − рациональноесегменте [0,1] , а функция g ( x ) не является тождественно постоянной нанём ограниченное изменение, но функция∫ D( x)dg ( x) не существует.0xsgn(sin x)) .−ππ4. Вычислите интегралчто функция f ( x ) непрерывна на этом сегменте; функция g ( x ) имеет наэтом сегменте. Докажите, что интегралπ∫ ( x + 2)d (e09. Приведите пример функций f ( x ) и g ( x ) на сегменте [ −1,1] таких,1−13. Вычислите интеграл01f ( x)dg ( x) ≠ ∫ f ( x)dh( x) .∫ ( x − 1)d (cos x sgn x) .11. Пусть функция g ( x ) является функцией ограниченной вариации насегменте [ a , b] , а функция f ( x ) ограничена и интегрируема на этом сегменте по функции g ( x ) . Докажите, чтоb∫ f ( x)dg ( x) ≤ sup0⎧ x, если 0 ≤ x < π / 2,π⎪5.
Пусть g ( x) = ⎨2, если x = π / 2 или x = π , Найдите ∫ sin dg ( x) .0⎪ x − π / 2, если π / 2 < x < π .⎩6. Постройте такие функции f ( x ) и g ( x ) на сегменте [0,1] , что функция f ( x ) интегрируема по Стилтьесу по функции g ( x ) на [0,1] , но обеaa ≤ x ≤bf ( x ) Vab ( g ) .g1 ( x) и g 2 ( x) – две неубывающие функции на сегменте[a, b] , а функция f ( x ) интегрируема на этом сегменте по функцииg ( x) = g1 ( x) + g 2 ( x) . Докажите, что функция f ( x ) интегрируема на[a, b] по каждой из функций g1 ( x) и g 2 ( x) .12.
ПустьСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл402ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯвозрастающая функция 1 + x достигает точной нижней грани на левом концесегмента, а точной верхней – на правом. Поэтому§ 1.5(k − 1) ⎞ 5 25 n⎛f1−+⎜⎟⋅ =∑∑ (k − 1) ,n ⎠ n n 2 k =1⎝k =1k =1nn5k ⎞ 5 25 n⎛S (T ) = ∑ M k Δx k = ∑ f ⎜ − 1 + ⎟ ⋅ = 2 ∑ k .n ⎠ n n k =1⎝k =1k =1ns (T ) = ∑ mk Δx k =[ ]1. Решение. а) Данная функция, являясь непрерывной на сегменте 1,2 ,интегрируема на нём, поэтому для предложенного разбиения этого сегментана равные n промежутков предел интегральных сумм при n → +∞ будет1равен значению определённого интеграла∫ xdx .0что длина каждого из сегментов разбиенияΔx k = x k − x k −1Из условия определяем,[xk −1 , xk ] ,k = 1,..., n , равна[[Составим интегральную суммуσ (T , ξ ) = ∑k =11+ n⎛ k⎞1, тогдаf (ξ k )Δx k = ∑ ⎜1 + ⎟ = 1 +n⎠n2nk =1 ⎝lim σ (T , ξ ) = 3 2 ;n11n1n1n2n4n −12n2 − 1 4 (4 − 1) 2 − 1⋅=⋅ 1=11тогда limn → +∞σ (T , ξ ) = 3 2 .1nгральную сумму видаk1n3⋅ 43⋅ 4= 1 1;11⎛ n⎞⎛ n⎞⎛⎞⎜ 2 − 1⎟⎜ 2 + 1⎟ 2 n ⎜ 2 n + 1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠когда для произвольногопри которомξ k = x k , k = 1,..., n .
Тогда получаем инте-25∑ k , откуда окончательно находимn 2 k =14I=∫ (1 + x )dx = nlim→ +∞−125 n(n + 1) 2525 n.=k = lim 2 ⋅2 ∑22n k =1 n→ +∞ n3. Решение. Заметим, что, так как подынтегральные функции в этих примерах непрерывны на сегментах интегрирования, то данные интегралы существуют. Вычислим их.1а)∫exdx . Разобьём промежуток интегрирования на n равных частей02.
Решение. 1) Согласно критерию интегрируемости, ограниченная функция f x = 1 + x интегрируема на сегменте − 1,4 тогда и только тогда,()]nk −1⎛⎞ n 2 k −1 ⎛ 1⎞ 2 n − 1 n ⎛ 1n ⎞б) σ (T , ξ ) = ∑ 2 ⎜ 2 − 2 n ⎟ = ∑ 2 n ⎜ 2 n − 1⎟ =⋅ ∑ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ =1⎜⎟ k =1⎜⎟k =1k =1 ⎝⎝⎠⎝⎠⎠2nnkn]вые концы частичных сегментов:n → +∞knn25 ⎛ n(k − 1)⎞⎟ = 25 < ε , если n > 25 , т.е.−k⎜∑2 ∑εn ⎝ k =1k =1⎠ nпри таком числе точек разбиения выполнено условие (1).
Значит, даннаяфункция интегрируема на − 1,4 .2) Для вычисления интеграла воспользуемся выбранным выше разбиением сегмента − 1,4 на n равных частей, в качестве точек ξ k возьмём пра-k1⎛ k⎞= , f (ξ k ) = f ⎜1 + ⎟ = 1 + .nn⎝ n⎠nS (T ) – s(T ) =Отсюдаnε >0[]существует такое разбиение этого сегмента,S (T ) – s(T ) < ε .(1)5k,Разобьём сегмент [− 1,4] на n равных частей точками x k = −1 +n5k = 0,1,..., n , тогда Δx k = . На каждом сегменте [x k −1 , x k ] непрерывная иnk, k = 0,1,..., n , выбирая ξ k = x k (т.е. правые концы сегnментов разбиения), k = 1,..., n . Тогдаточками x k =111 e n (e − 1)k − 1 ⎞ 1 ⎛⎜ n ⎞⎟ξk ⎛ kσ (T , ξ ) = ∑ e ⎜ −.⎟ = ∑⎜e ⎟ =n 1nn ⎠ n k =1 ⎝ ⎠⎝nk =1e −1nnkПереходя к пределу, получим1∫e0xdx = lim σ (T , ξ ) = e − 1 .n → +∞Ответы и решения403Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл404ππ⎡ π⎤б) ∫ sin xdx . Разобьём сегмент ⎢0, ⎥ на n равных частей точками⎣ 2⎦0πkπ, где Δx k =, взяв в качестве точек ξ k правые концы частичxk =2n2nных сегментов: ξ k = x k , k = 1,..., n . Составим интегральную сумму2π n⎛ πk ⎞ π⎛ πk ⎞sinsin ⎜ ⎟ .⋅=⎜⎟∑∑⎝ 2n ⎠ 2n 2n k =1 ⎝ 2n ⎠k =1n⎛ πk ⎞Вычислим ∑ sin ⎜⎟ . Для этого умножим и разделим каждое слагае⎝ 2n ⎠k =1π4nи затем воспользуемся формулой преобразованияпроизведения синусов в разность косинусов:⎛ πk ⎞n1∑ sin⎜⎝ 2n ⎟⎠ = sin(πk =1πkn∑ sin (kα ) =sin(n + 1)α ⋅ sin nα2sinαα ≠ 2πk , k ∈ Z , в котором следовало положить α =S (T ) = π ⋅2nπ (n + 1)4nsin⋅ sinπ4nπ4 =2= 1 и, кроме4ndx .
Разобьём сегмент [−1, 2] на n равных частей и выберем−12∫x2ndx = lim ∑n→∞k =1ξkв правых концах отрезков разбиения. Тогда2n⎛ 3 18k 27 k 23k ⎞ 3⎛f (ξ k )Δx k = lim ∑ ⎜ − 1 + ⎟ ⋅ = lim ∑ ⎜⎜ − 2 + 3n →∞n ⎠ n n →∞ k =1 ⎝ n nnk =1 ⎝n⎞⎟⎟ =⎠18 n( n + 1) 27 n( n + 1)( 2n + 1) ⎞⎛= lim⎜ 3 − 2+ 3⎟ = 3 − 9 + 9 = 3.n →∞26nn⎠⎝3г)∫ x dx . Указание: разбейте сегмент интегрирования на3n частичных1kотрезков точками x k = 3 n , k = 0,1,..., n , выбираяbд)∫a2 ,2∫xзначения аргументаk =1k =1sinsinπ2в)π ⎞1Итак, получили, чтоn → +∞∑ ⎜ sin ⋅ sin 4n ⎟⎠ =4n ) ⎝ 2nЗамечание. Можно было воспользоваться известным тригонометрическимтождествомгде1⎛π π ⎞, то lim S (T ) = 1 .+⎟=n → +∞2⎝ 4 4n ⎠4nтого, lim sin ⎜−1⎛nπ(2n − 1)π − cos (2n + 1)π ⎞3π3π5π⎛− cos+ cos− cos+ ...
+ cos⎜ cos⎟2 sin (π 4n ) ⎝4n4n4n4n4n4n ⎠Здесь все слагаемые в последних скобках, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.=n → +∞nS (T ) =мое в сумме на sinТак как, в силу первого замечательного предела, limξ k = x k , k = 1,..., n .dx. Выберем следующее разбиение сегмента [ a , b] : пустьxkx k = a ⋅ (b a ) n (тогда a = x0 < x1 < ... < x n = b ); ξ k = x k , k = 1, K , n .Получим, чтоπ2n.Δx k = x k − x k −1π4n ⋅ 2 ⋅ sin ⎛ π + π ⎞ .⎜⎟π4 4n ⎠⎝sin4nb⎛b⎞= a ⋅⎜ ⎟⎝a⎠k −1n1⎛⎞⎜⎛ b ⎞ n⎟1−⎜⎜ a ⎟⎟и⎜⎝ ⎠⎟⎝⎠nnkk −11dx⎛⎞n (b a ) n ⎜ (b a ) n − 1⎟ =()=limf(ξ)Δx=limab∑∑kk∫a x n→∞ k =1n →∞⎝⎠k =1Ответы и решения405n(n + 1),k=∑2k =111(b a ) n − 1 = ln b⎛⎞= lim n(a b ) ⎜ (b a ) n − 1⎟ = limn →∞a⎝⎠ n →∞ − 1 n−1nСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл406ns (T ) = 16 14 −a x −1= ln a ).x →0xlim2dxе) ∫ 2 . Выполним разбиение сегмента интегрирования на n равных1 xk1частей точками x k = 1 + , где Δx k = , а в качестве точек ξ k возьмёмnnx k −1 x k , k = 1,..., n .
Составим интегральную суммуn∑k =1=n⎛ ⎛ k − 1 ⎞⎛ k ⎞ ⎞ 1f ⎜ ⎜1 +⎟⎜1 + ⎟ ⎟⎟ ⋅ =⎜ ⎝n⎠⎝ n ⎠ ⎠ n⎝n21⋅ =∑k =1 (n + k − 1)(n + k ) nnn11 ⎞1⎛⎛1 1 ⎞ 1n=−⎜⎟ = n⎜ − ⎟ = .∑∑n+k⎠⎝ n 2n ⎠ 2k =1 (n + k − 1)(n + k )k =1 ⎝ n + k − 1n2Отсюда, переходя к пределу приn → +∞ , получаем I = ∫13этого сегментаdx 1= .x2 2s (T ) = ∑k =15(k − 1) ⎞ 5 5 n −1 ⎛5i ⎞⎛f ( x k −1 )Δx k = ∑ ⎜ − 2 += ∑⎜− 2 + ⎟ ,⎟n ⎠ n n i =0 ⎝n⎠k =1 ⎝3n3иnS (T ) = ∑k =1335k ⎞ 5 5 n ⎛5k ⎞⎛f (x k )Δx k = ∑ ⎜ − 2 + ⎟= ∑⎜− 2 + ⎟ .n ⎠ n n k =1 ⎝n ⎠k =1 ⎝nРаскрывая скобки и принимая во внимание тождества)⎧ x + 1, − 1 ≤ x < 0;⎪x = 0;6. Ответ: например, f ( x ) = ⎨0,при условии, что⎪ x − 1, 0 < x ≤ 1;⎩x=0входит в число точек, разбивающих [− 1,1] на частичные сегточкаменты.7. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
