И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Если функции f ( x ) и g ( x ) измеримы на множестве E , то функцииf ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) ⋅ g ( x ) , f ( x ) / g (x ) (при условии g ( x ) ≠ 0 ) также измеримы на множестве E (таким образом, класс измеримых функций замкнутотносительно указанных арифметических операций).эквивалентна на произвольном сегменте[a, b]непрерывной функцииg ( x ) ≡ 0 , так как множество точек x сегмента [a, b] , в которыхD( x ) ≠ g (x ) , является множеством Q всех рациональных чисел сегмента[a, b] , мера которого μQ = 0 .
Заметим, что функция D(x ) разрывна вовсех точках [a, b ] (и неинтегрируема по Риману).8 o . Если g ( x ) измерима на E и f (x ) ≈ g ( x ) на E , то f (x ) измеримана E .9 o . (Теорема Лузина, или C -свойство измеримых функций). Для тогочтобы функция f ( x ) была измерима на сегменте [a, b ] , необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 существовала непрерывная на [a, b ] функция g ( x )такая, чтоμ {x ∈ [a, b] f (x ) ≠ g ( x )} ≤ ε .[ ]Теорема Лузина означает, что любая измеримая на a, b функция можетбыть сделана непрерывной путём изменения её на множестве сколь угодномалой меры, т.е.
измеримые функции в этом смысле близки к непрерывнымфункциям.Пользуясь теоремой Лузина, несложно показать, что функция⎧0, если 0 ≤ x < 1 2 ;f (x ) = ⎨⎩1, если 1 2 ≤ x ≤ 1,является измеримой на сегменте [0,1] .§10. Мера и интеграл Лебега37910 o . Класс измеримых функций замкнут относительно операции предельного перехода. А именно, если функции f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ,…, f n ( x ) ,… измеримы на множестве E и для каждого x ∈ E существует lim f n ( x ) , тоn → +∞E функцией.этот предел также является измеримой на10.5. Интеграл ЛебегаИтак, рассмотрим интеграл Лебега – одно из наиболее важных обобщенийпонятия интеграла, предложенное в 1902 г. А. Лебегом3 и основанное на разработанной им теории меры.10.5.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функцииEПусть E – произвольное измеримое множество. Разбиением множестваназовём любую совокупность T = {E k } конечного числа измеримыхnмножествE1 , E 2 ,..., E n такую, что U E k = E , где Ei I E j = ∅ приСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл380Рассмотрим числовые множества {sT } и {S T } всевозможных нижних иверхних сумм. Они ограничены снизу числомM ⋅ μE , где m = inf f (x ) , M = sup f ( x ) , и, следовательно, имеют точEные грани.ЧислаI = sup{sT } и I = inf {S T }TTназываются, соответственно, нижним и верхним интегралами Лебега. Очевидно, чтоI≤I.Ограниченная на измеримом множестве E функция f ( x ) называетсяинтегрируемой по Лебегу на этом множестве, еслиI=I.При этом числопо множествуI = I = I называется интегралом Лебега от функции f ( x )E и обозначается∫ f (x )dμ (x ) .EE определена ограниченная функция f ( x ) . Дляпроизвольного разбиения T = {E k } положимM k = sup f ( x ) , m k = inf f ( x )Пусть на множествеEkНа множествебегу иnnk =1k =1S T = ∑ M k μE k , sT = ∑ mk μE k .Числа S T и sT называют, соответственно, верхней и нижней суммамиT . Очевидно, ∀T sT ≤ S T .T1 = {E k } с помощью разбиений каких-то из E k (т.е.
путём измельчения разбиения T1 ), тоsT1 ≤ sT2 , S T1 ≥ S T2 .Замечание. Если разбиение T2 получено из разбиенияE меры нуль всякая функция f (x ) интегрируема по Ле-∫ f (x )dμ (x ) = 0 .EEkи составим две суммы:разбиенияEk =1i ≠ j.m ⋅ μE , а сверху – числом10.5.2. Связь между интегралами Римана и Лебега.Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функцийТеорема 1 (о связи между интегралами Римана и Лебега). Всякая функция, интегрируемая по Риману на сегменте a, b , является интегрируемой на[a, b][ ]по Лебегу, причём интегралы Римана и Лебега от такой функции рав-ны.Замечание.
Обратное утверждение неверно.Теорема 2 (необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции по Лебегу). Для того чтобы ограниченная на измеримоммножестве E функция f ( x ) была интегрируема по Лебегу на этом множе-стве, необходимо и достаточно, чтобы f ( x ) была измеримой на3Лебег Анри Леон (1875–1941) – французский математик, один из основателей современнойтеории функций действительного переменного.E.§10. Мера и интеграл Лебега38110.5.3. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных суммf (x ) – ограниченная измеримая функция на множестве E ,m = inf f (x ) , M = sup f ( x ) , и пусть y1 , y 2 ,..., y n −1 – произвольные чисПустьEСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл3823o . Аддитивность интеграла. Если функция f ( x ) интегрируема на E1и E 2 , где E1 I E 2 = ∅, то f ( x ) интегрируема на E1 U E 2 , при этом выполняется равенство∫ f (x )dμ (x ) = ∫ f (x )dμ (x ) + ∫ f (x )dμ (x ) .Em = y 0 < y1 < y 2 < ... < y n −1 < y n = M .Лебеговским разбиением множества E называется разбиение T = {E k } ,ла такие, что{}{}где E1 = x ∈ E y 0 ≤ f ( x ) ≤ y1 , E k = x ∈ E y k −1 < f ( x ) ≤ y k ,k = 2,3,..., n .Пустьξk– произвольная точка изE1 U E2∫ f (x )dμ (x ) = ∑ ∫ f (x )dμ (x )I (E k , ξ k ) = ∑ f (ξ k )μE kEk(полная аддитивность интеграла Лебега).k =1называется лебеговской интегральной суммой (если какое-тоE k =∅, то E kξ k , и соответствующее слагаемое в сумме считаем равным нулю).
Положим δ = max δ k , где δ k = y k − y k −1 .4 o . Интегрирование неравенств. Если функции f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на множестве E , причём f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ E , то∫ f (x )dμ (x ) ≥ ∫ g (x )dμ (x ) .не содержит ни одной точки1≤ k ≤ nТеорема. Предел лебеговских интегральных сумм притегралу Лебега:δ →0равен ин-∫ f (x )dμ (x ) .E10.5.4. Свойства интеграла ЛебегаИнтеграл Лебега обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам интеграла Римана. Приведём их.1 .
∫ dμ ( x ) = μE .oEo5 . Связь интегрируемости с абсолютной интегрируемостью. Измеримая функция f ( x ) интегрируема на множестве E тогда и только тогда, когда интегрируема её абсолютная величина f ( x ) , причёмEИз этой теоремы следует, что интеграл Лебега можно определить как предел лебеговских интегральных сумм при δ → 0 . Такое определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана с той разницей, чтопри составлении лебеговских интегральных сумм на частичные сегментыразбивается не область определения, а множество значений функции.∫ f (x )dμ (x ) ≤ ∫ f (x ) dμ (x ) .EE6 .
Если f ( x ) интегрируема на множестве E , то она интегрируема и наoвсяком его измеримом подмножестве.7 o . Если интегрируемую функцию f ( x ) изменить на множестве мерынуль, то это не отразится ни на её интегрируемости, ни на величине интеграла.8 o . Если f ( x ) ≥ 0 и∫ f (x )dμ (x ) = 0 , то f (x ) ≈0.EE2 o . Линейность интеграла. Если функции f (x ) и g ( x ) интегрируемына множестве E , а α и β – произвольные числа, то функцияαf ( x ) + β g (x ) интегрируема на E , причём∫ (αf (x ) + βg (x ))dμ (x ) = α ∫ f (x )dμ (x ) + β ∫ g (x )dμ (x ) .EkEnδ →0E2Вообще говоря, если f ( x ) интегрируема на множестве E , являющемсясуммой любого конечного или счётного числа попарно непересекающихсяизмеримых множеств E1 , E 2 ,..., E n ,…, тоE k (k = 1,2,..., n ) .
Числоlim I (E k , ξ k ) =E1EE9 o . Если f ( x ) интегрируема на множестве E , то всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0 , что∫ f (x )dμ (x ) < εe§10. Мера и интеграл Лебега383для любого измеримого множества e ⊂ E с мерой μe < δ . Это свойствоназывают абсолютной непрерывностью интеграла Лебега.10 o . Предельный переход под знаком интеграла. Если функции f 1 ( x ) ,f 2 (x ) ,…, f n (x ) ,… интегрируемы на множестве E , и f n ( x ) → f (x ) почтивсюду на E , причём существует такая интегрируемая на E функция Φ ( x ) ,что f n ( x ) ≤ Φ ( x ) для всех n , то предельная функция f ( x ) также интегрируема на E и допустим предельный переход под знаком интеграла, т.е.lim ∫ f n ( x )dμ ( x ) = ∫ f ( x )dμ ( x ) .n → +∞EE11o .
Если функция F (x ) имеет ограниченную производную F ′(x ) , топоследняя интегрируема по Лебегу иxF ( x ) = ∫ F ′( x )dx + C ,Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл384Пример 1. Доказать, что функция Дирихле D ( x ) интегрируема по Лебе-[ ]ем sT ≥ 0 , S T ≥ 0 . Рассмотрим разбиениево Q рациональных чисел и множествого разбиения12 o . Почленное интегрирование рядов неотрицательных измеримыхфункций.
Если функции u k ( x ) ≥ 0 (k ∈ N ) измеримы на множестве E , то∑ ∫ u k (x )dμ (x ) ,S T ∗ = sup D( x )μQ + sup D( x )μQ = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ (b − a ) = 0 .QQТаким образом, множество {S T } содержит число 0. ПоэтомуI = inf {S T } = 0 .Так как все sT ≥ 0 , то I = sup{sT } ≥ 0 , а поскольку I ≤ I , получаемI = 0.14 . Неравенство Коши для интегрируемых функций. Пусть функцииf ( x ) и g ( x ) интегрируемы (вместе со своими квадратами) на множествеE , тогда⎛⎞⎜ ∫ ( f (x ) + g ( x ))2 dμ ( x )⎟⎜⎟⎝E⎠⎛≤ ⎜⎜ ∫ f⎝E2⎞(x )dμ (x )⎟⎟⎠12Итак,I = I = 0 . Отсюда следует, что функция D( x ) интегрируема по[ ]Лебегу на a, b , причём∫ D(x )dμ (x ) = 0 .[a , b ]T = {E k } имеемf (ξ1 ) = 0 ∀ξ1 ∈ E1 ; μE 2 = μE3 = ... = μE n −1 = μ ∅ = 0 ;μE n = μ {x ∈ [a, b] 0 < y n −1 < D(x ) ≤ 1} = μQ = 0 , f (ξ n ) = 1∀ξ n ∈ E n .I (E k , ξ k ) = f (ξ1 )μQ + f (ξ n )μQ = 0 , т.е.
любая лебеговскаяинтегральная сумма равна нулю. Следовательно, lim I (E k , ξ k ) = 0, т.е.Поэтому⎞⎛⎞(x )dμ (x )⎟⎟⎜⎜ ∫ g 2 (x )dμ (x )⎟⎟ .⎠⎝ E⎠o12Q иррациональных чисел. Для это-μE1 = μ {x ∈ [a, b] 0 ≤ D( x ) ≤ y1 < 1} = μQ = b − a ,k =1 E13o . Неравенство Буняковского для интегрируемых функций. Пустьфункции f ( x ) и g ( x ) интегрируемы (вместе со своими квадратами) намножестве E , тогда2T сегмента [a, b] на множест-2-й способ.
Для любого лебеговского разбиения+∞причём обе части этого равенства могут одновременно обращаться в + ∞ .2T име-∗Tгде интеграл понимается по Лебегу. Таким образом, интеграл Лебега до концарешает задачу восстановления первообразной по ограниченной производной.⎛⎞⎛⎜ ∫ f (x )g (x )dμ ( x )⎟ ≤ ⎜ ∫ f⎜⎟⎜⎝E⎠⎝E[a , b ]Решение. 1-й способ. Так как D ( x ) ≥ 0 , то для любого разбиенияa⎛ +∞⎞u k (x )⎟dμ ( x ) =∫E ⎜⎝ ∑k =1⎠∫ D(x )dμ (x ) .гу на произвольном сегменте a, b , и найти12⎛⎞+ ⎜⎜ ∫ g 2 ( x )dμ ( x )⎟⎟ .⎝E⎠[ ]∫ D(x )dμ (x ) = 0 .δ →0функция D ( x ) интегрируема по Лебегу на a, b , причём[a , b ]Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
