И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Доказательство. В самом деле, на любом сколь угодно малом сегменте разбиения x k −1 , x k найдутся как рациональная, так и иррациональнаято интегральнаяk =0n −1x k ≤ x ≤ xk +1откуда имеемξk ,∑Mmk = inf sin (50 x ) , M k = sup sin (50 x ) . Зафиксируем произ-ψ ( y ) = ln y непрерывна на сегменте [1, 3] .
Значит, сложнаяфункция ψ (ϕ ( x )) интегрируема на [−1,1] (см. теорему 6 пункта 1.3.5).точки. Если на всех сегментах выбрать рациональные0n −1∑ mk Δxk ≤ ∑ sin (50ξ k )Δxk ≤ ∑ M k Δxk ,равенство]3n −1т.е. функция Римана является интегрируемой на сегменте [0,1] .18. Доказательство. 1-й способ. Так как данная функция имеет на сегменте [−1,1] единственную точку разрыва x = 0 , то она интегрируема на этомсегменте (теорема 2, п.1.3.2).2-й способ. Функция ϕ ( x ) = sgn x интегрируема на сегменте [−1,1] .[Пусть, ради определённости,21. Решение.
Воспользуемся тем, чтоn −1Функцияλ.(0 ≤ m ≤ n) . Для всех k , k ≤ m , выберем рациональныеξ k ∈ [x k −1 , x k ] , а для k > m выберем иррациональные ξ k , и запишем соответствующую интегральную сумму σ (T , ξ ) :σ (T , ξ ) = 1 ⋅ Δx1 + 1 ⋅ Δx 2 + ... + 1 ⋅ Δx m + 0 ⋅ Δx m +1 + ... + 0 ⋅ Δx n = λ .Тогда lim σ (T , ξ ) = λ .Δ →0xm = λвольное=ε ,Δ →0полняется критерий интегрируемости).
Значит, функция Дирихле не интегрируема.20. Доказательство. Выполним разбиение сегмента 0,1 так, чтобы однаkεможно указать такоеδ, что не-− m k )Δx k < ε выполняется, как только Δ T < δ .чтоmk = sin (50a k ) ,M k = sin (50bk ) ,a k , bk ∈ [x k , x k +1 ] , поэтому по теореме ЛагранжаM k − mk = 50 cos(50c k )(bk − a k ) , c k ∈ (a k , bk ) ,0 ≤ M k − mk ≤ 50(bk − a k ) ≤ 50Δx k .n −1n −1k =0k =00 ≤ ∑ (M k −m k )Δx k ≤ 50∑ Δx k2 .При условии Δx k < δ получимгдеОтветы и решенияn −1n −1k =0k =041350∑ Δx k2 < 50δ ∑ Δx k = 150δ .Следовательно,Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл414[ ]a, b , за исключением множества жордановой меры нуль, следовательно,интегрируема на этом сегменте (см.
теорему 2 пункта 1.3.2). Значит, и функция g x является интегрируемой на a, b (как разность двух интегрируе-[ ]()n −1∑ (M k − mk )Δxk < 150δ .k =0Достаточно взять δ = ε 150 .22. Указание: воспользуйтесь схемой решения предыдущей задачи.23. См. доказательство теоремы 1 пункта 1.3.1.24. См. доказательство теоремы 2 пункта 1.3.2.25. См. доказательство теоремы 4 пункта 1.3.4.26. См. доказательство теоремы 5 пункта 1.3.5.27. См. в теореме 2 пункта 1.2.1.28. Ответ: вообще говоря, неверно. Например, функция Дирихле, какизвестно, ограничена на любом сегменте, но нигде не интегрируема.29. Ответ: да (см. следствие к теореме 2 из пункта 1.2.1).30. См.
свойство 3 пункта 1.4.31. См. доказательство свойства 4 (аддитивности) в пункте 1.4. В случаепроизвольного расположения точек утверждение доказывается аналогично.32. См. доказательство свойства 1.1 пункта 1.4.33. См. доказательство свойства 1.2 пункта 1.4.34. См. доказательство в замечании 1 к пункту 1.4.35. См. доказательство в замечании 2 к пункту 1.4.36.
См. доказательство свойства 2 пункта 1.4.37. Ответ: а) Рассмотрите функции⎧1, если x − рационально ;x ∈ [a, b] ;f (x ) = ⎨⎩0, если x − иррационально,⎧0, если x − рационально ;x ∈ [a, b] .g (x ) = ⎨⎩1, если x − иррационально,б) Например, функция⎧1, если x − рационально ;x ∈ [a, b] .f (x ) = ⎨⎩− 1, если x − иррационально,38. См. замечание 3 в пункте 1.4.39. См. замечание 4 в пункте 1.4.40. См. теорему 6 пункта 1.3.5.41. Ответ: вообще говоря, неверно (см. замечание 2 в пункте 1.3.5).42. Доказательство.
Пусть сначала функция f x интегрируема на сег-( )менте[a, b] . Рассмотрим функцию f (x ) − g (x ) . Она равна нулю всюду намых функций). Покажем теперь, что в этом случаеПустьbbaa∫ f (x )dx = ∫ g (x )dx .M = max⎧⎨ sup f ( x ) , sup g (x ) ⎫⎬ .
Рассмотрим интегралa ≤ x ≤b⎩a ≤ x ≤b⎭b∫ ( f (x ) − g (x ))dx .aВыберем произвольное число ε > 0 . Так как множество тех точек, в которых подынтегральная функция отлична от нуля, имеет жорданову мерунуль, то мы можем построить систему интервалов, покрывающих эти точки, собщей суммой длин, не превосходящей ε / M . Концы этих интервалов обра-[a, b] . Составим интегральную сумму,соответствующую этому разбиению. Так как на той части сегмента [a, b ] ,зуют некоторое разбиение сегментакоторая не вошла в построенные интервалы, подынтегральная функция тождественно равна нулю, то очевидно, что эта интегральная сумма по модулюне будет превосходить ε .()[ ]()Поскольку функция f x − g x интегрируема на a, b , то для неёдолжен существовать предел интегральных сумм при стремлении диаметраразбиения к нулю. Однако мы показали, что интегральные суммы могут принимать сколь угодно малые значения.
Значит, этот предел равен нулю, т.е.b∫abf ( x )dx = ∫ g ( x )dx .aВ частности, доказанное утверждение означает, что если функцияf (x )[a, b] , то, не изменяя свойства интегрируемости исамого значения интеграла функции f ( x ) на сегменте [a, b ] , её значения наинтегрируема на сегментемножестве жордановой меры нуль можно заменить произвольными конечными значениями.Если же функция f x не является интегрируемой на a, b , то и функ-( )[ ]g ( x ) не может быть интегрируемой (иначе f ( x ) была бы интегрируемакак сумма двух интегрируемых функций f ( x ) − g ( x ) и g ( x ) ).цияОтветы и решения415b43. Доказательство.
Докажем сначала, что из равенства∫f2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл416σ ( f 2 ; I ′ U J ′) =(x )dx = 0af ( x ) = 0 во всех точках непрерывности f ( x ) , принадлежащихсегменту [a, b ] . Пусть существует точка x 0 ∈ [a, b ] такая, что f ( x ) непрерывна в точке x 0 и f ( x0 ) = α ≠ 0 . Тогда существует число δ > 0 такое,что f ( x) ≥2α22[ xk −1 , xk ]⊂ I(ξ k )Δx k +∑f[ xk −1 , xk ]⊂ I2(ξ k )Δx k ≤ Mεного сохранения знака функцией, непрерывной в точке).
Введём вспомога-⎧α / 2, x ∈ [ x0 − δ , x 0 + δ ]2тельную функцию g ( x ) = ⎨x ∉ [ x0 − δ , x0 + δ ]⎩0,f ( x ) ≥ g ( x ) для любой точки x ∈ [ a, b] . Значит,b∫fab2( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx = 2δ ⋅aα22. Очевидно, чтоM( )[биения x k −1 , x k] равно ω ksupf ( x ) на сегменте разf ( x ′) − f ( x ′′) , то, в силу неравен-=supxk −1 ≤ x′ , x′′≤ xkf ( x ′) − f ( x ′′) ≤supxk −1 ≤ x′, x′′≤ xkном покрытии5) и составим соответствующую интегральную суммуf ( x ) на[a, b] , из последнего неравенства следует, что он выполнен и для функцииf (x ) .45.
Доказательство. Рассмотрим в качестве примера функцию⎧1, если x − рационально ;x ∈ [a, b] .f (x ) = ⎨⎩− 1, если x − иррационально,bТогда | f ( x ) |≡ 1 на [ a , b] . Очевидно, что интегралa ≤ x ≤bf ( x ) интегрируема на [a, b] , то она ограничена на этом сегменте). Построим систему I интервалов, покрывающих все точки разрыва функции f ( x )на [a, b ] , с общей суммой длин, не превосходящих ε / M . Пусть J – система интервалов, покрывающая все точки сегмента [a, b ] , не вошедшие в I .Тогда система I U J образует открытое покрытие [a, b ] . Выделим из неёконечное подпокрытие I ′ U J ′ (это можно сделать согласно лемме о конеч-f (x ′) − f ( x′′) .В силу выполнения критерия интегрируемости для функции[ ]ва лебеговой меры нуль в пункте 1.3.3). Пусть M = sup f ( x ) (так какСм., например, [19], глава II, §5.2f ( x ′) − f ( x ′′) ≤ f ( x ′) − f ( x ′′) , x ′, x ′′ ∈ [x k −1 , x k ] , получаем ана-функции f x на сегменте a, b можно покрыть счётной системой интервалов с общей суммой длин, не превосходящей ε (см.
определение множест-5∫ f (x )dx = 0 .44. Доказательство. Так как колебание функцииxk −1 ≤ x′, x′′≤ xk2(ξ k )Δx k ≡ 0 ,a>0ностибега интегрируемости функции (теорема 3 пункта 1.3.3), множество её точекразрыва имеет меру нуль по Лебегу, т.е. для любого ε > 0 все точки разрыва(ξ k )Δx k .bлогичное соотношение для точных верхних граней()f ( x ) , принадлежащих сегменту [a, b] . Тогда, согласно критерию Ле-2[ xk −1 , xk ]⊂ Jто получили, что σ ( f ; I ′ U J ′) < ε . Значит,ства(см. свойства интегралов, связанные с неравенствами, в параграфе 2). Мыпришли к противоречию. Утверждение доказано.Докажем обратное.
Пусть функция f x = 0 во всех точках непрерыв-2[ xk −1 , xk ]⊂ J∑f,2для любой точки x ∈ [ x0 − δ , x0 + δ ] (свойство локаль-∑fТак как, по построению,следует, что2∑f∫f ( x) dx сущест-aвует. С другой стороны, сама функция f (x ) не интегрируема на [ a , b] . По-кажем это. Пусть T = {x 0 ; x1 ;K; x n } – произвольное разбиение сегмента[a, b] . Тогда для любого натурального числа k , 1 ≤ k ≤ n , найдётся рациональное число ξ k′ ∈ [ x k −1 , x k ] и иррациональное число ξ k′′ ∈ [ x k −1 , x k ] .nЗначит,nS (T ) = ∑ M k Δx k = ∑1 ⋅ Δx k = b − a ,k =1k =1nnk =1k =1s (T ) = ∑ mk Δx k = ∑ (−1) ⋅ Δx k = −(b − a ) ,Ответы и решения417т.е. S (T ) − s (T ) = 2(b − a ) для любого разбиения T сегмента [ a , b] . Этоозначает, что данная функция не интегрируема на этом сегменте (критерийРимана интегрируемости функции).46.
Доказательство. Пусть сначала f (x ) непрерывна на сегменте[ A, B ] , [a, b] ⊂ ( A, B ) . Тогда она равномерно непрерывна на [ A, B ] и длялюбогоε >0найдётся числоδ >0для всех x, x + h ∈ [ A, B ] , еслиb∫такое, что f ( x + h) − f ( x ) <εb−ah < δ . Тогдаbf ( x + h) − f ( x) dx ≤ ∫εdx = εb−a(так как если f ( x ) ∈ R[ a, b ] , g ( x ) ∈ R[ a, b] , f ( x ) ≥ g ( x ) для любойaabточки x ∈ [ a, b] , то⎧⎫⎪εРассмотрим сегменты [ x k − δ , x k + δ ] , где δ = min ⎪⎨ Δ T ,⎬.⎪⎩ 4 2( n − 1)( M + m ) ⎪⎭Они не пересекаются.
Пусть функция⎧M 1 , a ≤ x ≤ x1 − δ⎪ϕ ε ,δ ( x) = ⎨M k , x k + δ ≤ x ≤ x k +1 − δ , k = 1, 2, K , n − 2 ,⎪M , x ≤ x ≤ b⎩ n n −1и линейна на сегментах [ x k − δ , x k + δ ] , k = 1, 2, K , n − 1 . Тогда ϕ ε ,δ ( x )определена однозначно (так как её значения в концах сегментов определены),непрерывна на [ a , b] иb∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx ).blim ∫ f ( x) − ϕ n ( x) dx = 0 .n →∞aДействительно, так как функция f (x ) интегрируема на сегменте [ a , b] , тодля любогоε >0существует такое разбиение T = {x 0 ; x1 ;K; x n } сегментаn[a, b] , что I ≤ S (T ) = ∑ M k ( x k − x k −1 ) < I +k =1ε2b, гдеa+ ∫ (ϕ ε ( x) − ϕ ε ,δ ( x))dx ≤видно, что функцияϕ ε (x)∫ ϕε ( x)dx = S (T ) .aЛегко видеть также, что функцияϕ ε (x)разрывна в точках x1 , x 2 , K, x n −1сегмента [ a , b] и m ≤ ϕ ε ( x) ≤ M , где M = sup f ( x) , m = inf f ( x ) .a ≤ x ≤ba ≤ x ≤bε2+ (n − 1)( M + m )δ ≤ ε .Утверждение доказано.Вернёмся теперь к исходной задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
