И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Вычисление площадей поверхностей вращенияx333x−2yРешая уравнение= e a + e a относительно x и учитывая вышесказанay + y2 − a2bное замечание, находим x = a ln, a ≤ y ≤ ach . Отсюдаaaaydy2, dl = 1 + ( x ′( y )) dy =,x ′( y ) =2222y −ay −aпоэтому по формуле (5) получаемachS пов ,Y = 2πba∫ x( y )21 + ( x ′( y )) dy =Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл334Пример 12. Найти площадь поверхности, образованной вращением аркиx = a(t − sin t ) , y = a(1− cos t )прямой y = 2a .циклоидыРешение. Перейдём к новым координатам()∫= 2πaa= 2πabacha∫abaвокругx1 = x , y1 = y − 2a (враще-ние кривой y x вокруг прямой y = 2a равнозначно с точки зрения равенства площадей образующихся при этом поверхностей вращению кривойy1 x = y x − 2a вокруг оси Ox1 ).
Учитывая симметрию кривой относи-()()тельно прямойполучим:x1 = πa , а также то, что y1 ≤ 0 , в новой системе координатS пов , X 1 = 2πaach(a > 0; 0 ≤ t ≤ 2π )2π∫ y (t ) (x′ (t )) + ( y ′ (t ))21121dt =0y + y2 − a2lnay + y2 − a2lndaydyy2 − a2(y −a22π== 4π ∫ y − 2a(x′ (t ))20π)=bb ⎞ach⎛acha22a ⎟⎜y+ y −a= 2πa⎜ y 2 − a 2 ln− ∫ dy ⎟ =a⎟⎟⎜⎜aa⎠⎝bb⎛⎞ach + ash⎜⎟baa − ach b + a ⎟ == 2πa⎜ ash ⋅ lnaaa⎜⎟⎜⎟⎝⎠bb⎛⎞= 2πa⎜ bsh − ach + a ⎟ (кв.ед).aa⎝⎠8.5.3. Вращение вокруг произвольной осиЕсли вращение кривой осуществляется вокруг произвольной прямой (лежащей в плоскости кривой), то рекомендуется сделать переход к новой системе координат так, чтобы в новых координатах вращение происходило вокруг одной из координатных осей.= 4π ∫ a(1 − cos t ) − 2a2′+ ⎛⎜ ( y − 2a ) ⎞⎟ dt =⎝⎠(a(1 − cos t ))2 + (a sin t )2 dt =0π= 4πa 2 ∫ (1 + cos t ) 2(1 − cos t )dt =0= 8πaπ2π32∫ (1 + cos t )sin(t 2)dt = − 32πa ∫ cos (t 2)d cos(t 2) = 3 πa2022.0Во многих ситуациях полезной оказывается следующая теорема (можносформулировать её аналог для плоского случая).Теорема 5 (пространственный случай).
Пусть имеются гладкая криваяL , заданная в пространстве параметрическими уравнениямиx = x t , y = y t , z = z t , t ∈ T0 , T ,()()x(t ) , y(t ) , z (t ) ∈ C (1) [T0 , T ] , и прямая()[]p , являющаяся осью вращения,причём кривая лежит в плоскости, проходящей через p .
Тогда площадь по-гдеверхности вращения находится по формулеTS пов , p = 2π ∫ ρ (t )dl ,гдеρ (t )T0есть расстояние от точки(6)M ( x(t ); y (t ); z (t )) , лежащей на кри-§8. Вычисление площадей поверхностей вращения335dl – дифференциал дуги.Доказательство. Пусть T = {t 0 ; t1 ; K ; t n } – произвольное разбиениесегмента [T0 , T ] точками M k , k = 0,1,..., n .
Впишем в кривую L ломануюLn , соответствующую этому разбиению. Обозначим через S n , p поверхность,вой, до оси вращения p , аLn вокруг прямой p .Отрезок Δ k = [ M k −1 , M k ] ломаной Ln при вращении вокруг оси pобразует поверхность S k , площадь которой вычисляется по формуле~S k = 2π Δ k ρ ( M k ) =~= 2π ( x(t k ) − x(t k −1 )) 2 + ( y (t k ) − y (t k −1 )) 2 + ( z (t k ) − z (t k −1 )) 2 ρ ( M k ) ,~~где M k – некоторая точка, лежащая на Δ k , а ρ ( M k ) – расстояние от неёдо прямой p .полученную при вращении ломанойДействуя так же, как в теореме 1, можно показать, чтоS k = 2π ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 + ( z ′(ξ k )) 2 ρ ( M k )(t k − t k −1 ) + o((t k − t k −1 )),nnk =1k =1ρ (t ) = y(t ) = t ,(x′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt =для отрезка BC имеем: ρ (t ) = y (t ) = 2 ,22dl = ( x ′(t )) + ( y ′(t )) dt =dl =12 + 0 2 dt = dt ,56⎞⎛ 25S пов , X = S AB + S BC = 2π ∫ tdt + 2π ∫ 2dt = 2π ⎜ − 2 ⎟ + 20π = 41π⎝ 2⎠21(кв.ед).Пример 14.
Найти площадь поверхности, образованной вращением частикривойy = 3x − x 3 , лежащей в правой полуплоскости (x ≥ 0) выше прямойy = x , вокруг этой прямой.Решение. Из условия задачи следует, чтоНайдём дифференциал дуги: dl = 1 + y ′20 ≤ x ≤ 2 , y ′ = 3 − 3x 2 .(x )dx =1 + 9(1 − x 2 ) dx . Из2вестно, что расстояние от точки(x0 ; y 0 ) до прямой y = ax + bимеем: S n , p == ∑ S k = ∑ 2π ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 + ( z ′(ξ k )) 2 ρ ( M k )(t k − t k −1 ) + o(1)0 2 + 12 dt = dt ;поэтомуyнаходится по формулеxξ k ∈ (t k − t k −1 ) . Тогда для площади поверхности S n , pДля отрезка AB имеемy=гдеСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл336y 0 − ax0 − bρ=откуда по определению площади поверхности вращения получаем, чтоa2 +1TS пов , p = sup S n , p = 2π ∫ ρ (t )dl ,Tгде дифференциал дуги dl =( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 + ( z ′(t )) 2 dt .BРешение. Запишем параметрические уравнения отрезковAB и BC :AB : x = 1 , y = t , 2 ≤ t ≤ 5 ;Cx102(x; y )6BC : x = t , y = 2 , 1 ≤ t ≤ 6 .()до оси вращения (прямойy = x ) равно3x − x 3 − x( )B(1;2) , C (6;2) вокруг оси Ox .20xПример 13.
Найти площадьповерхности, полученной вращением ломаной ABC , где A 1;5 ,A5поэтому в рассматриваемом случае расстояние ρ x от точкиT0y,2=2x − x32Следовательно, по формуле (6)TS пов. = 2π ∫ ρ (t )dl = 2πT0Сделаем замену t = 1 − x , тогда22∫ (2 − x )201 + 9(1 − x 2 ) xdx .2.§8. Вычисление площадей поверхностей вращения2π2S пов. =3371∫ (1 − t )Для1 + 9t 2 dt =2π ⎛ t122 ⎞⎜ 1 + 9t + ln 3t + 1 + 9t ⎟ =2 ⎝26⎠ −1((a))0 ≤ t ≤ 2π .
Тогда точка B со-ответствуетзначениюbt 0 = arcsin , точка A – значеaнию T = π − t 0 . Имеем:L1 : x = a cos t , y = a sin t , t 0 ≤ t ≤ T ; L2 : x = a cos t , y = a sin t ,T ≤ t ≤ 2π + t 0 .Для L1 имеем: ρ (t ) = y (t ) − b = a sin t − b ,dl =(x′(t ))2+ ( y ′(t )) dt =2(a sin t )2∫ (b − a sin t )adt = 2πab(π + 2t ) + 2πaπS пов ,1 = 2πt0= 4πa 2 1 −0− 2abπ (π − 2t 0 ) =b2b− 2abπ 2 + 4πab arcsin .2aaπ −t 0=(кв.ед).Теорема 6. Если кривая задана явно в полярной системе координат урав-r = r (ϕ ) , r (ϕ ) ∈ C (1) [ϕ 0 , ϕ1 ] , то площадь поверхности, полученнойвращением дуги кривой вокруг полярной оси OP (оси Ox при соответстнениемвующем совмещении с декартовой системой координат), вычисляется поформулеϕ1S пов , P = 2π ∫ r sin ϕ r 2 + (r ′(ϕ )) dϕ .2(7)ϕ0Доказательство. Формула (7) получается из формулы (1‘) выбором параметризации x (ϕ ) = r (ϕ ) cos ϕ , y (ϕ ) = r (ϕ ) sin ϕ .
Действительно, в этомслучае дифференциал дугиdl = ( x ′(ϕ )) 2 + ( y ′(ϕ )) 2 dϕ == ( r ′(ϕ )) 2 cos 2 ϕ + (r (ϕ )) 2 sin 2 ϕ + ( r ′(ϕ )) 2 sin 2 ϕ + (r (ϕ )) 2 cos 2 ϕ dϕ == r 2 + (r ′(ϕ )) 2 dϕ .Пример 16. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоидыr = a 1 + cos ϕ , a > 0 вокруг полярной+ (a cos t ) dt = adt ,π −t 0b+ 4πa a 2 − b 2a2π + t 08.6.1. Вращение вокруг полярной оси22∫ (a sin t − b)adt = − 2πa cos t tcos t8.6.
Площадь поверхности вращения в полярных координатах(следовательно, по формуле (6)π −t 020= 2π 2 ab + 4πab arcsinкоторые хорда делит окружность.Решение. Введём декартову систему координат так, что её начало совпадает с центром окружности, осьyOx параллельна хорде AB .Пустьхорда лежит в верхней поABbлуплоскости. Запишем параметрические уравнения окружности:x = a cos t ,y = a sin t ,x02π + t 0−t 02π2 10 + ln 3 + 10 (кв.ед).6Пример 15. Хорда AB окружности L радиуса a находится на расстоянии b (b < a ) от центра окружности.
Найти площадь поверхности,полученной вращением вокруг этой хорды каждой из частей L1 и L2 , на=L2 имеем: ρ (t ) = b − y(t ) = b − a sin t , dl = adt , следовательно,S пов , 2 = 2π−11=Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл338Pоси)OP .Решение.Воспользуемся формулой (7), учитывая при этом симметрию данной кривойотносительно полярной оси:§8. Вычисление площадей поверхностей вращенияϕ1339Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл340πS пов , P = 2π ∫ r sin ϕ r + (r ′(ϕ )) dϕ =22= 2π ∫ a(1 + cos ϕ )sin ϕ(a(1 + cos ϕ ))24S пов , P = 4π ∫ r sin ϕ r 2 + (r ′(ϕ )) dϕ = 4πa 2 ∫ sin ϕdϕ =ϕ0ππ420+ (− a sin ϕ ) dϕ =2(= 2πa 2 − 220) (кв.ед).0π8.6.2. Вращение вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси= 4πa 2 ∫ (1 + cos ϕ )sin ϕ cos(ϕ 2 )dϕ =Теорема 7.
Если кривая задана явно в полярной системе координат урав-0r = r (ϕ ) , r (ϕ ) ∈ C (1) [ϕ 0 , ϕ1 ] , то площадь поверхности, полученнойπнением0вращением дуги кривой вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси (осиOy при соответствующем совмещении с декартовой системой координат),вычисляется по формуле= 4πa 2 ∫ (1 + cos ϕ )sin ϕ cos(ϕ 2)dϕ =π= 16πa 2 ∫ cos 4 (ϕ 2 )sin (ϕ 2)dϕ =ϕ1S пов ,Y = 2π ∫ r cos ϕ r 2 + (r ′(ϕ )) dϕ .0π= −32πa 2 ∫ cos 4 (ϕ 2)d cos(ϕ 2) =0Эта теорема доказывается аналогично теореме 6 (на базе формулы (4)).Пример 17. Найти площадь поверхности тела, образованного вращениемлемнискаты Бернулли, заданной в полярной системе координат уравнениемr 2 = a 2 cos 2ϕ (a > 0) , вокруг полярной оси.Даннаяr = a cos 2ϕPкриваяa sin 2ϕcos 2ϕто по формуле (7) получаем:,лемнискаты Бернуллиотносительно обеих координатных осей, поэтому для нахождения искомой площади поверхности достаточно удвоить площадь,полученную от вращения тойчасти кривой, что расположена впервой четверти 0 ≤ ϕ ≤ π 2 .Найдём пределы интегрирования:cos 2ϕ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ π 4 .Поскольку4r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) =2a2,cos 2ϕ)r 2 = a 2 cos 2ϕ (a > 0) вокруг оси ϕ =π2.Решение.
Учитывая область определения кривой и её симметрию относительно обеих координатных осей, по формуле (8) получаемπr sin ϕ = a cos 2ϕ sin ϕ ,r ′(ϕ ) = −Пример 18. Найти площадь поверхности тела, образованного вращениемсимметрична(O(8)ϕ032 2πa (кв.ед).5Решение.2π4S пов ,Y = 4π ∫ r cos ϕ r 2 + (r ′(ϕ )) dϕ = 4πa 2 ∫ cos ϕdϕ = 2 2πa 220(кв.ед).08.6.3.
Вращение вокруг произвольной оси1. Иногда при нахождении площади поверхности вращения в случае, когда кривая задана в полярных координатах, бывает удобно перейти от полярных координат к прямоугольным, и уже затем выполняют преобразованиекоординат так, чтобы в новой системе координат вращение происходило вокруг одной из координатных осей.Пример 19. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды r = a 1 + cos ϕ , a > 0 , вокруг левой вертикальной касательной кэтой кривой.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
