И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для этого введём новые координаты ⎨ 1. Тогда⎩ y1 = y − lфигура F в новой системе координат задаётся как множество точекF = {( x1 ; y1 ) a ≤ x1 ≤ b, f1 ( x1 ) − l ≤ y1 ≤ f 2 ( x1 ) − l} ,и для объёма тела вращения Fl имеем§7. Вычисление объёмов тел297b1Vl = π ∫ ( f 2 (x1 ) − l ) − ( f 1 ( x1 ) − l ) dx1 =2((a3bF = {(x; y ) a ≤ x ≤ b, f1 ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x )},3по формулеbV p = 2π ∫ ( f 2 ( x ) − f 1 ( x )) x − p dx .(15)a⎧ x1 = x − p.
Тогда область F в⎨⎩ y1 = yРешение. Вращаемая фигура имеет вид криволинейной трапецииF = {( x; y ) 0 ≤ x ≤ 2πa,0 ≤ y ≤ y ( x )} .Переходя в интеграле к переменной t , по формуле (14) получимV y =2a = π2πa∫ ( y ( x ) − 2a )2− (0 − 2a) 2 dx =0F = {( x1 ; y 2 ) a − p ≤ x1 ≤ b − p, f1 ( x1 + p ) ≤ y1 ≤ f 2 ( x1 + p )},=πи объём находится по формуле (12):11⎞23π⎟⎟ =30⎠0y = 2a криволинейной трапеции, ограниченной одной аркой циклоидыx = a(t − sin t ) , y = a(1− cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) и прямой y = 0 .новой системе координат задаётся следующим образом22Пример 14. Найти объём тела, полученного вращением вокруг прямойто объём тела F p , полученного вращением F вокруг этой оси, вычисляется∫ ( f (x) )⎛ x5 x4 x3 x2−++= 2π ∫ (− x − x + x + x )dx = 2π ⎜⎜ −5432⎝0(куб.ед).4aa− p((01б) если осью вращения является прямая x = p , не пересекающая областьV p = 2π) )0= π ∫ ( f 2 ( x ) − l ) 2 − ( f1 ( x ) − l ) 2 dx ;b− p1V = 2π ∫ 2 x − x − x x + 1dx = 2π ∫ 2 x − x 3 − x (x + 1)dx =2В самом деле, перейдём к координатамСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл298∫ ((2a ) − ( y(t ) − 2a ) )dx(t ) =2π220b+ p ) − f1 (x1 + p )) x1 dx1 = 2π ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x )) x − p dx.=πa∫ (4a − (a(1 − cos t ) − 2a ) )a(1 − cos t )dt =2π220Пример 13. Найти объём тела, полученного вращением криволинейнойтрапеции, ограниченной графиками функций y = x , y = 2 x − xа) вокруг прямой y = −1 ; б) вокруг прямойРешение. а) Воспользуемся формулой (14):32π( y ≥ 0)x = −1 ;011⎛ 7 17⎞= πa 3 ∫ ⎜ − cos t + cos 2t + cos 3t ⎟dt =2 424⎠0⎝2π11⎛ 7t 17⎞= πa ⎜ − sin t + sin 2t + sin 3t ⎟ = 7π 2 a 3 (куб.ед).412⎝2 4⎠03()= π ∫ x 6 − 4 x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 2 x dx =F)0V = π ∫ (2 x − x 3 +1) 2 − ( x + 1) 2 dx =122π1y(= πa 3 ∫ 4 − (1 + cos t ) (1 − cos t )dt =0x01б) Воспользуемся формулой (15):=59π70(куб.ед).7.6. Объём тела вращения в полярных координатахОбратимся к вычислению объёмов тел вращения в случаях, когда границывращаемых фигур заданы в полярных координатах.§7.
Вычисление объёмов тел2997.6.1. Переход от полярных координатк прямоугольным координатамПусть в полярной системе координат с центром в точкеосью OP дан криволинейный секторO и полярнойF = {(r; ϕ ) 0 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π ,0 ≤ r ≤ r (ϕ )} ,ϕ=βвоспользуемся формулой (3), в которой роль параметра t будет играть величина угла ϕ .
Тогдаполучим, что объём соответствующего тела вращения может быть найден по формулеϕ=αO=ππa ⎛ 333⎞ 3 27πa 3 3(куб.ед).ϕ−sin4ϕ+sin10ϕsin2⎟ =⎜8 ⎝4420320⎠037.6.2. Вычисление объёма непосредственно в полярных координатахr (ϕ ) ∈ C (1) [α , β ] , который вращается вокруг полярной оси OP (криваяr = r (ϕ ) проходится так, что сектор F остаётся слева).Полагая x(ϕ ) = r (ϕ ) cos ϕ ,y(ϕ ) = r (ϕ )sin ϕ , перейдём к декартовой системе координат Oxy , совмещённой с полярной, иFСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл300В этой же ситуации можно воспользоваться формулой, выражающей объём тела, полученного вращением указанного выше криволинейного сектораотносительно полярной оси, без перехода к декартовой системе координат.Теорема 3.
Пусть функцияТогда телоFOP , образованное вращением вокруг полярной оси криволиней-ного сектораF = {(r; ϕ ) 0 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π ,0 ≤ r ≤ r (ϕ )} ,кубируемо, и его объёмVOX = VOP = − π ∫ y 2 (ϕ )x ′(ϕ )dϕ .VOP(16)αПример 1. Найти объём тела, полученного при вращении области, ограниченной кривой r = a sin 3ϕ , a > 0 , и лучами ϕ = 0 , ϕ = π 3 , вокругполярной оси.Решение. Так как x ϕ = a sin 3ϕ cos ϕ , y ϕ = a sin 3ϕ sin ϕ и при( )VOP может быть вычислен формулеββPr = r (ϕ ) непрерывна на сегменте [α , β ] .Доказательство.
Пустьчасти точками2π 3r (ϕ )sin ϕdϕ .=3 α∫T – произвольное разбиение сегмента [α , β ] наα = ϕ 0 < ϕ1 < ϕ 2 < ... < ϕ n = β .Рассмотрим плоскую( )фигуру Fi , ограничен-изменении параметра ϕ от 0 до π 3 эта кривая проходится так, что вращаемая область остаётся слева, то по формуле (16) имеемную3VOP = − π ∫ y 2 (ϕ )x ′(ϕ )dϕ =0Δϕπ=−43∫ (cos 2ϕ − cos 4ϕ ) (2 cos 4ϕ + cos 2ϕ )dϕ =20ππa 3 3 ⎛ 333⎞=⎜ cos 2ϕ − 3 cos 4ϕ + cos 6ϕ + cos10ϕ − cos12ϕ ⎟dϕ =∫8 0⎝222⎠iи частью кри-войmiϕ ∈ [ϕ i , ϕ i +1 ] .ϕ i+1ϕiOϕ = ϕi ,лучамиϕ = ϕ i +1Miππa 3(17)r = r (ϕ ) ,ПустьPM i = sup r (ϕ ) ,ϕi ≤ϕ ≤ϕi +1mi = inf r (ϕ ) .ϕi ≤ϕ ≤ϕ i +1Qi и Pi , образованные вращением криволинейных секторов, ограниченных лучами ϕ = ϕ i , ϕ = ϕ i +1 и дугами окружностей соответственно радиусов r = M i , r = mi , i = 0,1,..., n − 1 .Рассмотрим теперь два тела§7.
Вычисление объёмов телQ301S (T ) – s (T ) < ε ,PQi и Pi соответственно. Очевидно, тело FOP , образованное вращением F вокруг полярнойОбозначим через FOP и FOP объединение всех телQOPоси, содержится в теле FPOPи содержит в себе тело F. Учитывая, что объ-2πём шарового сектора вычисляется по формуле V =πR 2 h , где h – высо3та шарового сегмента, принадлежащего шаровому сектору, R – радиус шара,QPQPнаходим объёмы VOP , VOP тел FOP и FOP :n −1ϕ + ϕ i +1Δϕ i4π n −1 32π 3Q;sinVOP=∑M i cos ϕ i − cos ϕ i +1 =M i sin i∑3 i =022i =0 3n −1ϕ + ϕ i +1Δϕ i4π n −1 32π 3P.sinVOP = ∑mi cos ϕ i − cos ϕ i +1 =mi sin i∑3 i =022i =0 3При достаточно мелком разбиении T верно:Δϕ iΔϕ iϕ + ϕ i +1sin=+ ο (Δϕ i2 ), sin i= sin ϕ i , где ϕ i ≤ ϕ i ≤ ϕ i +1 .222()()Очевидно,V2π=3QOP2π≤3n −1∑Mi =0PVOP=≥)γi → 0где2π3и(n −1i =03i2π3∑m(Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл3023iγi → 0n −1∑Mi =03i)гдеε > 0 – любое наперёд заданное число.Таким образом, тело FOP – кубируемо. Из неравенств()PQs (T ) + γ i ≤ VOP≤ VOP ≤ VOP≤ S (T ) + γ iзаключаем, что объём теласкольку S (T ) и s (T ) при неограниченном уменьшении диаметра разбиения сколь угодно мало отличаются друг от друга (а, следовательно, и от значения этого интеграла). Формула (17) доказана.Пример 2. Найти объём тела, полученного при вращении области, ограниченной кривой r = a 1+ cos ϕ , a > 0;0 ≤ ϕ ≤ 2πвокруг полярнойоси.Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтомуинтегрировать в формуле (17) будем в пределах от 0 до π :(∑mi =03iVOP=−sin ϕ i ⋅ Δϕ i + γ i ≤)=−(sin ϕ i ⋅ Δϕ i + γ i ≥Δϕ i → 0 ;ππa 362πa33 π∫ (1 + cos ϕ )3sin ϕdϕ =0∫ (1 + cos ϕ ) d (cos ϕ ) =30(1 + cos ϕ )π8= πa 3 (куб.ед).340Пример 3.
Найти объём тела, полученного вращением плоской фигуры,ограниченной линиями(((sin ϕ i ⋅ Δϕ i + γ = s (T ) + γ i ,при)βsin ϕ i ⋅ Δϕ i + γ = S (T ) + γ i ;n −1) (2π 32πa 3()rϕsinϕdϕ==3 α∫3))FOP может быть вычислен по формуле (17), по-ϕ = πr 3 , ϕ = π ,Решение. Выражая явно)sin ϕ i = max sin ϕ ,(ϕ = 0 иϕ i ≤ϕ ≤ϕ i +1S (T ) и s (T ) есть соответственно верхняя и нижняя2π 3суммы Дарбу интегрируемой на сегменте [α , β ] функцииr (ϕ ) sin ϕ ,3ϕπи определяя пределы интегрированияϕ = π ), по формуле (17), интегрируя по частям, находим:ϕ i ≤ϕ ≤ϕ i +1sin ϕ i = min sin ϕ .r=3вокруг полярной оси.βVOPπ2π 322πr (ϕ )sin ϕdϕ = ∫ ϕ sin ϕdϕ ==∫3 α303(куб.ед).Легко видеть, чтопоэтому, уменьшая диаметр разбиения за счёт измельчения ячеек разбиения,можно добиться того, что7.6.3.
Случай вращения вокруг лучаПусть теперь криволинейный секторϕ =π 2F = {(r; ϕ ) − π 2 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π 2 ,0 ≤ r ≤ r (ϕ )}§7. Вычисление объёмов тел303вращается вокруг прямой, проходящей через полюс перпендикулярно полярной оси (в декартовой прямоугольной системе координат, совмещённой сполярной, это ось Oy ). Действуя аналогично рассмотренному в п. 7.6.1, получим следующую формулу для вычисления объёма тела вращения:βVOY= π ∫ x (ϕ ) y ′(ϕ )dϕ ,2(18)Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл304Решение.
а) Перейдём к полярным координатам, совмещённым с прямоугольными, полагая x = r cos ϕ , y = r sin ϕ . После упрощений получимполярное уравнение кривой:плоской фигуры относительно осей координат и применяя формулу (17), находимπαгдеx(ϕ ) = r (ϕ ) cos ϕ , y(ϕ ) = r (ϕ )sin ϕ , r (ϕ ) ∈ C (1) [α , β ] .VOX = 2 ⋅Пример 4. Найти объём тела, полученного при вращении области, ограниченной кривой r = a sin 3ϕ , a > 0 , и лучами ϕ = 0 , ϕ = π 3 , вокругоси2π3∫ (a0(VOY = π ∫ x 2 (ϕ ) y ′(ϕ )dϕ =0=πa3 34∫ (sin 2ϕ + sin 4ϕ ) (2 sin 4ϕ − sin 2ϕ )dϕ =20π=πa 3 3 ⎛ 33⎞⎜ sin 2ϕ + 3 sin 4ϕ + 2 sin 6ϕ − sin 10ϕ − sin 12ϕ ⎟dϕ =∫8 0⎝22⎠ππa 3 ⎛ 3333⎞ 3 81πa(куб.ед).=⎜ − cos 2ϕ − cos 4ϕ + cos10ϕ ⎟ =8 ⎝ 442040⎠0Пример 5. Найти объём тела, полученного вращением области, ограниченной лемнискатой Бернуллиб) вокруг оси Oy .(x2+ y 2 ) = a 2 (x 2 − y 2 ) : а) вокруг оси Ox ;23 22∫ (z2)2ϕ − 1)2 d cos ϕ =303− 1 2 dz =1)(2)(())2⎞4πa 3 ⎛ 32 ⎞ πa 3 ⎛⎜ ln 1 + 2 −⎟=⎜ 2 ln 1 + 2 − ⎟ (куб.ед).⎜⎟4 ⎝3⎠8 ⎠3 2 ⎝8б) Запишем уравнение кривой в полярных координатах: r = a cos 2ϕ .=Перейдём к новым полярным координатам, принимая лучполярную ось:ϕ1 = ϕ −π2,ϕ =π 2за новуюr1 (ϕ1 ) = r (ϕ ) .
Тогда по формуле (17), учитываясимметрию кривой, находимVO1P1 = 2 ⋅7.6.4. Переход от прямоугольных координат к полярным координатамИногда в случае, когда кривые, ограничивающие тело вращения, заданыуравнениями в прямоугольных координатах, бывает целесообразно перейти кполярным координатам и лишь затем вычислить объём тела вращения (например, если в полярных координатах уравнение кривой выглядит проще,чем в прямоугольных).4πa3∫ (2 cos3 43⎞4πa 3 ⎛ z 233=⎜⎜ z − 1 2 − z z 2 − 1 + ln z + z 2 − 1 ⎟⎟ =883 2 ⎝4⎠13π4πa33cos 2ϕ sin ϕdϕ = −=ππ)4ϕ = π 2.Решение. Воспользуемся формулой (18):r = a cos 2ϕ .
Учитывая симметрию точек−2π3π4π∫ r1 (ϕ1 ) sin ϕ1 dϕ1 =−3π4πa34πa33⎝02⎠2π=π⎞⎛∫ (cos 2ϕ ) 2 sin⎜ϕ − ⎟ dϕ =3 4π3 4∫ (cos 2ϕ )32cos ϕdϕ =04πa∫ (1 − 2 sin ϕ ) d (3 43 2232π=4πa3 13 24πa∫ (1 − z ) dz = 3032 23 22∫ cos04tdt =π 2a34 2)2 sin ϕ =0(куб.ед).§7. Вычисление объёмов тел3057.6.5. Случай вращения вокруг произвольной прямойЕсли вращение осуществляется вокруг произвольной прямой, то обычнопереходят к новым координатам, причём это можно сделать как в прямоугольной, так и в полярной системах координат. Рассмотрим пример.Пример 6.
Найти объём тела, полученного при вращении области, ограниченной кардиоидой r = a (1 + cos ϕ ) , (a > 0;0 ≤ ϕ ≤ 2π ) вокруг прямойr cos ϕ =π4Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл306Собирая полученные результаты, приходим к следующей краткой своднойтаблице объёмов тел вращения.№1.Область вращенияСтандартна относительно Ox :a ≤ x ≤ b , y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) ,y1 , y 2 ∈ C [a, b]..ya(в первоначальной системе координат фигура враща4ется вокруг прямой x = π 4 , а в новой системе координатат вращение осуществляется вокруг оси O1 x1 ). Учитывая симметрию фигуры относительнооси O1 y1 , получаемVO1 X1 = 2π3 3a4∫y12aϕнии ϕyπ 2 значение x1 возрастает от 0 до 3 3a 4 , а при возрастаот π 2 до π значение x1 убывает от 3 3a 4 до 0).πVO1 X12()1⎞⎛= 2πa ∫ ⎜ (1 + cos ϕ ) cos ϕ + ⎟ cos ϕ + 2 cos 2 ϕ − 1 dϕ .4⎠0⎝В громоздком подынтегральном выражении встретятся нечётные степениπcos x , но поскольку∫ cos2 k +1xdx = 0 , то мы не будем выписывать этихc3.x=x1 (y)VO1 X113= 2πa ∫ (4 cos ϕ + 2 cos ϕ − cos ϕ )dϕ = π 2 a 3 (куб.ед ).4046VOY = π ∫ x 22 ( y ) − x12 ( y )dy ;cxСтандартна относительно осиOx и прилегает к Ox ; криваяобходится в положительном направлении (область остаётсяслева) и задана параметрически:x = x(t ), y = y (t ) ,x(T0 ) = b, x(T ) = a .TVOX = −π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt ;T0TVOY = π ∫ x 2 (t ) y ′(t )dt ;T0TVOX = 2π ∫ x(t ) y (t ) y ′(t )dt ;T0Tπ3cd2y0членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
