И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поэтомусейчас мы не ставим перед собой цели подробного рассмотрения основ теории поверхностей, а лишь акцентируем внимание на некоторых важных еёаспектах, в первую очередь связанных с вычислением площадей простейшихповерхностей – поверхностей вращения. Тем не менее, в порядке введения вэтот раздел считаем полезным рассмотреть основные термины и понятия,касающиеся видов поверхностей и их площади.Рассмотрим определение и способы задания поверхностей в пространстве.1Топология – раздел математики (геометрии), занимающийся исследованием математическимисредствами понятия и свойств непрерывности в широком смысле.()x , y и z которых определяz = z (u, v ) ,(1)где пара чисел (u; v ) есть координаты точки заданного множества Ω наплоскости с прямоугольной системой координат u, v . Аргументы u, vфункций x(u, v ) , y(u, v ) , z (u, v ) будем называть параметрами.
Самифункции x(u, v ) , y(u, v ) , z (u, v ) обычно предполагаются непрерывными наΩ .2 В качестве множества Ω значений параметров u, v могут выступатьоткрытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные множества точекплоскости.Точка M x; y; z называется кратной точкой поверхности, если имеют-()(u; v ) и (u ′; v′) значений параметx(u, v ) = x(u ′, v ′) , y (u, v ) = y(u ′, v ′) , z (u, v ) = z (u ′, v ′) .ся по крайней мере две различные парыров такие, чтоТочки поверхности, не являющиеся кратными, называются простыми (регулярными) точками этой поверхности.Поверхность, задаваемая параметрическими уравнениями (1), называетсяпростой, если функции x u, v , y u, v , z u, v являются непрерывными,( ) ( ) ( )причём различным точкам (u; v ) и (u ′; v ′) соответствуют различные точки(x; y; z ) и (x′; y ′; z ′) поверхности.
Примером простой поверхности являетсяполусфера.Замечание 1. Помимо задания тремя параметрическими уравнениями, поверхность в декартовом пространстве может быть задана также с помощьюодного уравнения, не разрешённого относительно ни одной из переменных:F ( x, y, z ) = 0 .(2)x = x(u, v ) , y = y(u, v ) ,r vz = z (u, v ) равносильно заданию вектор-функции r = r (u, v ) двух вещественных переrr vменных u, v , где r {x(u , v ); y (u , v ); z (u , v )}. При этом равенство r = r (u , v ) называ2Задание на множествеΩтрёх скалярных функцийется векторным уравнением поверхности.§8. Вычисление площадей поверхностей вращения315В этом случае говорят о неявном задании поверхности3.
Если параметрические уравнения поверхности заданы, то исключение параметров u, v изэтих уравнений приводит к одному соотношению между x, y и z указанного вида (2).Пример. Параметрические уравненияx = R sin u cos v , y = R sin u sin v ,z = R cos u ,где 0 ≤ u ≤ π , 0 ≤ v < 2π , R – положительное число, определяют сферурадиуса R с центром в начале координат. Исключение параметров u , v изданных трёх параметрических уравнений приводит к неявному уравнениюсферы:x2 + y2 + z2 = r 2 .Замечание 2. Если уравнение (2) разрешено относительно одной из переменных, т.е.
если поверхность задана одним из уравнений видаz = z x, y , y = y x, z или x = x y, z ,то говорят, что поверхность задана явным образом.Приведём определение гладкой поверхности. Пусть поверхность задаётсяпараметрическими уравнениями (1), где функции x u, v , y u, v , z u, vнепрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка в некоторой ограниченной замкнутой области Ω на плоскости u , v .
Непрерывную()()(( ))( ) ( )( )границу этой области L будем считать состоящей из гладких кривых. Наконец, предположим, что поверхность не имеет ни кратных, ни других особых точек. Поверхность, удовлетворяющая всем перечисленным условиям,называется гладкой.В [12] (стр. 462) гладкая поверхность определяется как такая поверхность,в каждой точке которой существует касательная плоскость, т.е.
функцииx u, v , y u, v , z u, v должны быть дифференцируемы на Ω и, кроме( )( ) ( )того, в каждой точке (u; v ) хотя бы один из определителейxu′yu′xv′xu′,y v′z u′xv′yu′,z v′z u′y v′z v′отличен от нуля (точки поверхности не являются особыми).Различают односторонние и двусторонние поверхности. Во многих случаях эти понятия ясны интуитивно. Классическим примером одностороннейповерхности является лист Мёбиуса. Если поверхность ограничивает некото3Уравнение может и не определять действительного геометрического образа, но для сохраненияобщности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую поверхность (например, уравнениеx 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 определяет мнимую сферу).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл316рое тело, то естественно говорить о двух её сторонах: внутренней, обращённой к телу, и внешней, обращённой к окружающему тело пространству.Определим понятие стороны поверхности более строго. Рассмотрим дляэтого гладкую поверхность, ограниченную кусочно-гладким контуром. Взявна этой поверхности произвольную точку M 0 , проведём в ней нормаль (прямую, перпендикулярную поверхности), которой припишем определённое направление – одно из двух возможных.
Предположим теперь, что какова бы нибыла точка M 0 и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий через M 0и не пересекающий границы поверхности, после обхода его мы неизменновозвращаемся в исходную точку M 0 с исходным же направлением нормали.При этих условиях поверхность называется двусторонней. Если же для какой-либо точки M 0 и для какого-либо проходящего через неё замкнутогоконтура после его обхода мы вернёмся в точку M 0 с направлением нормали,противоположным исходному, то поверхность называется односторонней.В случае двусторонней поверхности выбор направления нормали в однойточке однозначно определяет выбор направления нормали сразу во всех точках поверхности.
Совокупность всех точек поверхности вместе с приписанными к ним направленными нормалями и называется стороной поверхности.Простейшим и наиболее важным примером двусторонней поверхностиявляется поверхность, определяемая явным уравнением z = z x, y в пред-()z (x, y ) непрерывна в некоторой плоской области∂z∂zΩ и имеет в ней непрерывные частные производные p =и q=.∂y∂xположении, что функцияНазовём направляющими косинусами вектора нормали к поверхности в точкеx; y; z косинусы углов α , β , γ , образованных направлением нормали с()положительными направлениями осей Ox, Oy , Oz . Тогда направляющиекосинусы могут быть вычислены по формуламcos α =−p± 1+ p + q2cos γ =2, cos β =−q± 1+ p2 + q21± 1+ p2 + q2,.Здесь одновременно берётся либо верхний, либо нижний знак во всех трёхравенствах; знаки «+» и «–» соответствуют двум противоположным направлениям нормали.
Если выбрать перед радикалами в последних формулах знакплюс, то угол между нормалью и осью z будет острым и, следовательно, мы§8. Вычисление площадей поверхностей вращения317выберем верхнюю сторону поверхности. Напротив, выбор знака минус в выражениях для направляющих косинусов (они являются одновременно координатами единичного вектора в направлении нормали) характеризует нижнюю сторону поверхности.В пространстве, как и на плоскости, наряду с прямоугольной системойкоординат существуют различные криволинейные системы координат.
Однойиз наиболее известных из них является полярная система координат.Совместим полюс с началом координат прямоугольной системы, направивполярную ось вдоль оси Oz . Тогда полярные координаты r; ϕ ;θ точки()M (другое их название – сферические координаты) связаны с её декартовыми координатами ( x; y; z ) формулами:(3)x = r sin ϕ cos θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos ϕ ,где 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ < 2π .zMϕryθxСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл8.2. Алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядковНапомним простейшие виды алгебраических поверхностей (поверхностей,задаваемых алгебраическими уравнениями).Поверхностью 1-го порядка называется множество точек трёхмерногопространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению 1-й степени:ax + by + cz + d = 0 .Поверхность 1-го порядка – это плоскость.Поверхностью 2-го порядка называется множество точек трёхмерногопространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:a11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a 23 yz + 2a14 x + 2a 24 y + =+ 2a 34 z + a 44 = 0 .(1)Геометрический смысл величин r , ϕ , θ :r есть длина радиус-вектораОбратимся к классификации алгебраических поверхностей 2-го порядка.Для каждой поверхности 2-го порядка существует прямоугольная системакоординат, в которой уравнение (1) в зависимости от его коэффициентовприводится к одному из следующих канонических видов.r ⎯⎯→r = OM , соединяющего началокоординат (полюс) с точкой M ;ϕ – угол, образованный этимНевырождающиеся:эллиптические –вектором с положительным направлением оси Oz ; θ – угол,образованный проекцией вектораrr на плоскость Oxy и положи-тельным направлением оси Ox(см.
рис.).Если, в частности, зафиксировать в уравнениях 3 r = r0 , то получим()параметрические уравнения сферы радиуса r0 с центром в начале координат(роль параметров u , v здесь выполняют переменныеϕ , θ ). Если зафиксиро-ϕ = ϕ 0 , то получим параметрические уравнения кругового конуса (рольпараметров u, v будут выполнять переменные r , θ ). Наконец, если зафиксировать θ = θ 0 , то получим параметрические уравнения полуплоскости,проходящей через ось Oz (на этот раз роль параметров u, v будут выполнять переменные r , ϕ ).вать318Нераспадающиеся поверхностиx2 y2 z2++= 1 – эллипсоид,a2 b2 c2x2 y2 z 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
