И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отметим, что формула (1) остаётся справедливой для произвольных (любого знака и не обязательно конечных) действительных a и b таких, что a ≤ b , т.е. её можно использо-t = x − 2πn :VOX = π ∑ ∫ e −2(t + 2πn ) sin (t + 2πn )dt = π ∑ e − 4πn ∫ e − 2t sin tdt .VOX = − π ∑ e)sin xdx .+∞ πn =0(−2 xСделаем в каждом из интегралов заменуследовательно,b∫π en =0 2 n+∞VOX = π ∫ y 22 ( x ) − y12 ( x ) dx[ ]}Решение. Покажем, что в данном примере фигура вращения, являясь неограниченной, имеет, там не менее, конечный объём (получаемый по формуле (1) несобственный интеграл сходится).
Так как sin x ≥ 0 при2πn ≤ x ≤ π + 2πn , n = 0,1,2,... , то}y()y = e − x sin x и y = 0 (0 ≤ x < +∞) .F = ( x; y ) 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 x − x 3 ,0)π((1 + e )∑ e5− 2π+∞− 4πn).n=0Вычисляя сумму всех членов бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии с первым членомокончательно получаемVOX =π (1 + e −2π )⋅5 1 − e − 4π=π5⋅b1 = 1 и знаменателем q = e −4π ( S =b1),1− q(1 + e ) = π(куб.ед).(1 − e )(1 + e ) 5(1 − e )−2π− 2π− 2π− 2πЗамечание 4 (случай криволинейной трапеции, расположенной стандартно относительно оси Ox и ограниченной кривой, заданной параметрически).Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком непрерывной и неотрицательной на сегменте a, b функции y = y ( x ) , обра-[ ]щающейся на концах этого сегмента в нуль, и снизу – отрезком осидо b :Ox от a§7. Вычисление объёмов тел283Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл284F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y ( x ), y (a ) = y (b ) = 0}.2π1 + cos 2t⎛⎞= πa 3 ∫ ⎜1 − 3 cos t + 3 ⋅− cos 3 x ⎟dt .2⎠0⎝()Пусть, кроме того, график функции y x допускает параметризацию спомощью уравненийx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T , x(T0 ) = b , x T = a ,()[()]( )x(t )()и y t непрегде функциирывно дифференцируемы наT0 , T , и при изменении пара-y[y=y(x)]метра tот T0 до T(x(t ); y(t ))точкадвижется по кривойтак, что криволинейная трапецияостаётся слева (т.е. в направленииот точки B( x(T0 );0 ) к точкеABab xA( x(T );0) , см.
рисунок).T022aOxплоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a(t − sin t ) ,y = a(1− cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) иyy = 0.Решение. По формуле (3)имеем2axS2πaVOX = π2πa∫ y (x )dx =202π= π ∫ y (t )x ′(t )dt =20=π2π∫ (a(1 − cos t )) (a(1 − cos t ))dt = πa ∫ (1 − cos t ) dt =02303(π ;0) , – поэтому инте-[0,2π ] равны нулю. Следовательно,2π⎛5⎞VOX = πa 3 ∫ ⎜ ⎟dt = 5π 2 a 3 (куб.ед).20⎝ ⎠Замечание 5 (случай, когда вращаемая вокруг оси Ox область ограниченазамкнутой кривой, заданной параметрически).Пусть замкнутый контур L ,ограничивающийвращаемуюфигуру и не пересекающий осьOx , представляет собой объединение двух простых кривых, являющихся графиками непрерывных на a, b неотрицательныхyA(3)T0TПример 4. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси2πгралы от этих слагаемых по сегменту[ ]Baxy=y1 (x)y = y 2 (x ) (ограничивает фигуру сверху) и y = y1 ( x )функцийTVOX = π ∫ y (x )dx = π ∫ y (t )x ′(t )dt = − π ∫ y (t )x ′(t )dt .2тельно середины промежутка интегрирования – точкиy=y2 (x)Перейдём в подынтегральномвыражении в формуле (1) к переменной интегрирования t , и получим следующую формулу для вычисленияобъёма тела вращения для этого случая:bПодынтегральное выражение содержит слагаемые с нечётными степенямифункций cos t , cos 2t , графики которых центрально симметричны относи-(ограничивает фигуруy1 a = y 2причёмb( )y1 (b ) = y 2 (b ) .
Итак, имеем ограниченную контуром L фигуруснизу),и(a )F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ); y1 (a ) = y 2 (a ), y1 (b ) = y 2 (b )}.Пусть, кроме того, кривая L допускает единую параметризацию уравнениямиx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T ,()()[]x(t ) и y(t ) непрерывно дифференцируемы на [T0 , T ] , и приизменении параметра t от T0 до T точка ( x(t ); y (t )) движется по кривойгде функциитак, что ограниченная ею область остаётся слева. В частности, при измененииt от T0 до T1 ( x T1 = a ) точка движется в направлении против часовойстрелки от точки( )B(x(T0 ); y (T0 ))к точкеA( x(T1 ); y(T1 )) . Затем при даль-T1 до T точка (x(t ); y (t )) продолжает движение втом же направлении, возвращаясь к точке B( x(T ); y (T )) – см. рисунок).нейшем увеличении t от§7. Вычисление объёмов тел285Тогда, переходя к переменной интегрирования t в формуле)VOX = π ∫ y 22 ( x ) − y12 ( x ) dx ,aЗамечание 6 (случай криволинейной трапеции, расположенной стандартно относительно оси Oy и вращаемой вокруг оси Oy ).получимbT0bTVOX = π ∫ y 22 ( x )dx − π ∫ y12 ( x )dx = π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt − π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt =aaT1T1T1TT= −π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt − π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt = − π ∫ y 2 (t )x ′(t )dt .T1T0(4)T0Справедливость полученной формулы (4) сохраняется для произвольнойобласти F , не пересекающей оси Ox и ограниченной непрерывной кусочно-гладкой замкнутой кривойL = {( x; y ) x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [T0 , T ]; x(T0 ) = x(T ), y (T0 ) = y (T )},где при изменении параметра t от T0 до T кривая L проходится так, чтоПусть F – стандартная относительно оси Oy криволинейная трапеция,ограниченная справа и слева соответственно графиками непрерывных на сегменте c, d функций x 2 y и x1 y , снизу и сверху – прямыми y = c и[ ]( )y = d соответственно:F = {( x; y ) c ≤ y ≤ d , x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y ); x1 , x 2 ∈ C[c, d ]},и при этом не пересекающая оси Oy .Используя рассуждения, аналогичные проведённым в замечании 2, доказывается, что объём тела FOY , полученного вращением F вокруг оси Oy ,вычисляется по формулеdVOY = π ∫ x 22 ( y ) − x12 ( y )dy ,область F остаётся слева.Oxплоской фигуры, ограниченной петлёй кривой x = 2t − t , y = 4t − t .Решение.
Определим, каким значениям параметра отвечает петля этойx(0) = x(2) = 0 ,непрерывной кривой. Для этого заметим, что32y(0) = y (2) = 0 , т.е. в начале координат кривая пересекает сама себя (точкасамопересечения). Значит, петля приходится на изменение параметра t от 0до 2. Из вида функции x(t ) дополнительно определяем, что при возрастанииt от 0 до 1 величина x(t ) также возрастает от 0 до 1, а при дальнейшем возрастании t от 1 до 2 значение x(t ) убывает от 1 до 0.По формуле (4) имеем11«симметричной» формуле (2).Пример 6. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oyплоской фигуры, ограниченной линиями y = x и x = 2 y − y ( yРешение.Данная фигура является стандартной относительно оси Oy :3{}следовательно, по формуле (5)получаемyd1202(= −π ∫ 4t − t 302222))(()2)− y 2 dy =01x0()c= π ∫ 2y − y3− 8t 4 + t 6 (t − 1)dt == 2π ∫ t 7 − t 6 − 8t 5 + 8t 4 + 16t 3 − 16t 2 dt =010) (2 − 2t )dt = 2π ∫ (16t(VOY = π ∫ x 22 ( y ) − x12 ( y ) dyVOX = π ∫ y (t )dx (t ) − π ∫ y (t )dx(t ) = − π ∫ y 2 (t )dx(t ) =2≥ 0) .F = ( x; y ) 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2 y − y 3 ,22(5)cxПример 5.
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси( )=(2⎛ t8 t7 4 6 8 516 ⎞64= 2π ⎜⎜ − − t + t + 4t 4 − t 3 ⎟⎟ =π (куб.ед).53 ⎠ 0 35⎝8 7 3ybСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл2860()= π ∫ y 6 − 4 y 4 + 3 y 2 dy =0= 12π 35 (куб.ед).§7. Вычисление объёмов тел287Замечание 7 (случай криволинейной трапеции, прилежащей к оси Oy иограниченной кривой, заданной параметрически).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл288Решение.
По формуле (6) имеем:VOY = πydBПусть дана криволинейная трапеция,прилежащая к оси Oy . С одной стороныэта трапеция ограничена графиком непрерывной и не меняющей знака на сегментеc, d функции x = x y , обращающейся на концах этого сегмента в нуль, а сдругой – отрезком оси Oy от c до d .[ ]∫ (a(1 − cos t )) (a(1 − cos t ))dt = πa ∫ (1 − cos t ) dt =3Ax( )01 + cos 2t⎛⎞= πa 3 ∫ ⎜1 − 3 cos t + 3 ⋅− cos 3 x ⎟dt .2⎠0⎝2πaВычисляя этот интеграл (см.
пример4 выше), находимyVOY = πa( )так, что криволинейная трапеция остаётся слева (т.е. в направлении от точкиA(0; y (T0 )) к точке B 0; y T ).(( ))Перейдя в подынтегральном выражении в формулеdVOY = π ∫ x 2 ( y )dycк переменной интегрирования t , получим необходимую формулу для вычисления объёма тела вращения для рассматриваемого случая:TVOY = π ∫ x 2 (t ) y ′(t )dt .(6)T0Пример 7.
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oyплоской фигуры, ограниченной кривымиx = a(1 − cos t ) , y = a(t − sin t ) , (0 ≤ t ≤ 2π ) и x = 0 .⎛5⎞∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠dt = 5π2a3(куб.ед).F = {( x; y ) c ≤ y ≤ d , x( y ) ≤ x ≤ 0, x(c ) = x(d ) = 0}.()() [ ]( )где функции x(t ) и y(t ) непрерывно дифференцируемы на [T0 , T ] , и приизменении параметра t от T0 до T точка ( x(t ); y (t )) движется по кривой2π30Так как трапеция не пересекает ось Oy ,то она может иметь любой из двух видов:Пусть, кроме того, график функции x y допускает параметризацию спомощью уравненийx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T , y (T0 ) = c , y T = d ,32πF = {( x; y ) c ≤ y ≤ d ,0 ≤ x ≤ x( y ), x(c ) = x(d ) = 0}или2π20x=x(y)c2πx0Замечание 8 (случай, когда вращаемая вокруг оси Oy область ограниченазамкнутой кривой, заданной параметрически).Пусть простая замкнутая кривая L ,ограничивающая фигуру вращения F ,не пересекает оси Oy и параметризуется при помощи уравненийx = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T0 , T ] , x(T0 ) = x(T ) , y (T0 ) = y (T ) ,где функции x(t ) и y(t ) непрерывно дифференцируемы на [T0 , T ] , и приизменении параметра t от T0 до T точка ( x(t ); y (t )) движется по кривойтак, что ограниченная ею область остаётся слева.Используя рассуждения, аналогичные тем, что были проведены в замечании 5, получим следующую формулу для вычисления объёма тела, образованного вращением F вокруг оси Oy :TVOY = π ∫ x 2 (t )y ′(t )dt .(7)T0Пример 8.
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oyплоской фигуры, ограниченной петлёй кривой x = 2t − t , y = 4t − t .Решение. Поскольку (см. пример 5 выше) петля отвечает изменению параметра t от 0 до 2, причём при возрастании t от 0 до 1 величина x(t ) воз23§7. Вычисление объёмов тел289x(t ) убывает от 1растает от 0 до 1, а при возрастании t от 1 до 2 значениедо 0, то по формуле (7) имееми обозначим через mi и M i соответственно точные нижнюю и верхнююy( x ) на сегментах [xi , xi +1 ] , i = 0,1,..., n − 1 . На каждомтаком сегменте построим два прямоугольника Pi и Qi , у которых сегмент[xi , xi +1 ] является основанием, а mi и M i – соответственно высотами. Врезультате получатся две ступенчатые фигуры, одна из которых ( PT ) содержится в криволинейной трапеции F , а другая ( QT ) содержит её.При вращении вокруг оси Oy каждый из прямоугольников Pi и Qi образует цилиндрическое кольцо, высота которого есть соответственно mi илиM i , а основанием является плоское кольцо с внешним радиусом xi +1 ивнутренним xi .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
