И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема доказана.Отметим, что если кривая обладает свойствами симметрии, то это частопозволяет при вычислении интеграла выбрать более простые пределы интегрирования, и тем самым несколько упростить задачу.§6. Вычисление длины дуги кривой257Пример 11. Найти длину дуги кардиоиды r = a (1 + cos ϕ ) , a > 0 .Решение. В этой задаче пределы интегрирования при использовании формулы (9) изначально не заданы и подлежатопределению. Поскольку данная замкнутая кривая задаётся периодической функцией с периодом 2π , то в качестве нижP него и верхнего пределов интегрированияможно взять 0 и 2π .Так как r ′(ϕ ) = − a sin ϕ ,r (ϕ )2+(r ′(ϕ ))2 = a 2 (2 + 2 cos ϕ ) == 4a 2 cos 2ϕ2πПример 12. Найти длину дуги логарифмической спирали r = ae(a > 0, b > 0) от точки (r0 ;ϕ 0 ) до точки (r;ϕ ) .∫ϕ∫2 2 bϕa e2 2 bϕ+a b e2a e22 bϕ+a b e2bϕPdϕ =ϕϕ0=1+ bba1 + b 2 e bϕb0=пользоваться формулой (9), однако это приводит к громоздким вычислениям.Проще сразу воспользоваться формулой (10).
Имеем:1⎛2⎝ϕ ′(r ) = ⎜1 −1 ⎞⎟,r2 ⎠21⎛1⎞⎜ r + ⎟ , откуда для длины дуги получаем4⎝r⎠5⎛ r2 1⎞1 ⎛1⎞1L = ∫ ⎜ r + ⎟dr = ⎜⎜ + ln r ⎟⎟ = 6 + ln 5 .22 1⎝r⎠⎝ 4 2⎠1rпеременным верхним пределом:ϕ=∫0ϕ ′(r ) =shxdx (0 ≤ r ≤ R ) .xshr222, (rϕ ′(r )) + 1 = sh r + 1 = ch r . ТогдаrL = ∫ chrdr = shr)0R= shR .06.3.5. Случай параметрического задания кривой в полярных координатах(r − r0 ) .Теорема 8 (параметрическое задание кривой в полярных координатах).Если плоская кривая L задана уравнениями r = r (t ) , ϕ = ϕ (t ) , где функцииbϕЗаметим, что если бы требовалось вычислить длину дуги r = ae(a > 0, b > 0) при 0 < r < a , то, определив область изменения ϕ(− ∞ < ϕ < 0) , пришли бы к несобственному интегралуdϕ =a 1+ b2.−∞b1⎛1⎞Пример 13.
Найти длину дуги кривой ϕ = ⎜ r + ⎟ , где r ∈ [1,5] .2⎝r⎠Решение. Здесь можно явно выразить зависимость r = r (ϕ ) и затем вос=Ra1 + b 2 e bϕ − e bϕ0 =b2bϕпо формуле (10) имеем:bϕ∫ e dϕ =(∫e−∞Решение. Найдёмϕ0=dϕ = a 1 + b02Пример 14. Найти длину дуги кривой, заданной посредством интеграла сϕ= a 1+ b2 bϕ−∞0225Решение. Кривая имеет вид, изображённый на рисунке. По формуле (9)имеем, чтоL =L =2πϕϕ01 + (r ⋅ ϕ ′(r )) =⎛ ϕ⎞L = ∫ 2a cos dϕ = 4a ∫ cos dϕ = 8a⎜ sin ⎟ = 8a .22⎠02⎝00ϕСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл, то по формуле (9), учи-тывая симметрию данной кривой относительно полярной оси, находим2π258r (t ) и ϕ (t ) непрерывны и имеют непрерывные первые производные r ′(t ) ,ϕ ′(t ) (ϕ ′(t ) ≠ 0 ) на сегменте [T0 , T ] , то эта кривая спрямляема, и длинаеё дуги может быть вычислена по формуле§6. Вычисление длины дуги кривойTL =∫T02592⎛ r ′(t ) ⎞⎟⎟ ϕ ′(t )dt .r (t ) + ⎜⎜⎝ ϕ ′(t ) ⎠22(11)Доказательство этого факта сразу следует из формулы (9), так как в усло-r ′(t )виях нашей теоремы r ′(ϕ ) =, dϕ = ϕ ′(t )dt .ϕ ′(t )2u2Пример 15. Найти длину дуги кривой r = ue , ϕ = u + 2u , где параметр u ∈ [0,2] .Решение. Перейдём в интеграле (9) к новой переменной интегрированияu по формуле ϕ = ϕ (u ) :r 2 +(r ′(ϕ ))2 dϕ =⎛ r ′(u ) ⎞⎟⎟ ⋅ ϕ ′(u )du =r 2 + ⎜⎜′()uϕ⎝⎠2= r 2 (ϕ ′(u )) + (r ′(u )) ⋅ sgn (ϕ ′(u ))du .22Для данной кривой имеем:r ′(u ) = e 2u (1 + 2u ) , ϕ ′(u ) = 2u + 2 , r 2 (ϕ ′(u )) + (r ′(u )) =2( () ())2()( ())1L = ∫ e (2u + 2u + 1)du = e 2u 2u 2 + 1202∫1r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) dϕ =22=0areash 2∫areash 1211 + sh 2 t chtdt =2sh tareash 2∫=areash 1∫ϕ222+1ϕdϕ =421∫ϕ121 + ϕ 2 dϕ .2ϕ = sht , придём к интегралуareash 2∫areash 12ch 2 tdt =sh 2 tareash 2∫areash 121 + sh 2 tdt =sh 2 tareash 2⎛ 1⎞⎜ 2 + 1⎟dt = (− ctht + t ) areash 1 =2⎝ sh t ⎠1⎞1⎛= −cth(areash2 ) + areash2 + cth⎜ areash ⎟ − areash .2⎠2⎝1Так как cth(areasht ) = 1 + 2 , тоt1⎞5⎛, cth⎜ areash ⎟ = 5 .cth(areash2) =22⎠⎝)5 , areash11+ 5, поэтому окон= ln22чательно получаем((Если плоская кривая L задана в полярной системе координат уравнениемF (r , ϕ ) = 0 , не разрешённым относительно r или ϕ , то в некоторых случаях для вычисления длины её дуги удаётся выразить явно r через ϕ (или ϕчерез r ), и затем воспользоваться формулами (9) (или (10)).
В других случаях кривую можно параметризовать, и после этого вычислять длину дуги поформуле (11).Пример 16. Найти длину дуги гиперболической спирали rϕ = 1 от точкиA(2;1 2 ) до точки B(1 2 ;2 ) .и по)51+ 5+ ln 2 + 5 + 5 − ln=2252 2+ 553+ 5.=+ ln=+ ln2221+ 5L =−6.3.6.
Случай неявного задания кривой в полярных координатахϕ21Сделав гиперболическую подстановку(9e 4 − 1.2Решение. Легко выражая явно r = 1 ϕ , находим r ′(ϕ ) = − 1формуле (9) определяем212Кроме того, areash 2 = ln 2 +Следовательно,2uL =2= e 4u 4u 2 u 2 + 2u + 1 + 1 + 4u + 4u 2 = e 4u 2u 2 + 2u + 1 .2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл260)Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к §6Найдите длины дуг следующих кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат:x = a cos 5 t , y = a sin 5 t (0 ≤ t ≤ π 2) .22.
x = 2a sin t , y = 2a cos t .323. x = t 3 − t , y = t + 2 (0 ≤ t ≤ 3) .1.§6. Вычисление длины дуги кривой261x = 6at 5 , y = 5at (1 − t 8 ) от точки A(0;0 ) до точки B(6a;0) .tt5. x = e cos t , y = e sin t (0 ≤ t ≤ ln π ) .6. x = 8 sin t + 6 cos t , y = 6 sin t − 8 cos t (0 ≤ t ≤ π / 2 ) .7. x = a (cos t + t sin t ) , y = a (sin t − t cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) (развёртка4.окружности).(8. x = ln 1 + t2),y = 2arctgt − 2t + 8 от точки A(0;8) до точкиB(ln 2; π 2 + 6 ) .9.
x = a cos t , y = −2a ln sin t от точки A(0;0 ) до точки B ( x 0 ; y 0 ) .a2310. x = sin t 1 + 2 cos t , y = a cos t от точки A(0; a ) до точки2B(a 2 ;0 ) .t⎞⎛11. x = a⎜ cos t + ln tg ⎟ , y = a sin t от точки A(0; a ) до точки2⎠⎝B(x0 ; y 0 ) .(())(12. x = t − 2 sin t + 2t cos t , y = 2 − t213. x = ch t , y = sh t33(0 ≤ t ≤ a ) .2)cos t + 2t sin t (0 ≤ t ≤ 1) .y = 3acht от точки A(0;3a ) до точки B( x0 ; y 0 ) .15. x = a cos t , y = a sin t , z = ct от точки A (t = 0 ) до точки B ( t –14.
x = 2ash t ,3любое) (винтовая линия).2 3 1 24 3 1 21 3 216. x = t + t , y = − t + t , z = t + t (0 ≤ t ≤ 1) .32323tt17. x = e (cos t + sin t ) , y = e (cos t − sin t ) , z = ht (0 ≤ t ≤ 2π ) .3318. x = a cos t , y = a sin t , z = a cos 2t .Найдите длины дуг следующих кривых, заданных явно в декартовой системе координат:(0 ≤ x ≤ 4) .y = e (0 ≤ x ≤ a ) .y = ln x (3 4 ≤ x ≤ 12 5) .y = ln sin x (π 3 ≤ x ≤ π 2 ) .y = ln cos x (0 ≤ x ≤ a < π 2) .19. y = x3220.x21.22.23.262Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл24. y = 1 − ln cos x (0 ≤ x ≤ π 6 ) .y = 1 − ln cos x (0 ≤ x ≤ π 3)226. y = ln (1 − x ) (0 ≤ x ≤ 1 2 ) .25.a2(0 ≤ x ≤ b < a ) .27.
y = a ln 2a − x2−x(0 ≤ x ≤ 1) .28. y = arccos e( )29. y = 1 − x + arcsin x230. y = 1 − x + arccos x2(0 ≤ x ≤ 7 9) .(0 ≤ x ≤ 8 9) .1x − x 2 + arcsin (2 x − 1) .22 424 332. y = x x −x между точками пересечения с осью Ox .5331. y =33. x = a lna + a2 − y2− a 2 − y 2 ( 0 < b ≤ y ≤ a ) (трактриса).yy 12⎛a ⎞y−ay от точки A(0;0 ) до точки B⎜ ; a ⎟ .a 23⎝6 ⎠23a ay35. x = ++ 2 от точки A(a; a ) до точки B(5a;3a ) .3 2 y 6a34. x =36.
Найдите длину границы области, ограниченной линиями y = e ,xy = 2 x , x = 0 , y = 1.37. Найдите длину границы области, ограниченной линиями y = 2 x ,y = 23 x 2 .Найдите длину дуги кривой, заданной в декартовых координатах интегралом:38. y ( x ) =39. y ( x ) =x∫t 4 − 1dt (0 ≤ x ≤ 2 ) .∫cos 2t dt (0 ≤ x ≤ π 4 ) .1x0§6.
Вычисление длины дуги кривой263§ 7.40. y ( x ) =xsin 2t dt (0 ≤ x ≤ π 4 ) .∫ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ ТЕЛ0Найдите длину дуги кривой, заданной явно в полярной системе координат:41. r = aϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π ) (один виток спирали Архимеда).42. Найдите длину дуги спирали Архимеда r = aϕ , находящейся внутрикруга радиуса 2πa .43.
r = ϕ2(0 ≤ ϕ ≤ π ) .44. r = a sin ϕ .45. r = 1 − cos ϕ .46. r = a cos347. r = a sin48. r = a cos449. r = ath51.3ϕ2(ϕ 3) .(0 ≤ ϕ ≤ 2π ) .(ϕ 3) (0 ≤ ϕ ≤ π 2) .(ϕ 4) .50. r = 1 (1 + cos ϕ )(ϕ≤ π 2) .ϕ = r , где r ∈ [0,5] .r 2r + 2 + ln r + r 2 + 2 (0 ≤ r ≤ 2 ) .253. ϕ = r + ln r (1 ≤ r ≤ 5) .52.ϕ=Найдите длину дуги кривой, заданной параметрически в полярной системе координат:54. r = 1 + cos t , ϕ = t − tg (t 2 ) (0 ≤ t ≤ a < π ) .r = a cos 2 t , ϕ = 2(t − tgt ) от точки A(a;0 ) до точкиB(a 2 ; π 2 − 2 ) .56.
r = a (1 + tgt ) , ϕ = tgt − ln (1 + tgt ) от точки A(a;0 ) до точкиB(r0 ; ϕ 0 ) .55.Найдите длину дуги кривой, заданной неявным уравнением (указание кпервым двум задачам – перейти к параметрическому заданию кривой):xy⎛ x⎞+= 1.58. ⎜ ⎟ab⎝2⎠2359. y = x (2a − x ) (0 ≤ x ≤ 5a 3) .57.23+ y2 3 = a2 3.60. Найдите длину дуги полукубической параболы y =2ключённой внутри параболы y = x 3 .22(x − 1)3 , за37.1. Пространственное тело и связанные с ним понятияОсновные понятия и их определения в данном параграфе во многом аналогичны соответствующим понятиям и определениям параграфа 5 (посвящённого площадям плоских фигур), являясь их обобщениями на случайтрёхмерного пространства.Так, множество точек пространства будем называть ограниченным, еслисуществует шар, содержащий все точки этого множества.Пространственной фигурой будем называть любое непустое ограниченное множество точек пространства.Две пространственные фигуры P1 и P2 называются равными, если существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояния междуточками, при котором фигура P1 отображается на фигуру P2 .Договоримся называть пространственнойε -окрестностьюточки M(ε > 0) множество точек пространства, расположенных внутри шара радиуεс центром в точке M .Точку M пространственной фигуры P назовём внутренней точкой этойфигуры, если найдётся ε > 0 такое, что ε -окрестность точки M целикомпринадлежит P .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
