И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В чём ошибка студента?()§ 6.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл232Кривая L называется простой плоской кривой, если различным значениям параметра t ∈ T0 , T соответствуют различные точки ( x; y ) кривой (т.е.[]если кривая не имеет кратных точек, за исключением, быть может, концевыхточек сегмента T0 , T в случае замкнутой кривой).[]Точки, отвечающие значениям параметра t из интервала (T0 , T ) , назы-ваются внутренними точками кривой L , а точки, отвечающие граничнымзначениям T0 и T параметра t , называются граничными точками кривой6.1. Кривая на плоскости и связанные с ней понятияПлоской кривой L назовём множество всех точек M плоскости, координаты x и y которых в декартовой прямоугольной системе координат Oxyопределяются уравнениямиx = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ {t } ,(1)где функции x(t ) , y (t ) непрерывны в каждой точке своей области задания{t} .Аргумент t этих функций, принимающий действительные значения,будем называть параметром.1В качестве множества {t } значений параметра t наряду с сегментами могут выступать конечные и бесконечные интервалы и полуинтервалы.
Для определённости в дальнейшем, если не оговорено противное, под {t } будем[]L . Говорят, что простая плоская кривая L параметризована при помощиуравнений (1).Если значения функций x(t ) и y (t ) совпадают в концевых точках T0 иT указанного выше сегмента (и только в них), то простая кривая называетсяпростой замкнутой кривой. Простую замкнутую кривую можно было определить иначе.2Помимо параметрического способа задания уравнениями (1) плоская кривая может быть задана также с помощью одного уравнения y = y ( x ) , разрешённого относительно переменной y (или уравнением x = x ( y ) , разрешённым относительно переменной x ). В этих случаях принято считать, чтокривая задана явным образом.Наконец, кривую на плоскости можно задать с помощью уравнения сдвумя переменными, не разрешённого ни относительно y , ни относительноx:F ( x, y ) = 0 .понимать сегмент T0 , T .Точка M 0 ( x 0 ; y 0 ) называется кратной точкой кривой L , если имеютсяпо крайней мере два значения t1 и t 2 параметра t , не равные друг другу итакие, что x(t1 ) = x(t 2 ) , y (t1 ) = y (t 2 ) .
Например, кривая x(t ) = t (t + 1) ,()y (t ) = t 2 t 2 − 1 , t ∈ R , имеет кратную точку (точку самопересечения)(0;0) , отвечающую двум различным значениям параметра t1 = 0 и t 2 = −1 .Точки кривой L , не являющиеся кратными, называются простыми (регу-лярными) точками этой кривой.{t} двух скалярных функций x(t ) , y (t ) равносильно заданию векr vrтор-функции r = r (t ) одного действительного переменного t , где r {x (t ); y (t )} . Приr vэтом равенство r = r (t ) называется векторным уравнением кривой.1Задание на множествеВ этом случае говорят о неявном задании кривой.Рассмотрим примеры простых плоских кривых.Пример 1.
График любой непрерывной на сегменте[a, b]функцииy = f ( x ) представляет собой простую (незамкнутую) кривую; при этом па-раметризацию кривой вводят по правилуx = t , y = f (t ) , где t ∈ a, b .Таким образом, явное задание кривой есть частный случай параметрического задания этой кривой.[ ]2ПустьL1иL2– две простые кривые, причём граничные точки кривойсовпадают сL2 , а любые внутренние точки кривых L1 и L2 различны. КриL , полученная объединением кривых L1 и L2 , называется простой плоской замкнутойграничными точками кривойваяL1кривой ([4], стр.392).§6. Вычисление длины дуги кривой233Пример 2. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат, полученная объединением двух простых кривых – верхней ( L1 ) и нижней ( L2 ) полуокружностей, задаваемых соответственно уравнениями⎧ x = cos t ,⎧ x = cos t ,t ∈ [0, π ] и ⎨t ∈ [π ,2π ] ,⎨⎩ y = sin t ,⎩ y = sin t ,является простой замкнутой кривой.
Но та же окружность, заданная уравнениями⎧ x = cos t ,t ∈ [0,3π ] ,⎨⎩ y = sin t ,уже не будет простой кривой, так как содержит участок самоналегания, отвечающий значениям t ∈ 2π ,3π и состоящий целиком из кратных точек.Пример 3. Прямая линия, или просто прямая, определяемая на плоскостилинейными уравнениями x = at + b , y = ct + d , где t ∈ (− ∞,+∞ ) , относится к простым плоским (неограниченным) кривым.Всегда можно выбрать постоянные коэффициенты a , b , c , d так, чтобыпрямая проходила через две данные точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ) .
Уча-[]сток прямой между точками M 1 и M 2 называется отрезком, соединяющимэти точки, а совокупность конечного числа примыкающих друг к другу отрезков (так, что начало следующего отрезка совпадает с концом предыдущего, и соседние отрезки не лежат на одной прямой) называется ломаной линией, или просто ломаной.Опираясь на понятие простой кривой, введём теперь более общее понятиепараметризуемой кривой.Пусть множество значений параметра {t } представляет собой либо сегмент, либо полусегмент, либо интервал, либо числовую прямую, либо открытую или замкнутую полупрямую.
Будем говорить, что уравнения (1)x = x(t ) , y = y (t ) , где t ∈ {t} ,задают параметризуемую кривую L , если существует такая конечная илибесконечная система сегментов {[t i −1 , t i ]} , разбивающих множество {t } , чтодля значений t из каждого такого сегмента уравнения (1) определяют простую кривую.Таким образом, параметризуемую кривую можно рассматривать как объединение простых кривых, причём эти простые кривые последовательно пробегаются точкой M , координаты которой определяются уравнениями (1),когда параметр t , монотонно возрастая, пробегает множество своих значений{t} .Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл234Замечание 1.
Простую кривую можно рассматривать как частный случайпараметризуемой кривой. В этом случае система сегментов, разбивающихсегмент T0 , T , состоит из одного сегмента, а именно из самого сегмента[T0 , T ] .[]Замечание 2. Одна и та же простая кривая L может быть параметризована различными способами.Например, дугу эллипса, лежащую в первой четверти, можно задать параметрическими уравнениями x = a cos t , y = b sin t , где t ∈ 0, π 2[(a]> 0, b > 0 ).
С другой стороны, так как этот эллипс определяется неявнымx2 y2уравнением 2 + 2 = 1 , то получаем ещё одну параметризацию:abt2x = t , y = b 1 − 2 , где t ∈ [0, a ] .aЗамечание 3. Параметризуемая кривая может содержать точки самопересечений, самоприкосновений и участки самоналеганий.Замечание 4. Вместо декартовых прямоугольных координат можно использовать криволинейные координаты, в частности, полярные координаты.Все основные определения при этом сохраняют свой смысл.Замечание 5. Понятие пространственной кривой вводится в полной аналогии с понятием плоской кривой.Пространственная простая кривая – это множество {M } точек пространства, координаты x , y , z которых в декартовой прямоугольной системе координатOxyz определяются уравнениямиx = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , t ∈ {t} ,(2)где функции x(t ) , y (t ) , z (t ) непрерывны на множестве {t } , причём разнымзначениям параметра t отвечают разные точки M .Аналогично тому, как это делалось на плоскости, вводится понятие параметризуемой пространственной кривой.Кривую в пространстве можно также определять как пересечение двухповерхностей, задаваемых уравнениямиF ( x, y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 .Приведём примеры параметризуемых кривых на плоскости и в пространстве.§6.
Вычисление длины дуги кривой235Пример 4. Кривая L , задаваемая на плоскости уравнениямиx = a cos t , y = a sin t , где t ∈ 0,3π ,является по определению параметризуемой кривой. Действительно, сегмент0,3π можно разбить, например, на сегменты 0, π , π ,2π , 2π ,3π так,что для значений t из каждого такого сегмента указанные уравнения определяют простую кривую, а именно полуокружность.[[][]] [] []Пример 5.
Уравненияx = a cos t , y = a sin t , z = ct , где t ∈ (− ∞,+∞ ) ,задают простую пространственную кривую, называемую винтовой линией(траектория движения точки, вращающейся равномерно вокруг оси z и одновременно движущейся с постоянной скоростью параллельно этой оси).⎧⎪ x + y + z = a22⎩⎪ x + y = ax2222Пример 6.
Система уравнений ⎨определяет в про-странстве замкнутую кривую, носящую название кривой Вивиани (кривая, покоторой пересекаются сфера и прямой цилиндр, для которого направляющейслужит окружность, построенная на радиусе сферы, как на диаметре).Кривую Вивиани можно представить и параметрически:x = a sin 2 t , y = a sin t cos t , z = a cos t , t ∈ [0,2π ] .Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл236li (T ) =(x(t i ) − x(t i −1 ))2 + ( y(t i ) − y(t i −1 ))2 .( ) всей ломаной l (T ) равнаПоэтому длина l Tl (T ) = ∑ li (T ) .ni =1Кривая L называется спрямляемой (или имеющей конечную длину), еслимножество{l (T )} длин вписанных в кривую L ломаных l (T ) , отвечаю[]щих всевозможным разбиениям T сегмента T0 , T , ограничено. При этом{ ( )} называется длиной дуги кривой L иточная верхняя грань множества l Tобозначается L :{ }L = sup l (T ) .TКак следует из определения, для каждой спрямляемой кривой длина еёдуги есть неотрицательное действительное число (однозначно определённое).Докажем одно несложное утверждение.Лемма 1.
Пусть ломаная l 0 вписана в кривую L и соответствует разбие-[]нию T0 сегмента T0 , T ; ломаная l1 также вписана в кривую L и соответ-6.2. Спрямляемая кривая и длина её дугиВведём понятие длины дуги параметризуемой кривой и рассмотрим некоторые свойства кривых, имеющих длину дуги (такие кривые принято называть спрямляемыми).Пусть плоская кривая L параметризуется уравнениямиx = x(t ) , y = y (t ) , где t ∈ T0 , T ,[][]ствует разбиению T1 того же сегмента, причём T0 ⊆ T1 . Тогда l 0 ≤ l1 .Доказательство. Пусть l 0 = M 1 K M k M k +1 K M n ,l1 = M 1 K M k M ′M k +1 K M n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
