И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти площадь криволинейного сектора, ограниченного кривыми ϕ = sin πr 0 ≤ r ≤ 1 , ϕ = 0 .Решение. Заметим, что приизменении r от 1 до 0 криваяBAO проходится так, что фигура, площадь которой необходимовычислить, остаётся слева. ПоAэтому по формуле (7), интегрируяпо частям, находим:( )(a2 a2S=(π − 1) (кв.ед) .−=444тами223ϕ=1222гралπ1r2 ∫12S OKAMO криволинейного сектора OKAMO (см. рис.). Инте-cos(πr )dr , взятый со знаком минус, численно равен площади2S OMABO криволинейного сектора OMABO .
Соответственно, интеграл9В этом случае будем говорить, что фигураполярного угла ϕ .Fзадана стандартно относительноСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл224π§5. Вычисление площади плоской фигурыИнтегрируя с использованием метода Остроградского, получаем12∫ r cos(πr )drравенискомой20OKABO , взятой со знаком минус.площадикриволинейногосектора+∞⎛⎞t2 + t + 21⎛ π⎞⎜− arctgt ⎟⎟ = πa 2 ⎜1 − ⎟ (кв.ед) .S = 2πa ⎜ −24⎠⎝⎝ 4(1 + t )(1 + t ) 4⎠02Пример 24. Найти площадь криволинейного сектора, ограниченного кривыми225ϕ = 4r − r 3 , ϕ = 0 .Решение. Как и в предыдущем примере, функцияϕ = 4r − r 35.5.3.
Кривая, ограничивающая плоскую фигуру,задана неявно уравнением F r , ϕ = 0(не являет-)ся монотонной на сегменте 0 ≤ r ≤ 2 . Сначала при возрастании r значениеϕ возрастает от 0 до своего наибольшего значения, а затем при дальнейшем1. В некоторых случаях из неявного уравнения удаётся выразить явноодну переменную через другую. Например, в следующих двух задачах явновозрастании r – убывает опять до 0 .Поэтому искомая площадь численно равна интегралувыражается r .Пример 26.
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой2221 21 ⎛ 3r 5 4r 3 ⎞4⎟⎟ = 4(кв.ед) .S = − ∫ r 4 − 3r 2 dr = ⎜⎜−202⎝ 53 ⎠015()5.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру,задана параметрически уравнениями r = r t , ϕ = ϕ()r 2 = 2a 2 cos 2ϕ .Решение. Найдём область определения относительно ϕ дляданной кривой; она задаётся не-(t )2r (t ) , ϕ (t ) непрерывны на некотором сегменте с концамив точках T0 и T , причём функция ϕ (t ) имеет непрерывную производную науказанном сегменте.
Пусть при изменении параметра t от T0 до T точка(r (t );ϕ (t )) движется вдоль кривой так, что фигура, площадь которой требуПусть функцииется вычислить, остаётся слева. Тогда, переходя под знаком интеграла в формуле (6) к интегрированию по параметру t , приходим к формулеT1S = ∫ r 2 (t )ϕ ′(t )dt .2 T0(8)Пример 25.
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутойкривой r =πt2at(a > 0) .,ϕ =21+ t1+ tРешение. Найдём пределы интегрирования. Так как всегда r ≥ 0 , тоt ≥ 0 ; при этом r = 0 , если t = 0 и r → 0 , если t → +∞ . Поэтому поформуле (8) имеемS=2+∞1 ⎛ 2at ⎞ ⎛ π⎜⎜⎟2 ∫0 ⎝ 1 + t 2 ⎠ ⎜⎝ (1 + t )2+∞⎞t 2 dt⎟dt = 2πa 2 ∫dt .⎟22 2()()1+t1+t0⎠2a cos 2ϕ ≥ 0 .равенствомРешая это неравенство, находим,P что кривая определена, например,Oна сегменте − π 4 ≤ ϕ ≤ π 4 , ав силу периодичности вокруг полюса с периодом π получаемполное изображение кривой (см.рис.). Так как ϕ входит в уравнение чётным образом (криваясимметрична относительно полярной оси), то достаточно вычислить площадьчетвёртой части фигуры, которой отвечает изменение величины угла ϕ от 0доπ 4:ππS 14 2a2a22sin 2ϕ 04 == ∫ 2a cos 2ϕdϕ =, откуда S = 2a (кв.ед ) .224 20Пример 27. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривойr2 +ϕ2 = 1.Решение.
Чтобы задать пределы интегрирования, найдём область допустимых значенийплощадь равнаϕ : r 2 = 1 − ϕ 2 ≥ 0 , откуда ϕ ∈ [− 1,1]. Тогда искомаяСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл226111⎛2ϕ3 ⎞⎟⎟ = (кв.ед) .S = ∫ (1 − ϕ 2 )dϕ = ⎜⎜ ϕ −2 −12⎝3 ⎠ −1 312. Если кривая задана в декартовых координатах, то иногда имеет смыслперейти к полярным координатам.
Рассмотрим соответствующий пример.§5. Вычисление площади плоской фигурыТаким образом,3a 2cos 3 ϕS =−2 sin 3 ϕ + cos 3 ϕПример 28. Найти площадь петли декартова листаРешение. Кривая задана уравнением в декартовых координатах, но дляудобства проведения расчётовyперейдём к полярным координатам.Полагая в уравнении кривойx = r cos ϕ , y = r sin ϕ , после2xx+сокращения на r придём к полярному уравнению3a sin ϕ cos ϕ.sin 3 ϕ + cos 3 ϕЗаметим, что при ϕ = 0 иϕ = π 2 значение полярногорадиуса r равно 0 , т.е. началоr=y+a=0координат – кратная точка кривой(точка самопересечения). Такимобразом определяем, что при изменении величины полярного угла ϕ от 0 доπ 2кривая делает петлю, площадь которой и требуется определить.
Поформуле (6) находимπS=Заменяя sin ϕ наtg ϕd (tgϕ )9a22 2sin 2 ϕ cos 2 ϕ∫ (sin03ϕ + cos 3 ϕ )2dϕ .tgϕ cos ϕ , приведём подынтегральное выражение к виду2(1 + tg ϕ )32, откуда сразу находится первообразная функция111cos 3 ϕ− ⋅=−⋅.3 1 + tg 3ϕ3 sin 3 ϕ + cos 3 ϕπ20=3a 22(кв.ед) .Замечание. Декартов лист допускает параметризацию уравнениямиx=x 3 + y 3 − 3axy = 0 ( a > 0 ).2273at 23aty,=, t ∈ (− ∞,+∞ ) .1+ t31+ t3Сравните способ вычисления площади петли в случае параметрического задания данной кривой с рассмотренным выше.Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к §5Вычислите площади фигур, ограниченных линиями, заданными явно впрямоугольной декартовой системе координат (значения параметра считатьположительными):y = − x 2 , y = −2 − x .222.
y = 16 / x , y = 17 − x (1 четверть).3ππ3. y = a sin x , y = a cos x , −≤x≤ .4424. y = ( x + 1) , x = sin πy , y = 0 (0 ≤ y ≤ 1) .2 −x5. y = x e , y = 0 , x = 2 .26. y = x ln x , y = x ln x .2a7. y =cos x , y = atgx , x = 0 .34328. y = x − 4 x + 4 x , y = cos(πx ) − 1 .1.2a 3x4a, y=arctg .22πaa +x10.
y = arcsin x , y = arccos x , y ≡ 0 .9.y=11. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойy = e − x (x 2 + 3x + 1) + e 2 , осью Ox и двумя прямыми, параллельными осиOy , проведёнными через точки экстремума функции y( x ) .Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл228§5. Вычисление площади плоской фигурыНайдите площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в прямоугольной системе координат неявно с помощью уравнений:y = 4x , y / 2 = x .2213. xy = 20 , x + y = 41 (1 четверть).12.2315.16.17.18.19.x 2 − 6x + y 2 = 0 , y = 0 , x = 4 .y 2 = x3 − x4 .y 2 = x 2 (a 2 − x 2 ) .x3 = x2 − y 2 .a 2 y 4 = x 4 (a 2 − x 2 ) .y = x , y = − x , − y 2 + 2x 2 = 1.2площадькаждойизчастей,y = a(a − x ) разбивает круг x + y = a .26.2Найдитеплощадь2фигуры,накоторыепарабола2заключённоймеждупараболойy = 3t − t 3 .2t(6 − t ) , y = t (6 − t ) .8329. x = 12 cos t + 5 sin t , y = 5 cos t − 12 sin t .30.
x = a(cos t + t sin t ) , y = a(sin t − t cos t ) , 0 ≤ t ≤ 2π , x = a ,y ≤ 0 (развёртка круга).31. x = a(2 cos t − cos 2t ) , y = a(2 sin t − sin 2t ) .32. x = a sin t , y = a sin 2t (кривая Лиссажу).33. x = a cos 3t , y = a sin t (кривая Лиссажу).28. x =.a sin 2 t.2 + sin tx 3 + y 3 = axy .37.x 4 = axy 2 + ay 3 .38. ( x + y ) = axy .39.x 5 + y 5 = ax 2 y 2 .6 , ϕ = π 3.= sin 2 (ϕ 2 ) (справа от луча ϕ = π 2 ).45. = 2 cos ϕ , r = 1 (вне круга r = 1 ).47. r = a cos 5ϕ .46. = a cos 3ϕ (трилистник).49. r = a(1 − sin ϕ ) .48. = a sin 4ϕ .50.
= a(2 − cos ϕ ) .51. r = atgϕ , ϕ = π 4 .a cos 2ϕ2252. r = a cos 4ϕ .53. r =.cos ϕ254. r = a (1 + sin 2ϕ ) , ϕ = 0 .55. ϕ = r − sin r , ϕ = π .44.Найдите площади фигур, ограниченных кривыми, заданными параметрически в декартовой системе координат:22 243. r = a cos ϕ , r = 2a cos ϕ .y = x 2 − 2 x + 3 , касательной к ней в точке M (2;3) и осью Oy .27. x = 3t ,(1 + t )(0 ≤ ϕ ≤ 2π ) .42. r = 4 / cos(ϕ − π 6 ) , ϕ = πy 3 − y = x , y = −(4 + x ) , y = −1 , y = 0 .224. x = cos(πy ) , 4 y = 3( x + 3) .Найдитеt t41. r = 2ϕy − y = x , y = −(1 + x ) , y = 0 .2y=Найдите площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярнойсистеме координат:40.
r = 3 + 2 cos ϕ .23,3x 2 + 4 y 2 = 8a 2 , x 2 − 3 y 2 = a 2 (x ≥ a ) .23.25.x = a cos t , y =36.20. x = a ( x − y ) , y = 0 .22.35.(1 + t )2 2Приведя уравнения к параметрическому виду, найдите площади фигур,ограниченных петлями кривых:2321.x=214. xy = 4 2 ,t34.229rrrrr56. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривойходящейся внутри круга r = ar = a cos 2ϕ и на-2.57. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривойr = a(1 + cos ϕ ) илежащей вне кривой r = 3a cos ϕ .58.
Найдите площадь фигуры, заключённой между внешней и внутреннейчастями кривой r = a sin3ϕ3.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл23059. Найдите площадь общей части фигур, ограниченных кривымиr = 3 + cos 4ϕ и r = 2 − cos 4ϕ .60. Для кривойr=cos 2ϕнайдите площадь петли и площадь фигуры,cos ϕзаключённой между кривой и её асимптотой.Перейдя к полярным координатам, найдите площади фигур F , ограниченных кривыми, заданными неявно:+ y4+ y4+ y2+ y2x4462. x263. x264. x61.(x66. (x65.2= a 2 xy .= a2 x2 .= 2ax , x 2 + y 2 = 2ay , M (a 2 ; a 2) ∈ F .= a 2 , x 2 + y 2 = 2ay , M (0; 3a 2) ∈ F .+ y 2 ) = ax 4 y .3+ y2 ) = a2 x2 y2 .4422267.
x + y = a (x + y ) .6624468. x + y = a (x + y ) .662 469. x + y = a x .3270. Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением областей, ограниченных кривыми71.Найдите(x2+y)2 272.(x22фигуры,= a 2 (x 2 − y 2 ) и (x 2 + yНайдите4+ y 2 ) = a 2 (x 2 − y 2 ) и (x 2 + y 2 ) = 2a 2 xy .площадьплощадьx + y = a (x + y42222)и x23)2 2+yмеждукривымилежащеймеждукривыми= 4a 2 (x 2 − y 2 ) .области,23лежащей=a23.73.
Даны параметрические уравнения эллипса: x = 2 cos ϕ , y = sin ϕ ,a = 2, b = 1 – полуоси. Зная, что r 2 = x 2 + y 2 , студент вычисляет площадьэллипса так:π⎛ π2⎞2⎜1 2⎟5π.S = 4⎜ ∫ r (ϕ )dϕ ⎟ = 2 ∫ 4 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ dϕ =2⎜2 0⎟0⎝⎠Известно, однако, что S = πab = 2π .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
