И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рассмотрим многоугольные фигуры P1 , P2 , Q1 , Q2 такие, что P1 ⊂ F1 ⊂ Q1 ,P2 ⊂ F2 ⊂ Q2 . Обозначим P = P1 U P2 , Q = Q1 U Q2 . Так как фигурыP1 и P2 не имеют общих внутренних точек, то площадь многоугольной фигуры P можно представить в виде: S ( P) = S ( P1 ) + S ( P2 ) . Фигуры Q1 иQ2 могут пересекаться, поэтому можем утверждать лишь, что S (Q ) ≤≤ S (Q1 ) + S (Q2 ) . Значит,S ( P) = S ( P1 ) + S ( P2 ) ≤ S ( F ) ≤ S (Q) ≤ S (Q1 ) + S (Q2 ) .С другой стороны, в силу определения квадрируемости, для фигур F1 иF2 справедливы неравенстваS ( P1 ) ≤ S ( F1 ) ≤ S (Q1 ) , S ( P2 ) ≤ S ( F2 ) ≤ S (Q2 ) ,из которых следует, чтоS ( P1 ) + S ( P2 ) ≤ S ( F1 ) + S ( F2 ) ≤ S (Q1 ) + S (Q2 ) .Таким образом, обе величины S (F ) и S ( F1 ) + S ( F2 ) заключены между числами S ( P1 ) + S ( P2 ) и S (Q1 ) + S (Q2 ) , разница между которыми( S (Q1 ) + S (Q2 )) − ( S ( P1 ) + S ( P2 )) == ( S (Q1 ) − S ( P1 )) + ( S (Q2 ) − S ( P2 ))может быть сделана сколь угодно малой.
Это означает, что указанные величины равны между собой. Теорема 4 полностью доказана.198§5. Вычисление площади плоской фигурыСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралПриведённые теоремы описывают достаточно широкий класс квадрируемых фигур. Выделим две основные группы квадрируемых фигур, чаще других встречающиеся при решении задач на вычисление площадей.1. Если плоская фигура F ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых определяется явным уравнением y = y x или()x = x( y ) , то эта фигура квадрируема.2.
Если плоская фигура F ограничена одной или несколькими гладкими5кривыми, то она квадрируема.5.4. Площадь в декартовых координатахS (T ) − s (T ) < ε , где S (T ), s (T ) – соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции y (x ) , отвечающие разбиению T (критерий Риманаинтегрируемости функции на сегменте).Рассмотрим многоугольные фигуры P и Q , состоящие из прямоугольников со сторонами[ x k −1 , x k ] , [0, inf y ( x)] и [ x k −1 , x k ] , [0, sup y ( x)] ,xk −1 ≤ x ≤ xkk = 1, K , n , соответственно. Тогда очевидно, что P ⊂ F ⊂ Q , причёмS ( P ) = s (T ) , S (Q ) = S (T ) .
Значит, S (Q ) − S ( P ) < ε , т.е. фигура Fквадрируема(лемма1раздела5.3).СOx .ε >0y = y( x ) , слева и справа – прямыми x = a и x = b ,и снизу – отрезком оси Ox между точками a и b . Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией, прилежащей к оси Ox ; её можно задать какмножество точек плоскостиТеорема 1. Криволинейная трапеция F , прилежащая к оси Ox , представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой вычисляется поформулеbS ( F ) − ∫ y ( x)dx < ε .aТак как площадь фигуры и интеграл от функции y (x ) по сегменту [ a , b] –числа, не зависящие от выбора ε , то из последнего неравенства следует, чтоbaСледствие 1.
Если функцияy( x ) на сегменте [a, b] не сохраняет посто-yb(1)aгдеt ∈ [T0 , T ] , гладкой, если: 1) функции x(t )иy(t )какS ( F ) = ∫ y ( x)dx . Теорема доказана.F = {(x; y ) a ≤ x ≤ b;0 ≤ y ≤ y ( x )}.y=f(x)Назовём кривую, заданную параметрическими уравнениямитаквыполнено:рицательной функции5стороны,aлюбого[a, b] непрерывной и неот-S ( F ) = ∫ y (x )dx .другойs (T ) ≤ ∫ y ( x)dx ≤ S (T ) и S ( P ) ≤ S ( F ) ≤ S (Q ) , то получаем, что дляРассмотрим фигуру F в системе прямоугольных координат Oxy , ограниченную сверху графиком заданной на сегментето она интегрируема на этом сегменте. Значит, для любого числа ε > 0 существует разбиение T = {x 0 ; x1 ;K; x n } сегмента [ a , b] такое, чтоb5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно1.
Фигура задана стандартно относительно осиДоказательство. Так как функция y (x ) непрерывна на сегменте [ a , b] ,xk −1 ≤ x ≤ xkРассмотрим практический вопрос о вычислении площадей плоских фигурпри помощи обычных определённых интегралов.6 Обратимся к наиболее типичным случаям.199S1x = x(t ) , y = y (t ) ,имеют непрерывные произ-водные на всём промежутке изменения параметра; 2) на кривой нет ни кратных, нивообще особых точек ([12], стр. 441).6Площади плоских фигур могут быть вычислены также при помощи двойных интегралов (см., например, [18], глава XVI, §1).aS3S2xbянного знака, принимаякак положительные, так иотрицательные значения,то указанный интегралравеналгебраическойсумме (т.е.
взятых с определённым знаком) площадей криволинейных трапеций, расположенных вышеи ниже оси Ox междуточками a и b . При этомплощади первых берутсяСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл200§5. Вычисление площади плоской фигурысо знаком плюс, а вторых – со знаком минус:Для криволинейной трапеции в случае её прилегания к оси ординат справедливы следствия, аналогичные приведённым выше следствиям 1 и 2.Рассмотрим примеры.b∫ y(x )dx = S1−S 2+ S 3abПример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками степенныхy ( x )dx = S1 + S 2 + S 3 ).
Это вытекает из того, что графикифункцийy( x ) и y ( x ) на участках отрицательности функции y( x ) симмет-y(при этом∫aфункцийy = x α и x = y α (α ≥ 1) .Решение. Поскольку фигурасимметрична относительно биссектрисы первого координатногоугла, то её площадь может бытьполучена посредством вычитанияиз единицы (площади квадрата)удвоенной площади криволинейной трапеции, прилежащей к осиOx и ограниченной сверху гра-y=xαричны друг другу относительно оси абсцисс.Следствие 2.
Рассмотрим теперь криволинейную трапецию более общеговида, а именно, ограниченную снизу и сверху графиками непрерывных насегменте a, b функций y1 x и y 2 x таких, что y1 x ≤ y 2 x при[ ]()201( )()x=y α1( )x ∈ [a, b] . Такую фигуру также будем относить к заданным стандартно относительно оси Ox ; её можно описать как следующее множествоF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b; y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )}.x10y = xα , α ≥ 1,x ∈ [0,1]. По формуле (1) имеемфиком функцииПлощадь указанной криволинейной трапеции вычисляется по формулеbS = ∫ ( y 2 ( x ) − y1 ( x ))dx .aαПример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = ( x − 1)2. Фигура задана стандартно относительно оси Oy .Криволинейной трапецией, прилежащей к оси Oy , назовём фигуру, ограниченную справа графиком заданной на сегменте1⎛ x α +1 ⎞α −1⎟⎟ =(кв.ед) .S = 1 − 2∫ x dx = 1 − 2⎜⎜⎝ α + 1⎠ 0 α +101(2)[c, d ] непрерывной и неот-и гиперболойx = x( y ) , снизу и сверху – прямыми y = c и y = d ,слева – отрезком оси Oy между точками c и d . Такую криволинейнуюx2 −y2= 1.2Решение.
Найдём точки пересечения параболы и гиперболы:yрицательной функции4x2 −ставляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой вычисляется поформулеdS ( F ) = ∫ x( y )dy .(1’)cДоказательство этого факта полностью аналогично доказательству теоремы 1.(1-1(x − 1)4=1 ⇔22⇔ ( x − 1)( x − 3) x + 1 = 0 .трапецию можно описать как множествоF = {(x; y ) c ≤ y ≤ d ;0 ≤ x ≤ x( y )}.Теорема 2. Криволинейная трапеция F , прилежащая к оси Oy , пред-2x13)Таким образом, кривые пересекаются в точках 1;0 и 3;4 . Далее задачуможно решать двумя способами.1-й способ.
Рассмотрим данную фигуру как заданную стандартно относительно оси Ox . Определяем, что сверхуфигураограниченакривой( ) ( )()y = 2 x 2 − 1 , а снизу – кривой202Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралy = ( x − 1) , x ∈ [1,3] , т.е. фигуру можно описать как множество§5. Вычисление площади плоской фигуры2{()}F = ( x; y ) 1 ≤ x ≤ 3; ( x − 1) ≤ y ≤ 2 x 2 − 1 .2Следовательно, её площадь может быть вычислена по формуле (2):3S=∫( 2(x2))− 1 − ( x − 1) dx =2Пример 3.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми(x∈[0, π 2]),y = sin x ( x ∈ [π 2 , π ]) и осью абсцисс.32⎛1⎜ x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 ⎞⎟ − x − 13⎠1 32 ⎝102=−ln 3 + 8 (кв.ед) .32(()31Решение.1-й способ. Данная фигура неявляется стандартной относительно оси Ox , однако её можноразбить на две стандартные относительно оси Ox области:=1)x2-й способ. С другой стороны, эту же фигуру можно рассмотреть как заданную стандартно относительно оси Oy . Действительно, она ограниченаслева кривойx=y2+ 1 , справа – кривой x = 1 + y , y ∈ [0,4], т.е.2представляет собой множество⎧⎪⎫⎪y2F = ⎨( x; y ) 0 ≤ y ≤ 4;+1 ≤ x ≤ 1+ y ⎬,2⎪⎩⎪⎭⎛S = ∫⎜ y +1−⎜0⎝⎛21 ⎛y= ⎜⎜ y + y −⎜2⎝2⎝332=2x ⎫π⎧F1 = ⎨( x; y ) 0 ≤ x ≤ ;0 ≤ y ≤ ⎬ ,2π ⎭⎩π⎫⎧F2 = ⎨( x; y )≤ x ≤ π ;0 ≤ y ≤ sin x ⎬ .2⎭⎩Тогда площадь фигуры равна сумме площадей фигур F1 и F2 :S=∫02xππdx + ∫ sin xdx =π(x )π12π20ππ24− cos x π =+ 1 (кв.ед) .24⎞⎞y 2 + 2 + ln y + y 2 + 2 ⎟ ⎟⎟ =⎠⎠ 0(π22⎞y2+ 1 ⎟dy =⎟2⎠102−ln 3 + 832π0πи поэтому площадь фигуры можно вычислить по формуле4y = 2x πy1=203) (кв.ед) .3.
Если фигура не относится к рассмотренным случаям стандартного расположения относительно координатных осей, то в большинстве случаев еёудаётся разбить на части, каждая из которых представляет собой стандартнуюобласть.2-й способ. Фигура является стандартной относительно оси Oy и можетбыть задана как следующее множество:πy⎫⎧F = ⎨( x; y ) 0 ≤ y ≤ 1; ≤ x ≤ π − arcsin y ⎬ .2⎭⎩В результате задача сводится к вычислению определённого интегралаπy ⎞⎛S = ∫ ⎜ (π − arcsin y ) − ⎟dy =2⎠0⎝11⎛πy 2 ⎞π2⎜⎟⎟ = + 1 (кв.ед) .= ⎜ πy − y arcsin y − 1 − y −4 ⎠0 4⎝Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл204§5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
