И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 40
Текст из файла (страница 40)
имеющим конечный объём), еслиV =V .V = V = V называется при этом объёмом тела F (по Жордану).Будем говорить, что тело F имеет объём, равный нулю, если это тело со-Числодержится в многогранном теле сколь угодно малого объёма.Замечание 1. Подчеркнём, что введённое таким образом определение объёма, допускающее существование фигур нулевого объёма, распространяетпонятие объёма на пространственную фигуру, не являющуюся телом в§7. Вычисление объёмов тел269«школьном» понимании.
Например, поскольку объём сферы равен нулю, тообъём шара, рассмотренного вместе с границей, и объём открытого шара (безграницы), согласно введённому определению, существуют и равны. Далее,если не оговорено противное, под термином «тело» будем понимать кубируемое тело.Замечание 2. Понятие кубируемости допускает обобщение на случай неограниченных тел в пространстве.Пусть F – неограниченное пространственное тело и R > 0 – действи-FR тело, полученное при пересечении F сшаром радиуса R и с центром в начале координат: FR = U R (O ) I F .
Всегда можно выбрать такое достаточно большое R , чтобы FR ≠ ∅. Пусть,кроме того, для любого такого R ограниченное тело FR кубируемо в смыслетельное число. Обозначим черезвведённого выше определения. Если существует конечный пределV (F ) = lim V (FR ) ,R → +∞( )то назовём тело F кубируемым (в несобственном смысле), а число V F –его объёмом. При вычислении объёмов таких тел с помощью определённыхинтегралов будем получать сходящиеся несобственные интегралы 1-го или 2го рода (соответствующие примеры будут рассмотрены ниже – пример 3пункта 7.5.1).Замечание 3. Перечисленные свойства элементарных тел (неотрицательность, аддитивность, инвариантность, существование единицы) сохраняютсяи для произвольных кубируемых тел.
Доказательство свойства аддитивностив случае, когда тела имеют общие граничные точки, аналогично соответствующему доказательству для плоского случая (см. теорему 4 раздела 5.3 §5).Замечание 4. Подчеркнём, что свойство аддитивности выполняется дляобъединения любого конечного числа F1 , F2 ,..., Fn кубируемых тел без общих внутренних точекnV (F ) = ∑ V (Fi ) ,i =1но уже объединение счётной совокупности кубируемых тел не является, вообще говоря, кубируемым телом.Замечание 5. Отметим также, что пересечение двух кубируемых тел естькубируемое тело.270Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл7.3. Необходимые и достаточные условия кубируемости.Классы кубируемых телСуществует тесная связь между кубируемостью тела и величиной объёмаего границы. Справедливы следующие теоремы.Теорема 1 (необходимое и достаточное условие кубируемости). Для тогочтобы тело F было кубируемо, необходимо и достаточно, чтобы его граница имела объём нуль.Доказательство этого факта можно провести с помощью таких же рассуждений, как и доказательство аналогичного факта в плоском случае (см.
теорему 1 раздела 5.3 §5). Оно опирается на лемму 1, доказанную ниже.Следствие. Объём кубируемого тела равен одному и тому же числу независимо от того, с границей или без границы рассматривается это тело.Теорема 2 (необходимое и достаточное условие кубируемости). Для тогочтобы тело F было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности многогранных тел {An } и {Bn },соответственно, содержащихся в F и содержащих в себе F , объёмы которых имели бы общий пределlim V ( An ) = lim V (Bn ) = V (F ) .n → +∞n → +∞Доказательство этой теоремы приведено в книге [17], глава X, §2. Оно такжелегко может быть получено из следующих лемм 1 и 2.Лемма 1.
Тело F кубируемо тогда и только тогда, когда для любогочисла ε > 0 найдётся многогранное тело P ⊂ F и многогранное телоQ ⊃ F такие, что V (Q ) − V ( P ) < ε .Доказательство. 1) Необходимость. Пусть тело F кубируемо, тогдаV ( F ) = V ( F ) . По определению точной грани для любого числа ε > 0 найдётся многогранное тело P ⊂ F такое, что V ( F ) −ε2< V ( P) ≤ V ( F ) .Аналогично найдётся многогранное тело Q ⊃ F такое, чтоV ( F ) ≤ V (Q ) < V ( F ) +ε2.Так как V ( F ) = V ( F ) = V ( F ) , то, учитывая полученные неравенства,имеем:V (F ) −ε2Значит, V (Q ) − V ( P ) < ε .< V ( P ) ≤ V (Q ) < V ( F ) +ε2.§7.
Вычисление объёмов тел2712) Достаточность. Пусть для любого числа ε > 0 найдутся многогранные тела P ⊂ F и Q ⊃ F такие, что V (Q ) − V ( P ) < ε . Так какε >0V ( P ) ≤ V ( F ) ≤ V ( F ) ≤ V (Q ) ,0 ≤ V ( F ) − V ( F ) ≤ V (Q ) − V ( P ) < ε .FP ⊂ F ⊂ FQ ), следовательно, V ( F ) − h ⋅ S (G) < ε для любого числапроизвольно, значения верхнего и нижнего объёма тела Fот него не зависят, значит, V ( F ) = V ( F ) .
Лемма 1 доказана.лаЛемма 2. Тело F кубируемо тогда и только тогда, когда для любого чиснайдётся кубируемое тело P ⊂ F и кубируемое тело Q ⊃ F та-ε >0кие, что V (Q ) − V ( P ) < ε .Доказательство. Необходимость сразу следует из леммы 1, так как любое многогранное тело является кубируемым. Докажем достаточность.
Пустьдля любого числа ε > 0 найдутся кубируемые тела P ⊂ F и Q ⊃ F такие, что V (Q ) − V ( P ) <ε. Тогда, согласно предыдущей лемме, найдутся2многогранные тела P ′ и Q ′ такие, что P ′ ⊂ P , Q ′ ⊃ QV ( P ) − V ( P ′) <Значит, P ′ ⊂ F ⊂ Q ′ иε4V (Q ′) − V ( P ′) < V (Q ) +, V (Q ′) − V (Q ) <ε4− V ( P) +ε4<ε2ε4+.ε2=ε .Отсюда и из леммы 1 следует, что тело F кубируемо. Лемма 2 доказана.Перечислим основные классы кубируемых тел.1. Если основанием цилиндрического тела F является плоская квадрируемая фигура G , то тело F кубируемо, причём объём этого тела равенV = S (G ) ⋅ h , где S (G ) – площадь основания G , h – высота цилиндриче-ε > 0 .
Из произвольности выбора ε заключаем, что V ( F ) = S (G ) ⋅ h , чтои требовалось доказать.2. Ступенчатое тело кубируемо, если основаниями составляющих его цилиндрических тел являются квадрируемые фигуры. Этот факт сразу следуетиз пункта 1 и свойства конечной аддитивности объёма тела.3. Если для любого положительного числа ε можно указать такое содерF1 и такое содержащееся в F ступенчатое телоF2 , что V (F1 ) − V (F2 ) < ε , то тело F кубируемо (см.
лемму 2).4. Если тело F ограничено поверхностью, задаваемой явным уравнениемодного из трёх типов z = z ( x, y ) , y = y ( x, z ) , x = x( y, z ) , где функцииz (x, y ) , y(x, z ) , x( y, z ) – непрерывные функции своих аргументов в некоторых ограниченных областях, то тело F кубируемо.жащее F ступенчатое тело5.
Тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями,кубируемо.В последнем случае допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающейтело поверхности конечного числа особых точек, которые могут быть выделены окрестностями с произвольно малым объёмом.К основным типам задач, связанных с вычислением объёмов тел при помощи определённых (не кратных) интегралов,8 относятся вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям и вычисление объёмов тел вращения.При этом зачастую приходится выполнять разбиение тела на несколькоболее простых тел, и вычислять объём тела как сумму объёмов составляющихего тел.ского тела.Доказательство. Так как фигура G квадрируема, то для любого числаε > 0 найдутся многоугольные фигуры P и Q такие, что P ⊂ G ⊂ Q иS (Q ) − S ( P ) <иQСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интегралV ( FQ ) − V ( FP ) = h ⋅ S (Q ) − h ⋅ S ( P ) < ε . Значит, тело F кубируемо(лемма 1). С другой стороны, так как S ( P ) ≤ S (G ) ≤ S (Q ) , тоV ( FP ) ≤ h ⋅ S (G ) ≤ V ( FQ ) . Но V ( FP ) ≤ V ( F ) ≤ V ( FQ ) (посколькутоНо число272εh. ПустьсоответственноFP и FQ – многогранные тела с основаниями Pивысотойh.ТогдаFP ⊂ F ⊂ FQ7.4. Вычисление объёма тела по известным площадямпоперечных сеченийРассмотрим в прямоугольной системе координат Oxy некоторое кубируемое тело F , расположенное между плоскостямиx = a и x = b так, чтои8Объём тела в пространстве может быть вычислен также при помощи тройных интегралов (см.,например, [18], глава XVIII, §1, стр.308).§7. Вычисление объёмов тел273x ∈ [a, b] сечение данного тела плоскостью, проходящей черезточку ( x;0;0 ) перпендикулярно оси Ox , непусто и квадрируемо, причёмизвестна площадь S ( x ) этого сечения.Теорема 1. Пусть площадь S ( x ) сечения кубируемого тела F как функция x непрерывна на сегменте [a, b ] .
Тогда объём тела F вычисляется попри любомформулеbV = ∫ S ( x )dx .Доказательство. Произведём разбиение T сегментаточками[a, b] на осито, обозначив черезS P ( x ) и S Q (x ) площади их поперечных сечений, будемиметьbbaaV ( PT ) = ∫ S P (x )dx , V (QT ) = ∫ S Q ( x )dx .С другой стороны, так как S P ( x ) ≤ S ( x ) ≤ S Q ( x ) , то иbbbaaa(∗ ∗)V ( PT ) = ∫ S P ( x )dx ≤ ∫ S (x )dx ≤ ∫ S Q ( x )dx = V (QT ) .OxПолучили, что в силуa = x0 < x1 < x 2 < ...
< x n −1 < x n = b ,(∗) и (∗ ∗) объём Vbтела F и интеграл∫ S (x )dxaи разделим плоскостямиx = xi , i = 1,2,..., n − 1 ,S(x)Так как к телам PT и QT доказываемая формула, очевидно, применима,(1)azСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл274всё тело на слои. Рассмотрим i -й слой Fi ,оба содержатся между одними и теми же числами PT и QT , разница междукоторыми меньше, чем ε . Так как ε можно выбрать произвольно малым, тоотсюда и вытекает справедливость формулы (1).первое из которых содержится в F , а второе – содержит в себе F , объёмыкоторых удовлетворяют неравенству∗V ( PT ) ≤ V ≤ V (QT ) ,Рассмотрим примеры.Пример 1. Вычислить объём цилиндрического отрезка (т.е. геометрического тела, отсекаемого от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания), если в основании цилиндра лежит круг радиуса a , секущая плоскость проходит через диаметр AB и составляетугол α с плоскостью основания.Решение.1-й способ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
