И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поместимначало координат в точкуO – центр круга, лежаS(x)щегов основании цилинhyxдра, и пустим ось абсцисс вдоль диаметраαAAB , а ось ординат –yaперпендикулярно ей вxплоскости круга. ОпреOделим площадь сечения,перпендикулярного осиBOx . Это сечение пред-причём разность V (QT ) − V ( PT ) можно сделать меньше любого наперёдставляет собой прямоугольный треугольник с основанием y =содержащийсямеждуплоскостямиx = xi и x = xi +1 ,xyaxbi = 0,1,..., n − 1 . Так какон кубируем (как частькубируемого тела F ), тосуществуют многогранные тела Pi и Qi , на-пример, в виде совокупностей прямоугольных параллелепипедов с рёбрами,параллельными координатным осям, такие, что Pi целиком содержится в Fi ,а Qi содержит Fi внутри себя. Проделав это для каждого слоя, в результатепостроим два отвечающих данному разбиению многогранных тела PT и QT ,()заданного положительного числания T ).ε(при достаточно малом диаметре разбие-высотойh = tgα ⋅ y = tgα a 2 − x 2 .Егоплощадьa2 − x2 иS (x )равна§7.
Вычисление объёмов тел(275)1yh = tgα a 2 − x 2 . Тогда по формуле (1) находим искомый объём ци2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл276уравнение к каноническому виду:y2линдрического отрезкаaa(a)()1V = ∫ S ( x )dx = tgα ∫ a 2 − x 2 dx = tgα ∫ a 2 − x 2 dx =20−a−aa⎛x ⎞2= tgα ⎜⎜ a 2 x − ⎟⎟ = a 3 tgα (куб.ед).3 ⎠0 3⎝32-й способ. Ту же величину объёма можно было получить, рассекая телоплоскостями, перпендикулярными оси Oy . Найдём площадь поперечногосечения в этом случае.Очевидно,сечениепредставляет собой прямоугольник с основаниемyxAahaxa00()3 a202 ⎞⎛⎜ c 1 − x0 ⎟⎜a 2 ⎟⎠⎝a12+b12= 1.искомый объём:aaa⎛ x2 ⎞⎛ x2 ⎞V = ∫ S ( x )dx = πbc ∫ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dx = 2πbc ∫ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dx =a ⎠a ⎠0⎝−a− a⎝⎛x3= 2πbc⎜⎜ x − 23a⎝a⎞4⎟⎟ = πabc (куб.ед).⎠0 3S ( y ) = 2 xh == 2tgα ⋅ y a 2 − y 2 .x2 + z2 = a2 , y2 + z2 = a2 .Решение.
Данные уравнения задают два прямых круговых цилинда, осикоторых совпадают с осями Oyza2= a 3 tgα (куб.ед).3x2 y2 z2++= 1 (эллипсоид).a2 b2 c2xaayx02y2 z2+=1−. Приведём егоb2 c2a2и Ox соответственно. На рисунке изображена одна восьмаячасть тела, образованного припересечении этих цилиндров,лежащая в первом октанте. Рассмотрим сечение этой 1 8 частитела плоскостью, перпендикулярной оси Oz . Это будет квадрат, так как при фиксированномz = z 0 имеем:2x 2 = a 2 − z0 = y 2 .Решение. Найдём сечение эллипсоида, например, плоскостью x = x 0 ,Ox . Это эллипс= 1 , или⎛ x2 ⎞S ( x ) = πa1b1 = πbc⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ .⎝ a ⎠Тогда, учитывая, что − a ≤ x 0 ≤ a , и интегрируя по формуле (1), находим3-й способ.
Можно было вычислить объём цилиндрического отрезка, рассматривая его сечения, перпендикулярные оси аппликат Oz .Пример 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностьюперпендикулярной оси2Заметим, что при решении задачи можно было аналогично рассматриватьсечения эллипсоида плоскостями, перпендикулярными осям Oy или Oz .Пример 3.
Найти объём тела, ограниченного поверхностямиV = ∫ S ( y )dy = 2tgα ∫ y a 2 − y 2 dy =2= tgα a 2 − y 23+z2этому площадь поперечного сечения равнаОтсюда по формуле (1) находим объёмa2y2Площадь этого сечения (т.е. площадь эллипса) равна2 x = 2 a 2 − y 2 и высотой h = tgα ⋅ y . По-OB2 ⎞⎛⎜ b 1 − x0 ⎟⎜a 2 ⎟⎠⎝z2Сторона данного квадрата равна(квадрата), соответственно,x = y = a 2 − z 02 , а площадь сечения§7. Вычисление объёмов тел277S (z 0 ) = xy = a 2 − z 02 ⋅ a 2 − z 02 = a 2 − z 02 .7.5. Объём тела вращения в декартовых координатахТогда объём всего тела равенa⎛z3 ⎞16V = 8∫ a − z dz = 8⎜⎜ a 2 z − ⎟⎟ = a 3 (куб.ед).3 ⎠03⎝0a(22)Пример 4. Тело F представляет собой множество точекСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл278M ( x; y; z ) ,0 ≤ z ≤ 1 , причём 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , если z – рационально, и− 1 ≤ x ≤ 0 , − 1 ≤ y ≤ 0 , если z – иррационально. Доказать, что объёмгдеРассмотрим основные случаи вычисления объёмов тел вращения. Во всехслучаях во избежание возникновения неопределённости будем считать, чтовращаемая криволинейная трапеция не пересекает оси вращения.7.5.1. Криволинейная трапеция задана стандартноотносительно оси Ox и вращается вокруг оси Oxy = f ( x ) непрерывна на сегменте [a, b] .Тогда тело FOX , образованное вращением вокруг оси Ox криволинейнойТеорема 1. Пусть функциятрапецииF = {( x; y ) 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y ( x ), y ∈ C[a, b]},1этого тела не существует, хотя соответствующий интеграл∫ S (z )dz су0кубируемо, и его объём VOX может быть вычислен по формулеществует и, очевидно, равен единице.Решение.
Проведём доказательство методом от противного. Допустим,что объём тела F существует; тогда он равен верхнему объёму тела, т.е.числу V (F )bVOX = π ∫ y 2 (x )dx .= inf V (Q ) , где V (Q ) – множество объёмов всех многогран-Доказательство.9 Выполним произвольное разбиение T сегментаQ⊇ F{(x; y; z )Поэтомумножествои обозначим через mi и M i со-y0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 1;0 ≤ z ≤ 1} иответственно точные нижнюю иверхнюю грани функции y x наy=y(x)− 1 ≤ x ≤ 0;−1 ≤ y ≤ 0;0 ≤ z ≤ 1}.[V (F ) = inf V (Q ) = 2 . Таким образом, если объём тела существует, то онxQ⊇F( )0a]()сегментах x i , xi +1 ,V (Q ) имеет точную нижнюю грань, равнуюравен 2.С другой стороны, множество рациональных чисел z сегмента 0 ≤ z ≤ 1является дополнением множества иррациональных чисел z из этого сегментако множеству всех его точек, поэтому объём V F данного тела F заведомоне может превзойти объёма куба, ребро которого равно единице.
Получилипротиворечие: 2 = V ( F ) ≤ 1 , которое доказывает, что предположение о кубируемости тела было неверным.[a, b] :a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n −1 < x n = b ,ников, описанных вокруг тела F (т.е. таких, каждому из которых принадлежат все точки тела F и его границы). Среди этих многогранников существует наименьший, представляющий собой объединение кубов{(x; y; z )(1)abi = 0,1,..., n − 1 .
На каждом таком сегменте построим два прямоугольника Pi и Qi , у которых[сегмент xi , x i +1]является осно-ванием, а mi и M i – соответственно высотами. В результате получатся двеступенчатые фигуры, одна из которых ( PT ) содержится в криволинейнойтрапеции F , а другая ( QT ) содержит её.При вращении F и этих ступенчатых фигур PT и QT вокруг осиOxобразуются тело FOX и два ступенчатых тела, одно из которых ( POX ) со-9[9], с.420.§7. Вычисление объёмов тел279Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл280F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y ( x ), y ∈ C[a, b]}держится в FOX , а другое ( QOX ) – содержит в себе FOX . Объёмы этих телравны соответственноn −1n −1i =02ii =0Легко видеть, что эти выражения представляют собой нижнюю и верх-πy 2 ( x ) . Поскольку эта функция, будучинепрерывной, интегрируема на сегменте [a, b ] , то найдётся такое разбиениенюю суммы Дарбу для функцииэтого сегмента, что разность указанных сумм для него будет меньше любогонаперёд заданного положительного числа ε .
Следовательно, тело кубируемо.Поскольку предел указанных сумм при стремлении диаметра разбиения сегbмента[a, b] к нулю равен π ∫ y 2 (x )dx , то объём VOXF− = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,− y ( x ) ≤ y ≤ 0, y ∈ C[a, b]}иV ( POX ) = π ∑ m Δxi и V (QOX ) = π ∑ M Δxi .2iтела FOX вычисляет-(а значит, и их объёмы), совпадают. В подобных ситуациях для получения из(1) формулы, справедливой в любом случае, когда функция y x не меняет()[a, b] , в подынтегральном выражении достаточно заменить y(x ) наy ( x ) .
Но поскольку функция y( x ) входит в формулу (1) в квадрате, то ука-знака назанная формула полностью сохраняет свой вид и в случае вращения вокругоси Ox криволинейной трапеции вида F− .Обобщая этот результат, получим, что для криволинейных трапеций любого из видовF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y ( x ), y ∈ C[a, b]}aилися по формуле (1), что и требовалось доказать.Пример 1.
Найти объём тела, полученного вращением вокруг осиOxплоской фигуры, ограниченной линиями y = 2 x − x и y = 0 .2yРешение.По формуле (1) имеем:200вокруг оси Ox , может быть вычислен как разность объёмов тел, полученныхвращением вокруг оси Ox трапеций()2022()= π ∫ x − 4 x + 4 x dx =43202⎛ x54x3 ⎞16π⎟⎟ == π ⎜⎜ − x 4 +3 ⎠015⎝ 5Замечание 2 (обобщение на случай криволинейной трапеции общего вида,заданной стандартно относительно оси Ox ).Заметим, что объём тела, полученного вращением криволинейной трапецииF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ); y1 , y 2 ∈ C [a, b]}= π ∫ 2 x − x 2 dx =x(не пересекающих оси вращения Ox ), верна формула (1) для вычисленияобъёма соответствующего тела вращения.2VOX = π ∫ y 2 ( x )dx =1F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b, y ( x ) ≤ y ≤ 0, y ∈ C [a, b]}(куб.ед).y( x ) , не меняющей знака на[a, b] ).
Легко видеть, что тела, полученные вращением вокруг оси Ox кажЗамечание 1 (обобщение на случай функциидой из двух симметричных друг другу относительно этой оси криволинейныхтрапецийF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y 2 ( x ); y 2 ∈ C [a, b]}иF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y1 ( x ); y1 ∈ C [a, b]}.Таким образом, приходим к формулеb()VOX = π ∫ y 22 ( x ) − y12 ( x ) dx .aАналогично, объём тела, полученного вращением трапецииF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) ≤ 0; y1 , y 2 ∈ C [a, b]}вокруг оси Ox , может быть вычислен как разность объёмов тел, полученныхвращением вокруг оси Ox трапецийF = {( x; y ) a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ 0; y 1 ∈ C [a, b]}§7. Вычисление объёмов тел281F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b, y 2 ( x ) ≤ y ≤ 0; y 2 ∈ C[a, b]}.иВ этом случае для вычисления объёма имеем формулуb()22aПусть теперь F – стандартная относительно оси Ox криволинейнаятрапеция, ограниченная сверху и снизу графиками непрерывных на сегментеa, b функций y 2 x и y1 x , слева и справа – прямыми x = a и x = b :[ ]( ) ()F = {( x; y ) a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ); y1 , y 2 ∈ C [a, b]},не пересекающая оси Ox .Объединяя результаты двух предыдущих случаев в один, получаем, чтообъём тела, образованного вращением F вокруг Ox , вычисляется по формулеbVOX = π ∫ y ( x ) − y ( x )dx .22вать для вычисления объёма тела, полученного вращением вокруг осикриволинейной трапецииF = x, y : a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ y x , y ∈ C a, b .OxПример 3.
Найти объём тела, полученного вращением вокруг осиплоской фигуры, ограниченной кривымиOx{(VOX = π ∫ y ( x ) − y ( x ) dx .21Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл28221(2)aOxПример 2. Найти объём тела, полученного вращением вокруг осиплоской фигуры, ограниченной линиями y = x и y = 2 x − x ( xРешение.Данная фигура является стандартной относительно оси Ox :3{≥ 0) .+∞ π + 2πnVOX = π ∑+∞πn =0 0n =00Интегрируя по частям, находимπ− 4πn+∞e −2 t(cos t + 2 sin t ) = π ∑ e −4πn ⋅ 1 1 + e −2π =⋅55n =00=x=y1((a= π ∫ 2x − x3)2)− x 2 dx =01x1()= π ∫ x 6 − 4 x 4 + 3 x 2 dx =0(куб.ед).12π35Замечание 3 (случай произвольных a и b ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
