И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2 + 2 + 2 = −1 – мнимый эллипсоид;abc1.гиперболические –x2 y2 z2+−= 1 – однополостный гиперболоид,a2 b2 c2x2 y2 z 24. 2 + 2 − 2 = −1 – двуполостный гиперболоид;abcпараболические ( p > 0, q > 0) –3.x2 y2+= 2 z – эллиптический параболоид,pqx2 y2−= 2 z – гиперболический параболоид.6.pq5.§8. Вычисление площадей поверхностей вращения319Вырождающиеся:цилиндрические –x2a2x28. 2ax29.
2a210. y7.y2= 1 – эллиптический цилиндр,b2y2+ 2 = −1 – мнимый эллиптический цилиндр,by2− 2 = 1 – гиперболический цилиндр,b= 2 px – параболический цилиндр;+конические –x2 y2 z2x2 y2 z211. 2 + 2 − 2 = 0 – конус, 12. 2 + 2 + 2 = 0 – мнимый конус.abcabcРаспадающиеся вырождающиеся поверхности213.14.15.16.17.2xy− 2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей,2ab2xy2+= 0 – пара мнимых пересекающихся плоскостей,a2 b2x 2 = a 2 – пара параллельных плоскостей,x 2 = − a 2 – пара мнимых параллельных плоскостей,x 2 = 0 – пара совпадающих плоскостей.Пересечение поверхности 2-го порядка с плоскостью является линией 2-гопорядка.Поверхности 2-го порядка были впервые представлены уравнениями 2-йстепени у Л.Эйлера (1748), современные названия невырожденных поверхностей 2-го порядка даны Г. Монжем (1801).8.3.
Квадрируемость кривой поверхности и её площадьПонятие площади кривой поверхности имеет аналогию с понятием длиныкривой линии. Длину (незамкнутой) дуги мы определяли как предел периметра вписанной в дугу ломаной – при условии, что длины всех её сторонстремятся к нулю. Возникает естественный вопрос, можно ли в случае кривойповерхности (тоже незамкнутой) рассматривать вписанную в неё многогранную поверхность и определять площадь кривой поверхности как предел пло-320Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралщади этой многогранной поверхности – при условии, что диаметры всех граней стремятся к нулю.
Оказывается, нет. В конце XIX века была обнаруженанепригодность этого определения. Шварцем (Y.A.Schwarz) было показано4,что упомянутый предел не существует даже для простого случая поверхностипрямого кругового цилиндра.Назовём область G трёхмерного пространства односвязной, если любойпринадлежащий ей замкнутый контур может быть непрерывно деформирован(стянут) в точку, оставаясь всё время в G .Пусть G – односвязная область на гладкой поверхности, ограниченнаякусочно-гладким контуром. Разобьём область G кусочно-гладкими кривымина конечное число частей Gi , каждая из которых однозначно проектируетсяна касательную плоскость, проходящую через точку M i , принадлежащуюGi . Предел сумм площадей этих проекций (если он существует), взятых повсем элементам разбиения, при условии, что максимальный диаметр этихэлементов Gi стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек M i ,называется площадью области G .
При этом фигура G , расположенная накривой поверхности, называется квадрируемой.Например, квадрируемыми являются кусочно-гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. Площади фигур, расположенных на кривыхповерхностях, обладают свойствами, аналогичными свойствам инвариантности и аддитивности площадей плоских фигур.Для вычисления площадей кривых поверхностей, уравнения которых известны, используются, вообще говоря, так называемые поверхностные интегралы (1-го и 2-го рода) и связанные с ними кратные интегралы.
Этот разделизучается позже, обычно на 2-м году обучения в университете, поэтому сейчас мы ознакомимся лишь с наиболее простыми случаями вычисления площадей – с помощью обычных собственных и несобственных определённыхинтегралов.8.4. Поверхность вращения и её площадьПоверхности вращения составляют один из простейших классов кривыхповерхностей. Для таких поверхностей общее – весьма сложное – определение площади поверхности можно заменить более простым.Пусть на плоскости Oxy (именно, в верхней полуплоскости) имеетсянекоторая кривая AB , заданная параметрически уравнениямиx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T ,()4[18], глава XVII, §2, п.
623.()[]§8. Вычисление площадей поверхностей вращения321x(t ) , y(t ) – непрерывные на [T0 , T ] функции (вместе с производнымиx′(t ) , y ′(t ) )5.Если вращать кривую AB вокруг оси Ox , то она опишет некоторуюгдеповерхность вращения. Вычислим площадь этой поверхности, определив понятие площади специально для поверхности вращения. При этом будем исходить из данных ещё в школьном курсе правил вычисления боковых поверхностей цилиндра, конуса и усечённого конуса. Впоследствии у вас будет возможность убедиться в том, что полученная ниже формула вычисления площади поверхности вращения через определённый интеграл входит как частный случай в общую формулу для площади кривой поверхности (через двойной или поверхностный интегралы).Выберем на кривой AB в направлении от A к B произвольную последовательность точек A = A0 , A1 , A2 ,..., Ai , Ai +1 ,..., An −1 , An = Bи рассмотрим ломануюAA1 A2 ...
An −1 B , вписан-yAi+1AiA3An-1BA2A10Axную в кривую.Станем вместе с кривой вращать вокруг осиOx эту ломаную; онаопишет некоторую поверхность S n , X , площадькоторой определим поправилам элементарнойгеометрии.Условимся под площадьюповерхности,описаннойвращаемойкривой, пониматьS пов , X = sup S n , X(здесь супремум берётся по всем разбиениям дуги AB ).Замечание.
Можно показать, что в данной ситуации площадь поверхностивращения численно равна пределу площадей поверхностей S n , X , описанныхвращаемыми ломаными, при стремлении к нулю наибольшей из частичныхдуг.Рассмотрим вопрос о вычислении площадей поверхностей вращения.5Предполагаем отсутствие особых и кратных точек на кривойAB .Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл3228.5. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах8.5.1. Вращение вокруг осиOxТеорема 1 (случай параметрического задания кривой). Пусть плоскаякривая AB задана параметрическими уравнениямиx = x t , y = y t , t ∈ T0 , T ,]на сегменте [T0 , T ] . Тогда площадь()()[x(t ) , y(t ) ∈ C (1) [T0 , T ] , y (t ) ≥ 0поверхности S пов , X , полученной вращением AB вокруг оси Ox , вычисляетгдеся по формулеT22S пов , X = 2π ∫ y (t ) ( x ′(t )) + ( y ′(t )) dt .(1)T0ε > 0 .
Так как функy ′(t ) непрерывна на сегменте [T0 , T ] , то она равномерно непрерывна нанем. Следовательно, существует число δ 1 > 0 такое, что для любыхДоказательство. Зафиксируем произвольное числоцияt1 , t 2 ∈ [T0 , T ] , t1 − t 2 < δ 1 , выполнено:y ′(t1 ) − y ′(t 2 ) <ε8π (T − T0 ) sup y (t )T0 ≤t ≤T(если sup y (t )T0 ≤t ≤T= 0 , то y (t ) ≡ 0 на сегменте [T0 , T ] и формула (1) оче-видна).Далее, функция y (t ) также равномерно непрерывна на T0 , T , значит,[существуетчислоδ2 > 0такое,чтодлялюбых]t1 , t 2 ∈ [T0 , T ] ,t1 − t 2 < δ 2 , выполнено:y (t1 ) − y (t 2 ) <ε8π (T − T0 ) supT0 ≤t ≤T( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2.δ = min{δ 1 ; δ 2 } .
Пусть T = {t 0 ; t1 ;K; t n } – произвольноеразбиение сегмента [T0 , T ] , Δ T < δ . Впишем в кривую AB ломаную, соОбозначимответствующую этому разбиению, и вычислим площадь поверхности, полученной при вращении этой ломаной вокруг оси Ox :§8. Вычисление площадей поверхностей вращения323y ′(t ) на сегментах [t k −1 , t k ] .Наконец, оценим последнее слагаемое в соотношении (*) . Пустьnв силу равномерной непрерывности функцииS n , X = π ∑ ( y (t k −1 ) + y (t k )) Δx k2 + Δy k2 ,k =1Δx k = x(t k ) − x(t k −1 ) , Δy k = y (t k ) − y (t k −1 ) . Применив теорему Ла-гдегранжа к функциямСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл324M = supx(t ) и y(t ) на сегменте [t k −1 , t k ] , можем переписатьT0 ≤t ≤Tnпоследнее соотношение в видеnТогдаS n , X = π ∑ ( y (t k −1 ) + y (t k )) ( x ′(ξ k )) + ( y ′(η k )) Δt k =22= 2π ∑ y (ξ k ) ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k +k =1)(n]по формуле (1).
Теорема 1 доказана.Замечание 1. При вращении вокруг оси Ox графика функции, не обладающей свойством неотрицательности, для вычисления площади образуемойпри этом поверхности используется формулана сег-δ 3 ∈ (0, δ )Tтакое,S пов , X = 2π ∫ y (t )чтоTn2π ∑ y (ξ k ) ( x ′(ξ k )) + ( y ′(ξ k )) Δx k − 2π ∫ y (t ) ( x ′(t )) + ( y ′(t )) dt <222k =1если2T0ε2a +b − a +c222≤ b−cn,k =1(222nεk =14≤ 2π sup y (t ) ∑ y ′(η k ) − y ′(ξ k ) Δt k <T0 ≤t ≤T∫( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt ,T0соответствующую натуральной параметризации кривой (т.е. взять в качествепараметра переменную длину дуги l , отсчитываемую от точки A(T0 ) ), тоT)S пов , X = 2π ∫ y dl ,π ∑ ( y (t k −1 ) + y (t k )) ( x ′(ξ k )) + ( y ′(η k )) − ( x ′(ξ k )) + ( y ′(ξ k )) Δt k ≤2tполучим:(см. лемму 1 пункта 6.3.1 параграфа 6), получим, что(1‘)T0l (t ) =Перейдём ко второму слагаемому. Воспользовавшись числовым неравенством(x ′(t ))2 + ( y ′(t ))2 dt .Замечание 2. Если теперь сделать в последнем интеграле замену переменнойΔT < δ 3 .2− 2π ∫ y (t ) ( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt < ε , еслиΔ T достаточно мал.
Это означает, согласно определению,что площадь поверхности вращения кривой AB вокруг оси Ox вычисляетсяменте T0 , T . Так как данная функция непрерывна на этом сегменте, то онаинтегрируема на нем; следовательно, существует число]диаметр разбиенияПервое слагаемое в правой части последнего равенства представляет со-[[T0ξ k ,η k ∈ (t k −1 , t k ) .24Мы доказали, что S n , Xk =12k =1T(∗)+ π ∑ ( y (t k −1 ) + y (t k ) − 2 y (ξ k )) ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k ,бой интегральную сумму для функции 2π y (t ) ( x ′(t )) + ( y ′(t ))εв силу равномерной непрерывности функции y (t ) на сегментах t k −1 , t k .+ π ∑ ( y (t k −1 ) + y (t k )) ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(η k )) 2 − ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k +гдеn≤ πM ∑ y (t k −1 ) + y (t k ) − 2 y (ξ k ) Δt k <nk =1π ∑ ( y (t k −1 ) + y (t k ) − 2 y (ξ k )) ( x ′(ξ k )) 2 + ( y ′(ξ k )) 2 Δt k ≤k =1k =1n( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 .T0где dl =( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt – дифференциал дуги.§8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
