И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Верно ли, что если функцияа)3. Найдите среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна V0 .венстваэтих функций связаны между собой неравенством аналогичного знака:∫a10. Верно ли, что если для некоторых функций[a, b] тогда и только тогда, когда существует такое число λ > 0 , что длявсякого сегмента [c, d ] , a ≤ c < d ≤ b , выполняется неравенствоa∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx , то отсюда следует, что f (x ) ≥ g (x )b∫ f (x )dx > 0 .a12. Докажите, что если функция[ ](f ( x ) непрерывна на сегменте [a, b] иdЗадачи на свойства интегралов, связанные с неравенствами)7.
Докажите, что если функция f x интегрируема на a, b a < b ипринимает на этом сегменте неотрицательные значения, то справедливо неравенствоaaf ( x ) и g ( x ) выполняет-f ( x ) непрерывна и неотрицательна на сегменте[a, b] , и существует точка x0 ∈ [a, b] такая, что f (x0 ) > 0 .
Докажите, что1f ( x )dx ≥ λ .d − c ∫c∫ f (x )dx ≥ 0 .bдаче)?11. Пусть функцияdbb∀x ∈ [a, b] (утверждение, обратное сформулированному в предыдущей за-[a, b] .6. Докажите, что непрерывная функция f положительна на сегменте( )bb⎛b⎞f ( x )dx ≥ ∫ g (x )dx ⎜⎜ ∫ f ( x )dx > ∫ g ( x )dx ⎟⎟ .aa⎝a⎠bся неравенствонаf ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] (утверждение,( ) g (x ) интегрируемы на сегменте∀x ∈ [a, b] f ( x ) ≥ g ( x ) ( f ( x ) > g ( x )) , то интегралы от[a, b] , причёмxd[c, d ] , a ≤ c < d ≤ b , то f (x ) ≡ λследует, чтообратное к сформулированному в задаче 7)?9.
Докажите, что если функции f x иf ( x ) = arctgx .5. Докажите, что если функция f непрерывна на сегменте [a, b] идля всякого сегмента∫ f (x )dx ≥ 0aРассмотрите пример1f ( x )dx = λd − c ∫cf ( x ) интегрируема на [a, b] , то из нера-b1f ( x )dx .x → +∞ x ∫0x → +∞и строго∫ f (x )dx > 0 ?a1. Найдите среднее значение функции на заданном сегменте:f ( x ) ∈ C [0,+∞ ) и lim f ( x ) = A .
Найдите lim[a, b]bЗадачи на среднее значение интегрируемой функции4. ПустьСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл74∫ f (x )dx = 0 для всякого сегмента [c, d ] ⊆ [a, b] , то f (x ) ≡ 0 на [a, b] .cf ( x ) непрерывна на сегменте [a, b] идля всякого сегмента [c, d ] такого, что a ≤ c < d ≤ b , выполняется13. Докажите, что если функцияd∫ f (x )dx ≥ 0 , то при x ∈ [a, b] функция f (x ) ≥ 0 .cОценки определенных интегралов: теоремы о среднем75Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл7614. Докажите, что если функция f ( x ) непрерывна на [ a , b] , f ( x ) ≥ 021. Используя результат предыдущей задачи, докажите неравенство Кошиbдля любой точки x ∈ [ a, b] и∫f ( x)dx = 0 , то f ( x ) ≡ 0 на [a, b] .a15. Докажите, что если функциято справедливо неравенствоnf ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] ,bbaaгде∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx .16.
Докажите, что для интегрируемых на⎛ n⎞f k ( x )⎟dx =∫a ⎜⎝ ∑k =1⎠Задачи на оценки значений и сравнение определённых интегралов[a, b]функцийf k (x ) ,22. Положительны или отрицательны следующие определённые интегралы:1n⎛b⎞⎜⎟≤()fxdx∑⎜∫ k⎟ ∑k =1k =1 ⎝ a⎠nbnа)b∫ f (x )dx ≤ ∑ ∫ f (x )dx =kk =1 aa2∫ x ln xdx ; б)kf ( x ) интегрируема на [a, b] и∫xbчём∫∫f ( x )dx = 0 . Дока-[a, b] и интегрируемаbна нём. Докажите, что для выполнения условия∫ f (x )dx > 0 (a < b) необaходимо и достаточно, чтобы множество нулей функции f не было всюду[ ]плотным на a, b (множество назовём всюду плотным, если в любой скольугодно малой окрестности каждого его элемента содержится по крайней мереещё один элемент этого множества).b20. Докажите, что−x0cos xdx ?0b−adx b − a<∫<, где 0 < a < b .bxaak +1∫kdx 1< , где k ∈ N ;x kdx1 1111, где k ∈ N ;+ + ...
+ < ∫<1 + + ... +2 3n 1 x2n −1б)πв)f ( x )dx > 0 , то существует сегмент [c, d ] ⊆ [a, b] , на котором f ( x ) > 0 .19. Пусть функция f неотрицательна на сегменте∫e∫ x sin xdx ;nf ( x ) интегрируема на сегменте [a, b] , при-a2 dx ; д)1<k +1а)∫ f (x )dx = 0 для любого сегмента [c, d ] ⊆ [a, b] .18. Докажите, что если функцияx2π23.
Не используя теорем о среднем, докажите неравенства:bac−π3−2dжите, чтоsin x∫0 x dx ; в)2г)⎛ n⎞= ∫ ⎜ ∑ f k ( x ) ⎟dx .⎠a ⎝ k =12π12b17. Пусть функцияa1 + a 2 + ... + a n,na k (k = 1,2,..., n ) – положительные числа.k = 1,2,..., n , верно неравенствоba1 a 2 ⋅ ... ⋅ a n ≤π2128< ∫ sin 10 xdx <ππ42; г) 2 <∫2x2dx <16 ;14eд)3e −1dxe −111dx; е) − < ∫<∫<<− ;23ln x + 225 2 1 + x − 2x141ж)e−1e1≤ ∫ x x dx ≤ 1 , полагая, что x x при x = 0 равно 1;012dxdxππ<<∫<; и).з) < ∫2235 0 25 − x + x6 0 4− x − x3 114 21x224. Докажите неравенство: 1 − cos x ≤≤ ln, x ∈ [0, π 2) .2cos x11Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем7725. Докажите неравенства:11а) sin 1 ≤cos x∫−11 + x 2 dx ≤ 2 sin 1 ; б)π 3∫ cosdx20x 3 + sin x≥xndx = 0 .31. Используя теоремы о среднем, докажите равенство lim ∫n → +∞ 1 + x03.2а)∫e−x0πв)∫e1sin xdx или ∫ e120−x20∫eπ−xcos x2; е)д) ∫ 2dx или3−1 x + 23∫ arctgxdx или−2π2cos 2 xdx ;г)∫1sin x5x2 + 2dx илиπ52а)∫0dx4− x − x2333.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оцените интеграл;n+ pxe dxe −1∫0 (x + 1)(2 − x ) или 2 ;limn → +∞35. Пустьnf ( x ) непрерывна на сегменте [a, b] , и существуютпостоянные M , δ > 0 такие, что для любого сегмента [α , β ](a ≤ α < β ≤ b ) имеет место неравенство36. Пусть функция1;б)∫x e2 − x2dx или01;3βln(1 + x )cos xπdx или ln 2 ; г) ∫dx или 1?в) ∫22340 1+ x0 1+ x + x1∫ f (x )dx ≤ M β − αα428. Докажите, что если функция f непрерывна на сегменте∫f ( x )dx = a и 0 ≤ f (x ) ≤ a023[0,1] , причём231(a > 0) , то ∫f ( x )dx ≥ a .a∫e100 x30.
Пользуясь первой теоремой о среднем, оцените интеграл:2πа)I=1.f ( x ) ≡ 0 на сегменте [a, b] .37. Пусть функции f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на сегменте [a, b ] . До-кажите справедливость неравенства Коши–Буняковского:2b⎞⎛b⎜ ∫ f ( x )g ( x )dx ⎟ ≤ ∫ f⎟⎜a⎠⎝adx > 0,04 относительно a (a > 0) .−a1+δДокажите, что029. Решите неравенствоnsin xdx = 0 ( p > 0) .x∫ f (t )dt = xf (ϑx ) .
Найдите ϑ , если f (t ) = t (n > −1) .π1∫0−36( )x∫ arctgxdx .πb34. Пользуясь второй теоремой о среднем, докажите равенство:2илиe −αx2∫a x sin xdx (α ≥ 0;0 < a < b) ; б) ∫a sin x dx (0 < a < b) .bа)27. Какое из чисел больше:1dxdx; б) lim ∫ f ( x ), где a > 0, b > 0 и3ε →0 1 + εxε → +0x0aεlim ∫0 < ξ < 1.2001ж)202πcos 2 xdx или132. Найдите: а)sin xdx ; б) ∫ x sin xdx или ∫ x sin xdx ;− x2bε1Можно ли в этих неравенствах знаки нестрогих неравенств заменить знаками строгих?26.
Какое из чисел больше:1Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл78b2(x )dx ⋅ ∫ g 2 (x )dx .a38. Используя интегральное неравенство Коши–Буняковского, докажите,что1∫9xdx∫0 1 + 0,5 cos x ; б) I = ∫0 1 + x dx .xe x dx < e − 1 .0139. Покажите, что0.78 < ∫0dx1+ x4< 0.93 .§ 3.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл80определённого интеграла вначале методами, приемлемыми для неопределённых интегралов, находят для f (x ) одну какую-либо первообразную (непрерывную между соседними точками разрыва f (x ) ); затем вычисляют обоб-щённую первообразную (непрерывную на всём [ a , b] функцию F ( x ) такую,[ ]Поскольку формула Ньютона–Лейбница позволяет свести вычислениеопределённого интеграла к вычислению любой его первообразной с последующей двойной подстановкой нижнего и верхнего пределов, то определённые интегралы вычисляются на практике теми же методами, что и неопределённые.Перечислим три основных подхода к интегрированию1:– использование алгебраических, тригонометрических и прочих преобразований подынтегральной функции, а также свойств интегралов;– замена переменной интегрирования;– интегрирование по частям.В результате применения этих методов интеграл последовательно упрощается и в итоге сводится к вычислению одного или нескольких табличныхинтегралов (или уже известных интегралов).Несколько слов об интегрировании разрывных функций.
Выше, в параграфе 1, было доказано, что если функция f (x ) определена и ограничена насегменте [ a , b] , причём имеет на нём конечное число точек разрыва, тофункция f (x ) интегрируема по Риману на указанном сегменте. Рассмотримдва основных подхода к вычислению на практике интегралов от таких функций.Если по разные стороны от точек своего разрыва подынтегральная функция имеет различные аналитические представления, то, пользуясь свойствомаддитивности определённого интеграла, разбивают его на сумму интегралов(точки разбиения промежутка интегрирования совпадают с точками разрываподынтегральной функции), а затем каждый из полученных интегралов, доопределив подынтегральную функцию до непрерывной и вычислив первообразную, вычисляют при помощи стандартной формулы Ньютона–Лейбница.Если же на всём промежутке интегрирования (исключая точки разрыва)функция задаётся одной и той же формулой, то первообразная также будетиметь один вид (с точностью до константы), и в этом случае для вычисления1Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы было рассмотрено в §1.что F ′( x ) = f ( x ) всюду на a, b , за исключением, возможно, точек разрыва) и после этого применяют формулу Ньютона–Лейбница.Отметим, что в последнем случае возможным является вычисление определённого интеграла без нахождения обобщённой первообразной.
Приведём всвязи с этим следующую теорему, имеющую важное теоретическое значениедля понимания процедуры вычисления широкого класса определённых интегралов от разрывных функций.Теорема (формула Ньютона–Лейбница для ограниченных функций,имеющих на сегменте интегрирования конечное число точек разрыва). Пустьфункция f ( x ) собственно интегрируема на сегменте a, b и F ( x ) – такая[ ][ ]функция, что F ′( x ) = f ( x ) всюду на a, b , за исключением, быть может,конечного числа внутренних точек ci(i = 1,2,..., p ) и концов сегмента aиb , где функция F ( x ) терпит разрывы первого рода 2. Тогда справедливаформулаb∫pf (x )dx = F (b − 0 ) − F (a + 0 ) − ∑ (F (ci + 0 ) − F (ci − 0 )) .i =1aДоказательство.
Рассмотрим непрерывную на каждом из сегментов[ci , ci +1 ] функциюx ∈ (ci , ci +1 );⎧ F ( x ),⎪F 1 ( x ) = ⎨ F (ci + 0 ),x =c i ; (i = 1,2,..., p ) ; c 0 = a,c p +1 = b .⎪ F (c − 0 ),x =c i +1i +1⎩Возьмём теперь произвольное разбиение T : a = x 0 < x1 < ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
