И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если множество нулей функцииf x не плотно на сегменте a, b , то существует такой сегмент c, d ,( )b∫ f ( x) g ( x)dx = μ ∫ g ( x)dx .bма на нём. Тогда для выполнения условияbОценки определенных интегралов: теоремы о среднемbm≤∫ f ( x) g ( x)dxab59b≤ M . Обозначим μ =b1f ( x)dx называется средним значением (интегЧисло M [ f ] =b − a ∫aрируемой) функции f (x ) на промежутке [ a , b] .∫ f ( x) g ( x)dxab∫ g ( x)dx.∫ g ( x)dxaРассмотрим некоторые свойства среднего значения функции.1. Если функция f x непрерывна на a, b , то найдётся такая точкаaРавенство (1) (в случае неотрицательной функции g (x ) ) доказано.Если g ( x ) ≤ 0 на [ a , b] , то положимg1 ( x) = − g ( x) ∀x ∈ [a, b] .
То-g1 ( x) ≥ 0 на [a, b] и, по уже доказанному, существует числоμ ∈ [ m, M ] такое, чтогдаbb1aНоbbaf (x ) интегрируема на отрезке [a, b] ,M = sup f ( x) , m = inf f ( x) . Тогда существует число μ ∈ [ m, M ] таСледствие. Пусть функцияA > 0 . Покажем, что1f (x )dx и он равен A .x ∫0∫ f (t )dt → +∞приx → +∞ . Вx → +∞∀ε > 0 ∃δ (ε ) > 0 : ∀x > δ выполняется неравенствоf (x ) − A < ε , т.е.
A − ε < f ( x ) < A + ε . Тогда при достаточно большихx имеем:это означает, чтоx∫кое, что0b(1’)aЕсли, кроме того, функция f (x ) непрерывна на [ a , b] , то существует точкаξ из отрезка [a, b] такая, что∫пределсамом деле, поскольку lim f ( x ) = A , то по определению предела функцииa ≤ x ≤bf ( x)dx = f (ξ )(b − a) .конечныйx0Соотношение (2) сразу следует из (1) и из теоремы о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Теорема полностьюдоказана.bсуществуетx → +∞дем считать, чтоa∫ f ( x)dx = μ (b − a) .иxзначит, формула (1) справедлива и в этом случае.a ≤ x ≤b)x → +∞1af ( x ) ∈ C [0,+∞ )Пусть(a < x<bb∫ g ( x)dx = ∫ (− g ( x))dx = − ∫ g ( x)dx ,aM = sup f ( x ) .[ ]Доказательство. 1) Пусть lim f ( x ) = A ≠ 0 . Для определённости бу-ab)x → +∞1bгде m = inf f ( x ) ,(lim f ( x ) = A . Тогда существует предел limb∫ f ( x) g ( x)dx = ∫ f ( x)(− g ( x))dx = −∫ f ( x) g ( x)dx ,a2. Среднее значение функции удовлетворяет условиюm b−a ≤ M f ≤ M b−a ,3.a[ ]( )ξ ∈ (a, b ) , что M [ f ] = f (ξ ) .a < x <b∫ f ( x) g ( x)dx = μ ∫ g ( x)dx .1Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл60δx0δf ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .Первый из интегралов есть некоторое число, а для второго имеем оценку:x∫δf ( x )dx >x∫δ ( A − ε )dx = ( A − ε )x δx→ +∞ при x → +∞ .x(2’)aДоказательство. Достаточно положить в формулах (1) и (2) g ( x ) ≡ 1 .Таким образом,∫ f (x )dx– бесконечно большая функция приx → +∞ .0Тогда имеем неопределённость видаемся правилом Лопиталя:∞, для раскрытия которой воспользу∞Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем61′⎛x⎞⎜ ∫ f (t )dt ⎟⎜⎟∫0 f (t )dt0⎝⎠ = lim f (x ) = A .lim= limx → +∞x → +∞x → +∞xx′1x12) Пусть теперь lim f ( x ) = 0 . Покажем, что lim ∫ f (t )dt = 0 .
Расx →+∞ xx → +∞0Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл62d∫ f (x )dx ≥ m(d − c ) .xсмотрим функциюcОстаётся положить λ = m .2) Достаточность (от противного). Пусть существуетдля всякого сегментаd∫ f (x )dx ≥ λ (d − c ) .x → +∞lim g ( x ) = 1 . Значит, по доказанному имеем: limx → +∞x → +∞xx1g (t )dt = 1 . Но тогдаx ∫0xx1111f (t )dt = lim ∫ ( g (t ) − 1)dt = lim ∫ g (t )dt − lim ∫ dt =∫x → +∞ xx → +∞ xx → +∞ xx → +∞ x0000= 1 − 1 = 0 , что и требовалось доказать.d1f ( x )dx = λ для4.
Если функция f ( x ) непрерывна на [a, b] иd − c ∫clim[ ]cПредположим, что в некоторой точкеf ( x ) , найдётся сегмент [c, d ] , a ≤ c < d ≤ b , на которомf ( x ) < 0 и, следовательно, M = sup f ( x ) < 0 . Тогдаc≤ x≤dd∫ f (x )dx ≤ M (d − c ) < 0 ,cчто противоречит условиюd∫ f (x )dx ≥ λ (d − c ) > 0 .всякого сегмента c, d , a ≤ c < d ≤ b , то f x ≡ λ на a, b .Доказательство (от противного). Предположим, что существует точкаx0 ∈ a, b такая, что f ( x0 ) ≠ λ . Пусть, для определённости, f ( x0 ) > λ .[ ]Тогда,( x0всилунепрерывности∈ [c, d ] ⊆ [a, b] ),наf,найдётсякоторомсегментf (x ) > λ .[c, d ]Отсюдаd1⋅ f ( x )dx > λ , что противоречит условию. Следовательно, предпоd − c ∫cложение неверно и утверждение доказано.5.
Непрерывная функция f x положительна на сегменте( )только тогда, когда существует такое число[a, b] тогда иλ > 0 , что для всякого сегментаc2.2.2. Вторая теорема о среднемТеорема 2 (вторая теорема о среднем значении). Пусть функции f (x ) иg (x ) интегрируемы на сегменте [a, b] .1) Если g ( x ) ≥ 0 и не возрастает на [ a , b] , то найдётся такаяточка2)[c, d ] , a ≤ c < d ≤ b , выполняется неравенствоξ ∈ [ a, b] , чтоdb∫a3)f ( x ) > 0 , x ∈ [a, b] . Тогда,в силу непрерывности f на любом сегменте [c, d ] , m = inf f ( x ) > 0 иДоказательство. 1) Необходимость.
Пустьc≤ x≤dbξaa∫ f ( x) g ( x)dx = g (a)∫ f ( x)dx .Если g ( x ) ≥ 0 и не убывает на [ a , b] , то найдётся такая точкаξ ′ ∈ [a, b] , что1f ( x )dx ≥ λ .d − c ∫cx0 ∈ [a, b] f ( x0 ) < 0 . Тогда, в силунепрерывности[ ]()такое, что[c, d ] , a ≤ c < d ≤ b , выполняется неравенствоg ( x ) ≡ f ( x ) + 1 .
Так как, по условию, lim f ( x ) = 0 , тоxλ >0bf ( x) g ( x)dx = g (b) ∫ f ( x)dx .ξ′Если g (x ) монотонна на [ a , b] , то найдётся такая точкаξ ′′ ∈ [ a, b] , чтоbξ ′′baa′′∫ f ( x) g ( x)dx = g (a) ∫ f ( x)dx + g (b)ξ∫ f ( x)dx .Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем(63)Первые две формулы обычно называют формулами Бонне O.Bonnet .Доказательство. Докажем сначала первое утверждение теоремы. Заметим, что если g ( a ) = 0 , то g ( x ) ≡ 0 на [ a , b] и данное утверждение оче-Tn = {x0 ; x1 ;K; x n } сег-видно.
Пусть g ( a ) > 0 . Рассмотрим разбиениемента [ a , b] наn равных частей.Пусть M = sup f ( x ) ,a ≤ x ≤bb=∑ ∫ (g(xk =1 xk −1k −1k =1xk −1k −1)nx k −1 ≤ x ≤ xk=xkk =1 xk −1xk −1nxk∑ ∫ g(xxknxk −1k =1k −1) − g ( x) ⋅ f ( x) dx ≤∫ dx = M ∑ ( g ( xk −1 ) − g ( xk ))M (b − a )( g (a ) − g (b)) .nПоскольку последнее выражение стремится к нулю приb−a=nn → ∞ , тоσ n ⎯n⎯⎯→ ∫ f ( x) g ( x)dx .→∞xF ( x) = ∫ f (t )dt – интеграл с переменным верхним предеaлом.
Так как функция F (x ) непрерывна на [ a , b] (см. теорему 1 п. 1.5), тоона ограничена на этом сегменте и достигает на нём своих точной верхней инижней граней. Пусть точная нижняя грань достигается в точке α , верхняя –в точке β . Преобразуем выражение для σ n , используя функцию F (x ) :xk −1⎞⎛ xk⎜σ n = ∑ g ( x k −1 )⎜ ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ⎟⎟ =k =1a⎠⎝an∑ g(xk =1k −1g ( x k −1 ) − g ( x k ) ≥ 0 , т.к.функция g (x ) является невозрастающей, а также то, что F ( x ) ≤ F ( β ) длялюбого x ∈ [ a, b] ).Аналогично доказывается, что σ n ≥ g ( a ) F (α ) . Поскольку g ( a ) > 0 ,F (α ) ≤σn≤ F (β ) .g (a)Перейдём к пределу при n → ∞ в полученном двойном неравенстве:b1F (α ) ≤f ( x) g ( x)dx ≤ F ( β ) .(4)g (a ) ∫aПоскольку функция F (x ) непрерывна, то она принимает все промежуточные значения между F (α ) и F ( β ) , т.е. существует точка ξ ∈ [ a, b]такая, что1F (ξ ) =f ( x) g ( x)dx .g (a ) ∫aОтсюда следует, чтоbξaa∫ f ( x) g ( x)dx = g (a)∫ f ( x)dx .ank =1(при выводе последнего неравенства мы учли, чтоbbПусть теперьn −1≤ ∑ ( g ( x k −1 ) − g ( x k )) F ( β ) +g ( x n −1 ) F ( β ) = g (a ) F ( β )то мы можем разделить на это число все части неравенства и получить, что∫ f ( x)dx − ∑ ∫ f ( x) g ( x)dx =k =1 xk −1≤ ∑ M sup g ( x k −1 ) − g ( x)∫ f ( x)dx .
Тогдаxk) − g ( x)) f ( x)dx ≤nk =1k =1σ n = ∑ g ( x k −1 )∑ g(xaxkxknσ n − ∫ f ( x) g ( x )dx =nnСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл64)( F ( xk ) − F ( xk −1 )) =(5)Утверждение пункта 1 полностью доказано.Для доказательства второго утверждения теоремы достаточно в (5) сделать замену f1 ( x) = f (− x) , g1 ( x) = g (− x) .Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, положим в соотношении (5)g1 ( x) = g ( x) − g (b)в случае, когда g (x ) не возрастает, и g1 ( x) = g ( x) − g (a ) ,если g (x ) не убывает. Теорема полностью доказана.n −1Замечание.
Из доказательства теоремы 2 видно, что в каждой из формулможно взять вместо значений функции g (x ) на концах сегмента (если ониk =1не определены) соответствующие пределы g ( a + 0) и g (b − 0) := ∑ ( g ( x k −1 ) − g ( x k )) F ( x k ) + g ( x n −1 ) F (b) ≤Оценки определенных интегралов: теоремы о среднемb1)∫aξf ( x) g ( x)dx = g (a + 0) ∫ f ( x)dx , если g ( x ) ≥ 0 и не возрастает на [a, b] ;ab2)b∫ f ( x) g ( x)dx = g (b − 0)ξ∫ f ( x)dx , если g ( x) ≥ 0 и не убывает на [a, b] ;′ab3)65∫aξ ′′baξ ′′f ( x) g ( x)dx = g (a + 0) ∫ f ( x)dx + g (b − 0) ∫ f ( x)dx , если g (x )монотонна на [ a , b] .2.3. Некоторые известные интегральные неравенства2.3.1.
Неравенство Коши–БуняковскогоРассмотрим неравенство Коши–Буняковского10 в интегральной форме(1859), являющееся аналогом известного числового неравенства Коши–Буняковского.Теорема 1 (неравенство Коши–Буняковского в интегральной форме).Пусть функции f x и g x интегрируемы по Риману на сегменте a, b .Тогда справедливо неравенство( )66Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралЗамечание. Интегральное неравенство Коши–Буняковского можно былодоказать иначе, а именно, как следствие соответствующего числового аналога. Рассмотрим и это доказательство.Лемма 1 (неравенство Коши–Буняковского в числовой форме). Пустьa1 , a 2 ,K , a n и b1 , b2 , K , bn – произвольные неотрицательные числа. Тогдасправедливо неравенство⎛ n 2⎞≤ab⎜ ∑ ai ⎟∑i ii =1⎝ i =1 ⎠(1)b(x ∈ [a, b], t ∈ R ) следует, что ∫ ( f (x ) − t ⋅ g (x ))2 dx ≥ 0 , илиabt2bn∑a b∫ g (x )dx − 2t ∫ f (x )g (x )dx + ∫ f (x )dx ≥ 0 .2aaaЛевая часть последнего неравенства – квадратный трёхчлен относительно t .Данное неравенство выполняется при всех t тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного трёхчлена неположителен, т.е.2⎛b⎞⎛ b⎜ 2∫ f ( x )g (x )dx ⎟ − 4⎜ ∫ f⎜⎟⎜⎝a⎠⎝ a⎞⎞⎛ b2(x )dx ⎟⎟⎜⎜ ∫ g 2 (x )dx ⎟⎟ ≤ 0 ,⎠⎠⎝ aоткуда вытекает требуемое неравенство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
