И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Теорема доказана.10Буняковский Виктор Яковлевич – русский математик (1804–1889).i =11/ 2⎛⎞⎜ ∑ ai2 ⎟⎝ i =1 ⎠ni i⎛⎞⎜ ∑ bi2 ⎟⎝ i =1 ⎠n1/ 2≤ 1,откуда немедленно следует неравенство (2). Лемма 1 доказана.Отметим, что в силу очевидного неравенстваnni =1i =1∑ ai bi ≤ ∑ ai bi , утвер-ждение леммы справедливо для произвольных (не обязательно неотрицательных) чисел a i , bi , i = 1,2,..., n .Рассмотрим разбиениеb2i =1i =12bb⎛b⎞⎜ ∫ f ( x )g ( x )dx ⎟ ≤ ∫ f 2 ( x )dx ⋅ ∫ g 2 ( x )dx .⎜⎟aa⎝a⎠2Доказательство. Из неравенства ( f ( x ) − t ⋅ g ( x )) ≥ 01/ 2и просуммируем по i от 1 до n.
Получим[ ]()1/ 2⎛ n 2⎞(2)⎜ ∑ bi ⎟ .⎝ i =1 ⎠a+bдля любых неотрицаДоказательство. Очевидно, чтоab ≤2bi2ai2, b= nтельных чисел a и b . Положим в этом неравенстве a = n2∑ bi2∑ ainT = {x0 ; x1 ;K; x n } сегмента [a, b] на n равныхчастей. Тогда неравенство (1) получается предельным переходом в неравенстве2b−a⎞b−a⎞ ⎛ n 2b−a⎞⎛ n⎛ n⎜ ∑ f ( xi ) g ( xi )⎟ ≤ ⎜ ∑ f 2 ( xi )⎟ ⋅ ⎜ ∑ g ( xi )⎟n ⎠n ⎠ ⎝ i =1n ⎠⎝ i =1⎝ i =1или эквивалентном неравенстве2⎛ n⎞⎛ n⎞ ⎛ n⎞⎜ ∑ f ( xi ) g ( x i ) ⎟ ≤ ⎜ ∑ f 2 ( x i ) ⎟ ⋅ ⎜ ∑ g 2 ( xi ) ⎟ ,⎝ i =1⎠⎝ i =1⎠ ⎝ i =1⎠которое представляет собой неравенство Коши–Буняковского в числовойформе.Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем6768112.3.2.
Неравенство Коши⎛ n⎞⎜ ∑ ( f ( xi ) + g ( xi )) 2 ⎟⎝ i =1⎠Лемма 2 (неравенство Коши в числовой форме). Пусть a1 , a 2 , K , a n иb1 , b2 , K , bn – произвольные неотрицательные числа. Тогда⎛ n⎞⎜ ∑ (ai + bi ) 2 ⎟⎝ i =1⎠1/ 2⎛ n⎞≤ ⎜ ∑ ai2 ⎟⎝ i =1 ⎠1/ 2⎛ n⎞+ ⎜ ∑ bi2 ⎟⎝ i =1 ⎠(3)Доказательство.
Воспользовавшись неравенством Коши–Буняковскогодля чисел, получаем следующую цепочку неравенств:nni =11/ 2⎛⎞≤ ⎜ ∑ ai2 ⎟⎝ i =1 ⎠i =11/ 2i =11/ 2⎛⎞ ⎛ n⎞+ ⎜ ∑ bi2 ⎟ ⎜ ∑ (ai + bi ) 2 ⎟⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1⎠1/21/21/2⎛⎛ n⎞⎛ n⎞ ⎞⎛ n⎞≤ ⎜ ⎜ ∑ ai2 ⎟ + ⎜ ∑ bi2 ⎟ ⎟⎜ ∑ (ai + bi ) 2 ⎟ .⎜ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎟⎠⎝ i =1⎠⎝Отсюда сразу следует неравенство (3) . Лемма 2 доказана.⎛⎞⎜ ∑ (ai + bi ) 2 ⎟⎝ i =1⎠nn1/ 2≤⎛b 2⎞≤ ⎜⎜ ∫ f ( x)dx ⎟⎟⎝a⎠1/ 2⎛b 2⎞+ ⎜⎜ ∫ g ( x)dx ⎟⎟⎝a⎠(1/ 2b−a⎞⎛ n≤ ⎜ ∑ f 2 ( xi )⎟n ⎠⎝ i =1b−a⎞⎛ n+ ⎜ ∑ g 2 ( xi )⎟n ⎠⎝ i =11/ 2+2⎞⎛ n≤ ⎜ ∑ f ( xi ) + g ( xi ) ⎟⎝ i =1⎠или эквивалентное неравенство1/ 2, то( )1⎞22(x )dx ⎟⎟ , то интегральное нера⎠f (x ) иg ( x ) – две произвольные интегрируемые по Риману на сегменте [a, b]функции, p и q – два действительных числа, больших 1, таких, что1 1+ = 1 . Тогда справедливо неравенствоp qТеорема 3 (неравенство Гёльдера в интегральной форме).
Пусть1/ 2.1b∫a⎛b⎞ppf ( x )g ( x )dx ≤ ⎜⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟⎟⎝a⎠1⎛b⎞qq⋅ ⎜⎜ ∫ g (x ) dx ⎟⎟ .⎝a⎠Доказательство теоремы можно найти, например, в [1] (стр. 239) или [9](стр. 367).Замечание. В случае p = q = 2 из неравенства Гёльдера получаем неравенство Коши–Буняковского.2.3.4. Неравенство Минковского13Неравенство Минковского было установлено Г.
Минковским (1896) и является обобщением неравенства треугольника для нормированных векторныхпространств.12Огюстен Луи Коши – французский математик (1789–1857)..требуемое утверждение немедленно вытекает из результатов леммы 2.Теорема 2 доказана.Замечание. Если определить для функции f x , интегрируемой на сег-1/ 2,)1/ 22.3.3. Неравенство Гёльдера12(4)Доказательство. Так же, как в теореме 1 данного пункта, разобьём отрезок [ a , b] на n равных частей. Тогда достаточно доказать неравенство длясоответствующих интегральных сумм:b−a⎞⎛ n⎜ ∑ ( f ( xi ) + g ( xi )) 2⎟n ⎠⎝ i =1⎛ n⎞+ ⎜ ∑ g 2 ( xi ) ⎟⎝ i =1⎠f +g ≤ f + g .ливо неравенство1/ 21/ 2венство Коши есть аналог известного в алгебре неравенства для модулей:Теорема 2 (неравенство Коши в интегральной форме).
Пусть функции111/ 2⎛bменте [a, b ] , понятие нормы: f = ⎜ ∫ f⎜⎝af ( x ) и g ( x ) интегрируемы по Риману на сегменте [a , b] . Тогда справед-⎛b⎞⎜ ∫ ( f ( x) + g ( x)) 2 dx ⎟⎜⎟⎝a⎠⎛ n⎞≤ ⎜ ∑ f 2 ( xi ) ⎟⎝ i =1⎠n∑ (ai + bi ) 2 = ∑ ai (ai + bi ) + ∑ bi (ai + bi ) ≤n1/ 2⎛ n2⎞Так как ⎜ ∑ ( f ( xi ) + g ( xi )) ⎟⎝ i =1⎠1/ 2.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл13Людвиг Отто Гёльдер – немецкий математик (1859–1937).Герман Минковский – немецкий математик и физик (1864–1909).Оценки определенных интегралов: теоремы о среднемf(69Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл70Теорема 4 (неравенство Минковского в интегральной форме). Пустьx и g x – две неотрицательные и интегрируемые на сегменте a, b)[ ]()функции, p ≥ 1 – любое действительное число.
Тогда справедливо неравенство1⎛b⎞p ⎛b⎜ ∫ ( f ( x ) + g ( x )) p dx ⎟ ≤ ⎜ ∫ f⎜⎟⎜⎝a⎠⎝a1Замечание 1. Для произвольных (не обязательно неотрицательных) интегрируемых на a, b функций неравенство Минковского имеет вид[ ]1p⎛b⎞⎛b⎞⎛b⎞⎜ ∫ f ( x ) + g ( x ) p dx ⎟ ≤ ⎜ ∫ f ( x ) p dx ⎟ + ⎜ ∫ g ( x ) p dx ⎟ ( p ≥ 1) .⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠Замечание 2. В случае p = 2 из неравенства Минковского получаем неравенство Коши.Замечание 3. В случае p = n = 1 из неравенства Минковского (длясумм)⎛ np ⎞⎜ ∑ ai + bi ⎟⎝ i =1⎠1 p⎛ np ⎞≤ ⎜ ∑ ai ⎟⎝ i =1⎠1 p⎛ np ⎞+ ⎜ ∑ bi ⎟⎝ i =1⎠1 pЗамечание 4.
По индукции можно доказать и более общее неравенство дляфункций f k ( x ) , k = 1,2,..., n , неотрицательных и интегрируемых на сег-[a, b] :11⎞p⎛b p⎜ ∫ f k ( x )dx ⎟ .∑⎟⎜k =1 ⎝ a⎠n( )b∫ f ( x)dx ≤a⎛a+b⎞f⎜⎟(b − a ) .⎝ 2 ⎠Если же функция f x непрерывна и выпукла вниз на сегментесправедливо неравенство⎛ a+b⎞f⎜⎟(b − a ) ≤⎝ 2 ⎠b∫ f (x )dx ≤a(1)[a, b] , тоf (a ) + f (b )(b − a ) .2(2)Доказательство.
Докажем неравенство (2) (неравенство (1) доказываетсяаналогично).1) Вначале докажем правое неравенство. По условию, функция f x не-( )прерывна и выпукла вниз на[a, b] , откуда следует, что для произвольнойf (a )(b − x ) + f (b )( x − a ).b−aДействительно, это вытекает из справедливости неравенства Йенсена: длялюбых точек x1 , x 2 ∈ [ a , b] и любых неотрицательных чисел λ1 , λ 2 таких,чтоλ1 + λ 2 = 1 , выполняетсяλ1 f ( x1 ) + λ 2 f ( x 2 ) ≥ f (λ1 x1 + λ 2 x 2 ) .b−xx−a, x1 = a, x2 = b , получим неравенство (3).Положив λ1 =, λ2 =b−ab−aГеометрический смысл этого неравенства: ордината точки, лежащей награфике и имеющей абсциссу x , не больше ординаты точки с той же абсцис-В заключение рассмотрим ещё одно интегральное неравенство, доказательство которого можно найти в [1] (стр.
240).Пусть функции f k ( x ) , k = 1,2,..., n , интегрируемы на сегменте a, b .[ ]Тогда справедливо неравенствоf (a ) + f (b)(b − a ) ≤2f (x ) ≤a+b ≤ a + b .p⎛b⎛ n⎞p⎞⎜ ⎜f k ( x )⎟ dx ⎟ ≤⎜ ∫a ⎝ ∑⎟k =1⎠⎝⎠f ( x ) непрерывна и выпукла вверх (в нестрогомсмысле слова) на сегменте [a, b ] , то справедливо неравенствоточки x ∈ [ a, b]получаем известное неравенство для модулей (неравенство треугольника):ментеk =12kТеорема 5. Если функцияНеравенство Минковского является следствием неравенства Гёльдера, егодоказательство можно найти, например, в книгах [1;9].1pn∑ f (x )dx .2.3.5.
Неравенства для выпуклых функций1⎞p ⎛b p⎞pp(x )dx ⎟⎟ + ⎜⎜ ∫ g (x )dx ⎟⎟ .⎠ ⎝a⎠1p2b⎛b⎞⎜⎟∑⎜ ∫ f k ( x )dx ⎟ ≤ ∫k =1 ⎝ aa⎠nсой, но лежащей на хорде, стягивающей точки(a; f (a )) и (b; f (b )) ). Отсю-да, интегрируя по сегменту [ a , b] , получаем доказанным правое неравенствов (2):Оценки определенных интегралов: теоремы о среднемb∫a71f (a )(b − x )dx + f (b ) ∫ (x − a )dx =f ( x )dx ≤∫b−a ab−a abbbb⎞f (a ) ⎛x2 ⎞f (b ) ⎛ x 2f (a ) + f (b )⎜⎜ bx − ⎟⎟ +⎜⎜ − ax ⎟⎟ ==(b − a ) .b−a⎝2 ⎠a b−a⎝ 22⎠a2)Дляx = (a + b )доказательства2 + t . Тогдалевого(b − a ) 2b∫ f (x )dx = ( ∫ )− b−a 2aнеравенства(2)сделаем∫0(b − a ) 2=∫0∫0(b − a ) 2∫0b−a2⎛∫a−b ⎜⎜⎝⎛a+b ⎞f⎜+ t ⎟dt =⎝ 2⎠)В [17] (с.153) приводится интегральное неравенство Йенсена в общем виде.
Пусть функция q x задана на сегменте a, b и принимает значения изнекоторого промежутка X , на котором определена и выпукла вниз функцияf x . Пусть также на a, b задана положительная функция p x . Тогдасправедливо неравенство( )Aисследовать знак интеграла∫ g (t )dt , причём про функцию−Ag (t ) известно,что она выпукла вниз на сегменте [ − A, A] и, кроме того, g (0) = 0 . По оп-[ ]()⎛b⎞⎜ ∫ p( x )q ( x )dx ⎟⎜⎟f⎜a b⎟≤⎜⎟⎜ ∫ p( x )dx ⎟⎝ a⎠b∫ p(x ) f (q(x ))dxab∫ p(x )dx.aЭто неравенство является интегральным аналогом числового неравенстваЙенсена (в общем виде)⎛ n⎜ ∑ pi xif ⎜ i =1n⎜⎜ ∑ pi⎝ i =12a+b, то получим, что нам надо2[ ]()⎛ a + b ⎞⎞f⎜⎟ ⎟⎟dt ≥ 0 .⎝ 2 ⎠⎠Если перенести начало координат в точкуa+b⎞⎛ a + b ⎞⎞⎟− f⎜⎟ ⎟⎟dt ≥ 0 ,2 ⎠⎝ 2 ⎠⎠что равносильно левой части неравенства (2).⎛a+b⎞⎛a+b⎞2f⎜⎟dt = f ⎜⎟(b − a ) .⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎛ a+b⎞f ⎜t +⎟−2 ⎠⎝⎛ ⎛a −b2Неравенство доказано.Замечание.
Доказать левую часть неравенства (2) можно было иначе.Сделав замену x = a + b 2 + t , докажем неравенство(∫ g (t )dt ≥ 0 , т.е.−Ab−a2⎛ ⎛a+b ⎞⎛ a + b ⎞⎞⎜⎜ f ⎜−t⎟ + f ⎜+ t ⎟ ⎟⎟dt ≥⎠⎝ 2⎠⎠⎝ ⎝ 2(b − a ) 2≥вен нулю. Значит,∫ ⎜⎜⎝ f ⎜⎝ t +(b − a ) 2⎛a+b⎞f⎜− z ⎟dz +⎝ 2⎠Aзамену⎛a+b ⎞⎛a+b ⎞+ t ⎟dt.= ∫ f⎜+ t ⎟dt + ∫ f ⎜2⎠⎝ 2⎠− (b − a ) 2 ⎝0Положив в первом из интегралов z = −t и используя затем неравенство Йен(b − a ) 2ределению выпуклости, если некоторая функция выпукла вниз на сегменте,то её график на этом отрезке лежит не ниже касательной, проведённой к графику функции в любой точке сегмента.
Проведём касательную в точке с абсциссой t = 0 . Очевидно, что интеграл от неё по симметричному отрезку ра-⎛a+b ⎞f⎜+ t ⎟dt =⎝ 2⎠0сена, получим:Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл72⎞⎟⎟≤⎟⎟⎠n∑ p f (x )ii =1i,n∑pi =1if ( x ) предполагается выпуклой вниз на некотором промежутке[a, b] , которому принадлежат точки xi ; pi – положительные числа (весовыегде функциякоэффициенты).Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем73Контрольные заданияи задачи для самостоятельного решения к §2Верно ли, что если функция f интегрируема на сегментеположительна на нём, тоf ( x ) = cos x на [0, 32π ] ; б) f ( x ) = sgn x на [− 1,2] ; в) f (x ) = x 2 на [0,1] ;2на [0,2] .г) f ( x ) = sin x sin ( x + ϕ ) на [0,2π ] ; д) f ( x ) = xe +12. При каком a среднее значение функции f ( x ) = ln x на сегменте[1, a] равно средней скорости изменения функции на этом сегменте?8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
