Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что сумма моментов ИМ = (г, с(тй~ сил тяготения, действующих на малые элементы массой а1н тела, равна моменту суммарной силы тяжести Г = тй, приложенной к центру масс тела, т.е. ()(,ата~ -(г., та1, (19.18) Здесь т, - радиус-вектор центра масс тела, определяемый формулой (19.1б). Чтобы избежать громоздких выражений, докажем это утверждение для тела, состоящего из двух материальных точек массами т, и т„соединенных жестким невесомым стержнем (рнс.
58). В этом случае требуется показать, что т) (з„тзй~+(гз, тзд) = "' '"', (т, Ьв,)Я м, ( ! 9.19) О (т)+т,)й Рнс. 58 Преобразуем выражение, стоящее в правой части формулы, вынося скалярные множи- тели 1((т, +зи,) и т, +т, за знак векторного произведения (зта операция законна, так как не изменяет ни модуля, нн направления векторного произведения) и сокращая их, а также используя дистрибутивность векторного произведения (см. (М.28)): (вз+Ь)у~и[(тгз+тзгз), 83=(взгз,83+(тзгз,г]=(гз,вз83+(гз,всуну л~ ).в, что и требовалось доказать. Очевидно, что аналогичные выкладки можно провести для произвольной совокупности малых элементов любого твердого тела; при этом сумма в левой части равенства (! 9.19) перейдет в интеграл, стоящий в левой части равенства (19,18). Таким образом центр масс тела замечателен не только тем, что его движение подчиняется второму закону Ньютона, на и тем, что он является точкой приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на элементы тела.
Отсюда и второе названиеэтой точки - центр та жести. покажем нс няшсм приисрс, что рабата е( =(лхя, з)г) ч(вн, з(гз) сил тяжсстя Рз = т, 8 и Рз = т,д, дсйствуюшнх ня элементы толя, равна работе б( =(тл,з(б) их рявнодсйотзуюшсй )з = тнл, приложенной к центру тлжссти тслз (як з, Н з, В ° псрсмсшсния рзссиятривясиых злси сытое н центра тяжести). Дснстяитсльно, используя зойстз» скалярного произведения (сн. м.ээ), имсси: -((... )з.
( )))1-(" ., ))-н.-,,-, »- лхг +в,г, )1 ( тзз(гз + тзс(гз ) Л ~ нзз + вз (в,л,з(гз)+(тзй,вгз). Клк андотвие, потснпнальнал знсРтал тела опРсдсллстсл высотой цнпРа тяжссти толя Ь,: н„= тджх, . 72 Прецмхэш гироскопа. Гироскопом (от слов "0!го"- вращение, "э1сорео"- смотреть) называют симметричный волчок, облкпающий большим моментом инерции 2 относительно оси симметрии, которая, как отмечалось ранее, является одной из его главных осей инерции. Именно вращаясь относительно своей осн симметрии с большой угловой скоростью юр, т.е, обладая большим собственным моментом импульса 2э = )ю, относительно этой оси, гироскоп проявляет свои специфические свойства, об одном из котОрых пойдет речь.
— =[с.р] . ць ей (19.20) Следовательно, момент импульса гироскопа будет изменяться со временем, однако скорость дополнительного движения гироскопа обычно мала по сравнению с огромной скоростью собственного вращения. Поэтому в любой момент времени момент импульса Рассмотрим вращающийся вокруг оси симметрии гироскоп, укрепленный на кардановом подвесе.
Карданов поднес (рис. 59) устроен так, что допускает 3' любое вращение гироскопа Г вокруг одной неподвижной точки О - центра подвеса, относительно которой момент сил, действующих на гироскоп О со стороны подвеса, равен нулю. Он состоит из двух колец, которые могут свободно вра,д щаться относительно осей, со3д ответственно, 1Г и 22'. Сам гироскоп укреплен во внутреннем кольце н его собственное вращение происходит вокруг осн 33', Мы рассматриваем случай, когда центр тяжести гироскопа Рнс.
59 совпадает с центром подвеса, так что момент сил тяжести относительно точки О также равен нулю. При этих условиях покоящийся гироскоп находился бы в положении бюрюличного равновесна, а вращающийся стремится сохранить состояние собственного вращения. Выясним, как будет вести себя гироскоп, если к его оси иа расстоянии г ат точки О приложена постоянная сила Г (рис. 60 а).
Невращающийся гироскоп (мэ = О) под действием момента М = [г,р] этой силы вел бы себя по существу как физический маятник, однако вращающийся гироскоп реагирует совершенно иначе. Для решения зацачи используем закон изменения момента импульса (!4.9) относительно неподвижной точки гироскопа О. (Применять уравнение моментов (19.!О) для вращения относительно оси здесь нельзя, так как ось гироскопа, как мы увидим, не будет оставаться неподвижной). Моменты силы тяжести и сил, действующих на ось гироскопа со стороны подвсса, по условию задачи равны нулю, а силами трения пренебрегаем, поэтому суммарный момент сил, действующих на гироскоп, сводится к моменту Лг = [г.Г] силы Р в уравнение моментов имеет ввд: 13 б гироскопа практически равен собственному моменту импульса Е=(э=)я, и направлен по оси гироскопа (строгое обоснование дано мелким шрифтам на с.
63). Согласно (19.20) аТэ ='(г. Г1аэ. Разложим момент импульса у„на две составляющие: Ат, направленную вдоль силы Г, и Аю лежащую в плоскости, перпендикулярной силе Г: Уч = Гт + В (рис, 60 б). Составляющая Ь сохраняется (ят = сощ!), так как момент силы Г относительно параллельной ей оси равен нулю, поэтому Ыэ =а(бе+ й ) = И. , так что И, =[у. Г)Нг . (19. 21) Следовательно, малые приращения аь„всегда направлены по моменту силы М = (г,Г1, т.е., как легко убедиться, они перпендикулярны самому вектору Е и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору Г - это приводит к вращению вектора йз (см.
последний абзац на с. 13). Таким образом одна составляющая (2 а ) момента импульса )э остается постоянной, а другая ( Е ) вращается в перпендикулярной плоскости. В результате вектор яе = ) ю,, а вместе с ним и ось гироскопа, описывают конус вокруг направления силы Г, как показано окружностью со стрелкой на рис. 60 . Это дополнительное вращение оси гироскопа под действием постоянной силы называется п р е ц е с с и е й. 2,()ту!) ниарааненнс шым Г ь нрнлсгснн) Е (!) а г (гч.,уг) олзг х.а(!эту!) ~ Аая) а) Рис.
60 Рис. 6! Вычислим величину ьс угловой скорости прецессии. Малый угол с(я, на который поворачивается за время аэ! плоскость, проходящая через ось гироскопа и ось прецессии, находим из рис. 61: ля= Ж. )Ь,. В этой формуле согласно (1921) Ж„= гГзш а ай (угол а между векторами г и Г есть угол между осью гироскопа и осью прецессии, как гдяп наг граг видно из рис.
60 и рис. 6!), а Ь = аяша-.)яэяа а, так что ая=. =- н )ю,яп а )ю, после деления на аб находим угловую скорость прецессии: э(р гГ ()= — = — . с)! )яэ (!9.22) В лекииоииыэ деиоистрацияя прецессию гироскопа вызывают, попавшиеся к его оси грузы массон ш, тогда в формуле (!9.22! Г = шй Мена» массу грузов и из точку «одесса можно проиллюстрировать прямо пропорциомальиую зависимость угловой скорости прецосии от величины силы У и рас. сто»пня г от цемтра ар»шелия до точки приложения силы Со временем за счет сил зрения угловая скоРость ше собственного вРащсии» гиРоскопе Умекьшаетса и всоответствии с фоРмУлои (!э 22! иаблкэдасгся увели кмис угловаи скорости прщсссии - этот эф(мкт иабяюдается у юлы и зиеюм всем с детства.
Многие вращательные движения в природе сопровождаются более или менее ярко выраженной прецессией; прецессирует ось вращения Земли; прецессируют в магнитном эоле оси орбит атомных электронов, обуглавливая намагничивание вещества, й 20. Плоское движение Плоское движение, при котором точки тена, по определению, движутся в парал.
сольных плоскостях, можно представить как поступательное движение тела вместе с осью, перпендикулярной этим плоскостям, и вращение относительно этой оси. Как будет показано далее, целесообразно выбрать ось вращения проходящей через центр масс С. Для описания движения тела используем две системы отсчета: "неподвижную" ииерциальную СО К, в координатной плоскости х0у которой движется центр масс тела, и вторую, связанную с ~слом СО К', у которой начала координат совпадает с центром масс С тела, а координатные оси Гх'.
Су'. Сх' параллельны координатным осям бх, бу. 0» неподвнжйой СО (см.рис. 62, на котором оси 0» и Сх' направлены на читателя). Тогда положение тела в любой момент времени определяется заданием положения оси вращения С»', которое описывается двумя координатами центра масс х,(!) и у,(!), и углом р(!), характеризующим поворот тела относительно оси С»'. Следовательно, тело, которое может совершать плоское движение, обладает тремя степе. нами свободы.
Координаты центра масс тела х,(!) и у,(!) подчиняютсл уравнению движеиид центра масс (! 2.5): У эт(! ш — '= "! У, т — '= 2,'г„, (20.!) с(эх, оээу, Усч(! +Й) а угол р(!) - уравнению моментов ()9.! !), так как в СО К' тело вращается относихо (гьлэ!) " тельно неподвижной оси С»2 хо (!) Рис. 62 (20.2) рость этик точек э„складывается из скорости э„„пост!нательного движеиия цилиндра вместе с цент- Заметим, что СО К' вообще говоря меинерциальная, н справедливость в ней уравнения моментов требует обоснования (см. далее предпоследний абзац на с. ! 05). Прямая задача динамики тела, совершающего плоское движение, состоит в нахождении зависимости от времени координат х (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
