Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Коэффициент пропорциональности Е . зависящий от свойств вещества н характеризующий его жесткость, называется модулем одностороннего растяжения, или м о д у л е м Ю н г а. Для деформации сдвига закон Гука имеет вил, аналогичный (24.2); сг, =Су (74 З) 6-4467 где и, = г,15 - тангенциальное напряжение. у - угол сдвига (рис. 65), который ввиду малости деформации характеризует относительную деформацию. л111= !5 у= у. Коэффициент пропорциональности С, характеризующий жесткость вещества по отношению к сдвнговой деформации, называется м о д у л е м с д в и г а. 82 Для деформации изгиба стержня прн условии выполнения закона Гука (24.2) для всех его слоев расчет дает следующую зависимость между стрелой прогиба Л и величиной приложенной силы р: Еаб' Р' = — Л 42' (24.4) где Е - модуль Юнга вещества, а - ширина, Ь - толщина стержня, Š— расстояние между точкой закрепления стержня и точкой приложения силы (рис.
66). Для деформации кручения цилиндрического образца при условии выполнения закона Гука (24.3) для всех его цилиндрических слоев расчет приводит к следующей зависимости между модулем момента М = 2Е к пары сил (рис. 67) и утлом кручения Гн (24.5) где модуль кручения 0 определяется выражением (24.6) 1«(х) «(я+Ах) здесь 0 - модуль сдвига вещества, 77 - радиус, Н - высота образца. Формулы (24.4) и (24.5) - (24.6) выражают закон Гука для деформаций изгиба и кручения. Таким образом, закон Гука для всех рассмотренных видов упругих деформаций констатирует пропорциональность некоторой силовой характеристики, являющейся мерой силового воздействия (напряжение, сила, момент сил), и геометрической величины, характеризующей деформацию (относительные удлинение и сдвиг, стрела прогиба, угол кручения).
При этом в законе Гука для фундаментальных деформаций растяжения-сжатия (24.2) и сдвига (24.3) коэффициенты пропорциональности - молуль Юнга н модуль сдвига - зависят только от свойств вещества. В случаях деформаций изгиба и кручения, которые сводятся, соответственно, к неоднородным растяжению- сжатию и сдвигу, эти коэффициенты в формулах (24.4) и (24.5) зависят от модулей соответствующих деформаций, а также от размеров тела. В теоретической механике деформации описывают, задавая в каждой точке вектор «(х,уд), показывающий, куда сместилась при деформации точка среды. находившаяся в точке т,у,з пространства.
Если поле смещений однородно, т.е. «(х,у,л) = сощц то это означает поступательное перемещение тела как целого; при различных значениях вектора «в разных точках тело деформировано. При деформации растяжения-сжатия вдоль оси бх векторы смещения направлены вдоль этой оси н зависят от координаты х: «(х) = «„(х)з' (л - единичный вектор в направлении оси Ох). Рассмотрим малый цилиндрический элемент длиной бх, основания которого имеют координаты х и х+бх (рис. 71). Если векторы смещения в точках х и хебх равны соответственно «(х) и «(хе бх), то рассматриваемый элемент получит абсолютное удлинение «„(хебх)-«,(х) и отноди деформиции СнтЕЛЬНОЕ удЛИНЕНИЕ ям[«,(яебя)-«,(Х)177ЛЬХ глуялюи/л) так что закон! ука для него запишется в виде: лри дс«лормация д, мЕ(«,(хебх)-«„(х))/бх. Если неограниченно уменьшать длину элемента, переходя к пределу при бх-ь О, то слева будет стоять значение напра кения о(х) в точке х, а справа - произвох х+лэх дная а«.(с(с смешения по координате х, взятая в Рис.
71 той же точке (в общем случае, когда смещение зависит и от других координат, это будет частная ВЗ производная сзь",1сх, а которой см. на с. 8); о„(х)= Š—" . сэб„ тэх (24. 7) Формула (24.7) предстпвляет собой закон Гука для деформации растяжения-сжатия в дифференциальной форме. который устанавливает локальное соотношение между напряжением и деформацией. связывая значения напряжения и производной смещения по координате в одной и той же точке среды. При дефоривции сдвиге поде смещений ннпрвввенс вдоль оси Оу и зависит от координаты х: Дх) = э, (х)/ 0' - едииичньщ вектор в нвпрвввеиии оси Ог). В результате, кик видно из рис.
72, ивами твеиеит тела днмиы тэх испьпыввет ди)ариснию сдвиге с углом двигс уитйу=[",(хтцх)-ьс,(х)З)(бх . и мьон Гукс дл» у нега зепищстся в виде о, = С[э,(хьдх)-ьс,(х)) 1бх пе- 1' рстодя к пределу при Ьх-+0 . получим виком Гук» для дсфсрчсции сдвиге в дифферснпиндьной форне 0 Х к+АХ сэр, сс,(х) = С— дх Рис. 72 (24.8) 8 25. Работа и энергия прн деформациях Подсчитаем работу, совершаемую приложенной к торцу образца силой р (другой торец закреплен) при медленном растяжении образца от его естественного состояния (с =0) до состояния с относительным удлинением е .
Каждая из малых работ ЫА, совершаемых а процессе деформации при очередном уллинении образца на сд выражается формулой ЫА = Р'су= обе(!=о51с(с(11(с): здесь 51с =Г - объем недеформированного образца, а 411!с =А((1-1с)11с] = Ад, так что пА = Г п(к)с(я. Полная работа, будучи суммой малых работ. определяется интегралом: А =)т) а(е)с(я с (25.() и, следовательно, равна произведению площади, ограниченной кривой зависимости о(е).
двумя ординатами и осью абсцисс, на объем тела. На что расходуется эта работа, существенно зависит от того, является деформация упругой или пластической. Упругие силы, действующие между элементами тела, зависят только от относительного расположения последних, т.е. от формы деформированного тела, и, следовательно, потенциальны. Поэтому упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией и работа внешних сил идет на ее приращение (при достаточно медленном процессе деформации кинетическая энергия элементов тела остается равной нулю). Если принять потенциальную энергию недеформированного тела равной нулю, то потенциальная энергия И' упруго растянутого (или сжатого) тела в соответствии с ее общим определением дается формулой (25.)). Считая справедливым закон Гука (24.2), имеем: 84 Энергия.
приходящаяся на единицу объема тела, называется п л о т н о с т ь ю з н е р- гнн: (25.3) где ЬИ' - энергия вещества в объеме бг' в окрестности рассматриваемой точки. При однородной деформации энергия распределена по телу равномерно, плотность энергии одинакова во всех точках тела и, следовательно, равна отношению полной энергии тела (25.2) к его объеиу: (25.4) Аналогичные выкладки приводят к формуле такого же вида для плотности энергии прн однородной деформации сдвига: (25.5) где С -модуль сдвига, у - угол сдвига. Таким образом плотность энергии линейно зависит от соответствующего упругого модуля и квадратично от величины, характеризующей деформацию, Если превышен предел упругости, силы взаимодействия между элементами тела перестают быть потенциальными и лишь часть работы внешней силы идет на создание потенциальной энергии тела; другая ее часть расходуется на выделение теплоты.
Пусть в процессе нагрузки (участок 0-П кривой нагрузки на рис. 70) достигнуто напряжение и„> о;, после чего нагрузка медленно уменьшена до нуля (кривая разгрузки П -ь я,). На первом этапе внешняя сила совершает положительную работу, определяемую площадью фигуры ОПг„. а на втором этапе - отрицательную работу, определяемую площадью фигуры я,Пя„. Суммарная работа внешней силы, равная разности этих площадей (заштрнхованная площадь ОПь;). расходуется на выделение теплоты. ГЛАВА Ч! ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Гидродинамика охватывает весь круг вопросов, связанных с течением жидкости. Систематическое изложение основ гидродинамики выходит за пределы общего курса физики и мы ограничимся изучением отдельных важных закономерНостей.
Некоторые из них, как это будет оговорено, справедливы и в аэродинамике, т.е. применимы и для движения газа. Перечислим некоторые свойства жидкости, которые будут использоваться в дальнейшем. Жидкость не обладает упругостью формы: в ней под действием статических внешних сил происходит лишь деформация всестороннего сжатия, связанная с уменьшением среднего расстояния между молекулами.
При этом напряжение (см. с. 79 и формулу (22.!)) всегда нормальное и изотропное, т.е. оно перпендикулярно любому малому элементу поверхности внутри жидкости н не зависит от его ориентации. Это напряжение в жидкостях называют да ел е н нем: р = пруду, (16. ) ) где Аг - величина силы, с которой взаимодействуют друг с другом частицы жидкости, лежащие по одну и по другую сторону элемента поверхности площадью Ьб.
(Формула (26.)) справедлива и для газов, но в них сила Аг в болыпей степени обусловлена переносом импульса молекулами, чем непосредственным силовым взаимодействием). Важным свойством жидкости, отличающим ее от гиов, является весьма малая сжнмаемость. Поэтому во многих задачах жидкость рассмазривают как несжимаемую, считая ее плотность постоянной.' д= со«и« . 9 26. Классификация движений жидкости При достаточно больших скоростях движения жидкости в ней возникают хаотически меняющиеся со временем завихрения - такое нерегулярное течение жидкости называется т у р б у л е и т н ы м и нами изучаться не будет.
Прн меньших скоростях жидкость движется слоями, не перемешивающимися друг с другом; такое слоистое течение жидкости называется л а м н н а р н ы м (количественный критерий, определяющий тип движения жидкости, обсуждается далее, см. мелкий шрифт на на с. 93). Описывать движение жидкости можно, задавая векторное поле скоростей «(х,у,сд), характеризующее значения скорости движения жидкости в каждой точке х,у,с пространства. Подчеркнем. что при такам способе описания скорость «(х,у,сд) не "привязана" к тому или иному малому элементу (частице) жидкости, а определяет скорость асс новых и новых частиц жидкости, проходящих через рассматриваемую точку х,у," пространства. Если поле скоростей не изменяется со временем, то течение называется с т а ц и о н а р н ы м; при стационарном течении скорость частиц жидкости в данной точке пространства постоянна: « = «(х,у,с), сз«7«2 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
