Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В дальнейшем речь пойдет в основном о свойствах стационарного течения жидкости, Для описания движения жидкости вводится понятие линии тока и трубки така. Л и и и е й т о к а называется линия, к которой векторы скорости касательны во всех ее точках (рис. 73). При стационарном течении жидкости линии тока, очевидно, являются траекториями частиц жидкости (не путать с траекторией движения отдельных молекул, которые вместе с ловое движение). Т р у б к о й т о к а называется часть текущей жидкости, сбоку ограниченная поверхностью, обра- Рис. 73 86 зованной линиями тока (на рис.73 жирными линиями выделен элемент трубки тока), Подсчитаем объем жидкости, протекающий за единицу времени через некоторую мысленно выбранную поверхность 5 .
Через малый элемент этой поверхности плошади Ь5 за малое время Ьг пройдет объем жидкости Ьи= „6567 (26.2) где г„ - проекция скорости з жидкости в окрестности рассматриваемого элемента поверхности на нормаль л к нему (рис. 74 а). Действительно, за время Ьг частицы жидкости, находящиеся в окрестности элемента поверхности Ь5, пройдут путь тлг в направлении вектора з . Как видно из рис. 74 б, элемент поверхности Ь5 пересекуг те н только те из них, которые находятся в объеме ЬР параллелепипеда с площадью основания Ь5 и ребром длиной злг (прочие частицы либо не дойдут, либо пройдут мимо элемента Ь5).
Высота параллелепипеда Ь = э лг сова . где и - угол между направлениями скорости хи нормали л, так что ЬГ= г созаЬ567, откуда с учетом г сова= э„следует формула (26.2). Поделив выражение (26.2) на Ьз, найдем объем жидкости, протекающей за единицу времени через элемент поверхности Ь5: ЬФ = э„Ь5.
(26.3) Суммируя выражения вида (26З) по всем элементам поверхности, получим формулу для искомого объема жидкости Ф, протекающего за единицу времени черш поверхность 5: Ф=) и„с(5 . (26.4) Интеграл в правой части (26.4) называется л о токо и в ек тор а г через поверхность 5. а формула (26.3) определяет поток через малый элемент Ь5 поверхности. гйг а) Рис. 75 Рис. 74 Другой важной характеристикой векторного поля является ц и р к у л я ц и я в е кто р а по контуру, которая применительно к полю вектора ззапишется в виде; (26.5) (кружок на символе интеграла означает.
что интеграл берется по замкнутому контуру Е). Циркуляция расшифровывается следующим образом: в некоторой точке контура берется скалярное произведение скорости з и лзалого перемещения с(1 вдоль контура, как показана на рис. 75: (э.л!) = с)1гсоза= Ч И1, где а - угол между векторами э и з(1, а Ч =н сова - проекция вектора э на направление 47, и затем такие выражения суммируются ло всем элементам Н контура Ь. В частном случае вихревого движения жидкости, 87 когда ее частицы описывают замкнутые траектории, циркуляция скорости по этим траекториям заведомо отлична от нуля, так как подынтегральная функция г, в (26.эз знакопостоянна. Понятия потока н циркуляции используются прн описании векторных полей любой физической природы.
н частности — электРического и магнитного полей в теории электромагнетизма. 8 27. Уравнение неразрывности Выделим мысленно в стационарном потоке жидкости узкую трубку тока и рассмотрим объем пространства между ее двумя фиксированными перпендикулярными сечениями площадью 65, н 65, (рнс. 76). Условие стационарности требует, чтобы мас. са жидкости в рассматриваемом объеме не менялась со временем. т.е. массы жидкости, ятекающей н вытекающей нз него за некоторый промежуток времени бг, должны быть одинаковыми.
Согласно (26.3) за дг секунд через сечение дб, втекает объем дг;=г,63,67 жидкости, масса которой Ьлх =рду = рр,ду, бц а через сечение Ьбз вытекает масса жидкости Ьлх =р,г,дуздг, где г,, р, и гы д, - значения скорости и плотности жидкости, соответственно. в окрестности сечений 65, и Ьбз. Приравнивая выражения для Ьм, и Ьях и Рис. 76 сокращая на ЬГ, имеем: (27.!) РИЛЛИ~ РггзЬбз и так как сечения 65, и дбз выбраны произвольно, то вдоль узкой трубки тока рз ЛЯ =союз . (27.2) Уравнение(27.2) выражает з а ко н пер а з р ы в н асти струи, который в этой форме вереи и для стационарного течения газа.
Для несжимаемой жидкости (р= соцж) уравнение неразрывности имеет вид; г63 = сощг. (27.3) При течении жидкости по трубе плошадь поперечного сечения каждой узкой трубки тока пропорциональна площади сечения трубы и, как следствие уравнения неразрывности (27.3), в местах сужения трубы скорость течения возрастает. в 28. Уравнение Бернулли Как мы увидим далее, между слаямн движущейся жидкости существуют силы внутреннего трения, однако сейчасречь пойдет об идеал ь ной жидко сти.
в которой силами внутреннего трения пренебрегается. Будем также считать жидкость несжимаемой, полагая сэ= соэсц . Используя закон сохранения механической энергии, удается найти комбинацию физических величин: плотности р, скорости г жидкости и давления р, значение которой остается постоянным вдоль линии тока в стационарном потоке жидкости. Рассмотрим в узкой трубке тока элемент жидкости, торцы которого в момент времени г занимают положения! и 2, как показано на рис. 77.
Здесь Ы, и доз - площади торцов, /3 и Ь, - их высоты относительно некоторого уровня, э, и э,- скорости жидкости на этих сечениях, За малый промежуток времени 6! этот элемент переместится и щймет новое положение !с2( Прн этом его торцы переместятся на расстояния 88 Ыи, = цЫ и Ы, =гэЬг и, следовательно, объемы Ь)м и Ьгн прочерченные торцами за время Ы, определятся выражениями Ь)л.
=ЬЯ Ып, =ЬЯр, Ьг и Ь)'„. =Ь5,Ы . =Ьбзсзлд Согласно закону неразрывности струи (27.3) ц Ьб, =с,ду„сладовательно, указанные объемы равны: Ьип,=ЬИж Ьи. (28.1) Запишем закон изменения механической энергии (15.25) для рассматриваемого элемента жидкости: Рис. 77 (28.2) Здесь ЬИ' = Ь(И'„+ И'„) - приращение полной механической энергии И' = И'„+ И'„элемента (И'„- кинетическая, И'„- потенциальная энергии), а БА - работа, совершаемая за тот же промежуток времени Ы силами, которые действуют иа рассматриваемый элемент и не учтены в потенциальной энергии. Такими силами являются только силы давления, действующие со стороны частиц жидкости, окружающих рассматриваемый элемент При этом отличную от нуля работу совершают только силы давления жидкости на торцы элемента: Р; =Р, Ьб, н Р; =р, ЬЯэ .
где р, и Р - значения давления на торцах элемента. Эта работа равна: Б4=РЬ!п,-Р Ы, =РЬбрлг-дэлузгзлг=РЬРг-рэЬ~~, = (р, — р,) ЬИ (разные знаки работ снл Е, и Р,, связаны с тем, что в первом случае направления силы Р, н перемещения Ь1л. совпадают, а во втором направления Р, и Ы, противоположны). Итак, б( =(Р~ Рз)Ы'.
(28.3) Изменение механической энергии рассматриваемого элемента жидкости за время Ы есть Разность значений его энеРгии в моменты г+Ы и Г: ЬИ'=Им(г+Ьг)-Ин(г). Энергия Ию (г+Ьг) складывается из энергий Ию(г+Ы) и Иж(г+Ы) частиц в объемах междУ сечениЯми!э2 н 2-2'в момент г+Ьг: Иггэ(зелз)м)ргз(ГЬЬГ)еггп,(г+ЬГ). Аналогично Ин(г)=йю(г)еИм(г). Но энергия жидкости, зак юче ой в с ованной не меняются положение и скорости частиц, оказывающихся в этой области. Поэтому Им(Г)=Ию(Г+Ы) и, следовательно, ЬИ'=Иж(зчш)-йм(Г), те. изменение механической энергии рассматриваемого элемента жидкости сводится к изменению энергии жидкости, заключенной е малых обьемах Ь~л, и ЬР„.
Массы жидкости Ьля,, и Ь»5,, в этих объемах равны, соответственно, Ьл5с =РЬЭм =РЬИ и Ьмн, =РЬР, =РЫг, так что для кинетической, потенциальной и полной механической энергии жидкости в указанных объемах получаем следующие выражения: н'! )у Лт У1* Р"'д) 2 И",,'.е = Ллзн,8)Х = Р8)(ЛР, м РБ (э8.4) Ь .э )Эч ) — злзгэз — )" 2 Лг 2 2 И",,б = Л п.8~ =щ~ЛГ, 2 (28.5) Таким образом, изменение механической энергии рассматриваемого элемента жидкости Н ' )!*р (28.6) Подставляя выражения из (28.6) и (28.3) в (28.2) и разделив обе части полученного ра- з з венства на ЬК, получим: — эР8Л, — — -Р8)( = Р -Р, или Рэз Р"1 2 2 2 2 — эдб~ьР = — эР8)яьР Раз )Ю) 2 2 (28.7) Поскольку сечения трубки тока ) и 2, ограничивающие элемент жидкости.
могут быть выбраны произвольно, то выражение, стоящее в обеих частях равенства (28.7), имеет одинаковые значения в любом сечении рассматриваемой узкой трубки тока, т.е. остает- ся постоянным вдоль линии тока: — + Рйя+ Р = сошг. Рэ' 2 (28.8) Уравнение(28.8) иэквивалентноеему(28.7) называют уравнен нем Бернулли. Следствия из уравнения Бернулли становятся наглядными, когда одна из трех переменных э, Л или р остается практически постоянной.
Так, при течении жидкости по горизонтальной трубе 6 ч сошг, и уравнение Бернулли принимает вид: — е Р = сошl )ж 2 (28. 9) Согласно уравнению неразрывности (27.3) скорость течения э в свою очередь обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубки тока, а, следовательно, и площади сечения трубы. Поэтому по мере сужения трубы давление в жидкости уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
