Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 17
Текст из файла (страница 17)
у (!), р(!) и сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений (20.!), (20.2) при заданных начальных условиях х,(0) =хе у,(0)=уз, (э(0)= рэ, э' (О) мк„,, со(0) =э!,, а(0)= ю„. Качсане. Честным сдучвем плоского движения мшястса качение тел, которое обсудим н» примере качания однородного цилииара цо горюоитвльной плоскости (рнс. 63). качалке может происщююь со кож асююи (с 'Ъробуксовкой"), иа мы ограиичиися рассмотреиисм качения без скольжеки», когда обеспечено такое сцепление межау лиллилрам и плосксегью, что точки цилиндра, находящиеся ме ли.
иии его соприкосновения с плыкостью (точка А иа рис.бз а) поко»те» относительно плосксмти. Ско- 75 Ром мисс и скоРоетн э, вР»щеима относительно оси пилннлР» (Рис. 63 в): эл --э ьз, =0 . ско- э рость з, направлена против скорости з„и имеет модуль е, = аз)т, где )( и Ю -радиус и угловая скорость вращения лилинрра, твк что дя» качснив бю скольжеющ нсобхоюзмо, чтобы в каждый моисмт врсмемн выполнялось условие: с„= ай .
нли (днфбкреннируеи обе части равснотв* по времени) (20.3) где а„ „ - ускорение центре масс цилинлра, )7 - угловое ускорение вразцеиия цилиндра. Пцккольку проскальзывание отсутствует, н» цилимдр со стороны плоскости авиано силы М нормального давления действует сила трепи» покоя Рв „, которая вхолмт в уравнения двяжпщя кск неизвестная и определяется в процессе рею«ниэ задвчй. (Качсние будет происходить без прсщальэываии» только в том случае, ссзи д»в найденного значения «еличииы Г выпали»стев условие. Е,„ц <рУ.) Однако легко видеть, что ацисаннс трения силой, действующей только нв линии касания цилиндра и поскссти, являеюя довольно грубым приближением. Действительно, свободно катюцийса без сколыксння по гсризонъиьной пло. сюктн пнэиндр со временем останав. ливастсл, т.е.
Реальмо действующие силы тормозят как поступательное, так и вращательное движния цилин дра. В то время как в пещей модели сила трения покоя может либо тормозить поступательное движение, ио прн этом ускорюь вращательное (рис. 63 6), либо, напротив, тормозить вращение, но ускорать посзупв- а) б) а) тельное движение (рис. 63 в) (сила нормалього давлении, очевидна, роли Рис. 63 не играет).
Из изложенного ясно, что силы, Лействуююие на квтюцийсв пилимдр са стороны плоскости, долж. ны, ва-первых, иметь горизонтальную составляющую, направленную против снорости э поступа- Ц. тельного движения цилиндре, и, ва-вторых, их суммарный момент атносительмо осн цилиндра дол:кон быль исправлен против угловой скорости ю вращения цвлннлр». Такиии сил»ми ввяжется е и л ы т р с м и я к с ч с н и а, природа которых принципиальна с»азама с дсформацмсй плоскости и цилиндра, неизбежно возмикеющей при качении цилииэра.
При этом еущеещенны два обстоятельстве. Во-первых, двуормированзмзе цилиндр и плоскость имеют поверхность сопрнкоснавсни» в ющс полоски конечной ширины АВ (рис. 64 в), у которой радиус круга кривизны, помеченного пунктиром, больше радиуса цилиндре. В рюувьтащ линии дейв»ни» сил нормального давления (()ззц, дсйсзъуююнх на элененты АЛ( поверхности цилимдра со стороны плоскости, проходят ньиве цемтра цилиндра (силы трения покоя, на. прввленмые по касательной к дуге О АВ, в нашем рассузщснин можно ме О принимать во внинвиие). Во-вторых, з принципиальную роль играет учет нсупругого характера дсформалнй, в А С В результате которо(о в точках области а) накат» СВ.где дсформвцнинаходатся Рис. 64 в стадии роста, си»ы ((Юц больше по величнмс, чем в симметричных о ними точках в области отката АС, где деформации, хотя и имеют ту жс величину, но наход»ты в стадии А С В б) разгрузки (Пк )нерпе 70).
В итоге,каквющо из рис. 64 а, ркснодсйств)тощая Р= чз ц)Дцц сив,дсй- убывание (сравните значения напряженна при значении дсфорнации к на крмвых юпрущи (ОП) и 76 ствуюших на цилиндр со стороны плоскости, моиш иметь еоотавлакклую г „, неправленную против двииениа цилиндра и терм озпвую его поступательное движение, и одновременно создавать момент аш, тсрмозвщий также и вращение цюшнлра (тормозицие моменты сии на участке С8 прсвьшизот по величине ускорлющие моменты сил на участке АС).
В таком случае рввнодействующа» сила г шзсст наклон прогна Лвижни», «е точка приложеюп вынсо:на вперед по ходу дыпасниа, а ее лишш Лей«пша проходит над центром цкшлщэа (рис. 64 б). Момент силы Х (нориэльиой составл»ющей сизы р ), тормозиаий вращение тела. называют моментом силы трения калеки». Его мопуль, как показывает опыт, в мскоторои приближении пропорционален величине силы нормального давлсвзш ))Р и не зашссит ви от раж»уса цилиндра, ни от и о скорости: (20.4) где кевузрициснт щюпорционазьнести Л, ииеющий размерность данны, зависит от машриала «атзщсгсе» тела и опоры.
Согласно формуле ((4.3») на с.бб, Л зал»стел плечом силы )ээ, как показано на рис. 64 6. При строгом рсшыпш прамой задачи на качение юла без скоаьюши» силы г", н )эз раеоматриваютса как неизвестные, а момент силы Ю зыщоываепл в виде (20.4). Силы трепп» качение значительно меньше сил трепи» скольжение (шарик прона ппел по горизон. тельной плоскости до остановки значительно далыле, чем проаиолыит брусок той ие мв кы щ того ие вещества при резвых нвчваьмых киштнчсских щсргилх), В колесах на шарикопошшппщвах силы трещи скальп»ни» звмеюпотса силами эрсин» «вчени», за счет чего существенно умсньшаютс» пашни механической энергии.
77 ГЛАВА Ч УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ В ТВЕРДЪ|Х ТЕЛАХ ф 21. Описание деформаций недеформированный деформация образец растяжение деформации сжамия деформация сдвига Рис. 65 Деформация растяжения сопровождается поперечным сжатием (и соответственно деформация сжатия - поперечным растяжением), причем относительные изменения продольных и поперечных размеров пропорциональны друг другу: 017117 = р 0111, где 15- диаметр цилиндрического образца, АО - его изменение при деформации, Коэффициент пропорциональности р, называемый к о э ф ф и ц и е н т о м П у а с с о и а, зависит от свойств вещества.
Его максимально возможное значение р=0,5 при малыхдеформациях соответствует случаю, когда при деформации не изменяется обьем тела. Абсолютно твердое тело - идеализированное понятие; тела при внешних воздействиях в топ или иной мере изменяют свою форму-в них возникают деформ аци и. В настоящей главе изучаются статические, т.е. не зависящие от времени деформации, которые устанавливаются в телах под действием постоянных сил.
Простейшими и в то же время фундаментальными являются деформации р а с т яжен и я-сжатия п с да н г а. Возьмем однородный образец правильной, например, цилиндрической формы, и на два его торца подействуем равными по модулю н противоположными по направлению силами р и -р, равномерно распределенными по поверхности торцов.
Если силы действуют нормально к поверхности торцов (Р„), то возникает деформация растяжения или сжатия, а при действии сил а касательном (тангенциальном) направлении (Р,) - деформация сдвига (рис. 65), (В опытах часто силу р прикладывают только к одному основанию, а другое закрепляют на опоре и сила -Р действует на него со стороны опоры).
Величина 61, показывающая на сколько смещаются друг относительно друга торцы образца, называется а б с о л ю т н о й д е ф о р м а ц и е й, а отношение 0111 абсолютной деформации А1 к длине образца 1- от н о си тел ь н о й де фар м а ц и ей. При деформации растюкения-сжатия атносительная деформация означает относительное удлинение или сжатие образца и обозначается буквой е: е= 6111, а в случае деформации сдвига относительная деформация определяется тангенсом угла у, на который поворачиваются плоскости, перпендикулярные приложенным силам: гя у = 6111.
78 Прн деформациях изменяет форму не только тело в целом, но н каждый его малый здемент. В приведенных примерах, если можно пренебречь весом тела по сравнению с приложенными силами, деформации с хорошей степенью точности о д н о р о д н ы е: все одинаковые малые элементы продольной цилиндрической формы, один нз которых изображен на рис. 65 пунктирными линиямн, независимо от нх местоположения испытывают одинаковые абсолютные деформацнн, а относительные деформации одинаковы н у цилиндрических элементов различных размеров. (Строго говоря, для осуществления в чистом виде однородного растяжения-сжатия и сдвига необходимо допел.
ннтельно приложить силы, которые в первом случае предотвратили бы поперечное сжатие-растяжение, а во втором компенсировали момент сил г" н -г). Если телО не столь простой формы, нлн неоднородно по составу, нли приложенные сипы имеют более сложный характер, то деформации могут иметь сложный внд. Однако, как доказывается в теоретической механике, прн любой деформации малые элементы тела испытывают соответствующие растяжения-сжатия н сдвиги, вообще говоря, разные в различных местах тела, т.е, бая о а я с о нтся к неа но о ьзм астяженнюОпишем еще две деформации сравнительно простого вида - изгиб н кручение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
