Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 13
Текст из файла (страница 13)
На рис. 43 представлены потенциальные кривые рассмотренных ранее систем; тела на пружине (рис. 43 а); гравитационно взаимодействующих шара и материальной точки (рис. 43 б); материальной точки в однородном поле сил (рис. 43 в), На рис. 43 г приведена потенциальная кривая материальной точки массы ш, находящейся на горке профиля Л(х), Поскольку формула потенциальной энергии И'„=тяЛ(х) отличается от функции Л(х) лишь постоянным множителем лйы потенциальный рельеф оказывается подобным реальному рельефу горки.
Рис. 42 Ие= — 0— шМ (оо) ~Ф„'ж Их О б) в) 58 Используем потенциальную кривую системы гравитационно взаимодействующих Земли н тела (рис. 43 б) для вывода формулы второй космической скорости (опрелеленне второй космической скорости было дано на с. 35). Если сохраняющаяся механическая энергия системы отрицательна (И', <0 на рнс. 43 б), тело, запущенное в радиальном направлении с поверхности Земли (г = )(), удалится на конечное расстояние г, (точка возврата) и упадет обратно на Землю. В случае положительной энергии И', > 0 начальная скорость, сообщенная телу, избыточна, так как, преодолев земное прнтяжемие (г -+ ю, И',(со) = 0), тело будет обладать конечной кинетической энергией И'„(со). Следовательно, минимальная скорость э,, которую нужно сообщить телу, чтобы оно покинуло сферу действия земного тяготения, определится нз условия равенства нулю механической энергии системы: И'= И'„+И'„= тэ'112 — СтМ(г = О.
В момент "запуска" г р И и »=э, и энергия )У =юэз',(2 — СвзМ()(= О, откуда г, = ь(2СМ()(= т(2йл, так как СМ()1» = 8 (см. (10.7)). Подставляя значения радиуса Земли )( м 6400 1О'м н ускоренна свободного падения у поверхности Земли к м 9,8м('с', находим: э, м! 1,2км(с. 0 16. О юкенэх сохранен»» в фвз»кс Все трн рассматренвыс закона сахранспнз - импульса, момента импульса и мех»ннчсской эщргии, «»к бы»о пок»вано. эалаотш прямым следствием законов Ньютона. Однако вьютоновска» механик» справ»даава лишь для нс слюнкам быстрых денкснвй тев н кроме того в ней нс учнтыввютсв (нли во вс»кон случае учнзьмаютс» нс полностью) поля как матсрнальныс обзскшз, об»валюш»с энергией, импульсам, моментом импульса.
Ее»юге»»на возникает вопрос, как обстоит дело с законамн сохранения в строгай рслвтввнсгской теории с учетом всей материн, квк в анде ызцмзла, так в в анде полей Ок»- эьмаскл, что псрсчнслснныс заковы сохране»на вел»кося просзьп» слсдствнем с»окоп» пространства н времеви, а мненно: закон со»ран»ни» импульса выкскаст вз однородности пространства; момента импульса - вз нзотропин пространства; механической эвсргнн - ю овпороднсстн времеви. Указ»пэмзе аюлства о»мяч»юг, что в повсдсввн любая фызнчсскон сисюмы ннчсго вс нзмсннтса, если эту систему как целое поступательно ем»стать (оюзорошюсть пространства), повсрауп (изотропв» про»»ранет»а), илв если провести тот ве эксперимент в той ве сн«зсмс в другое время (адюзродность времеви, т.е равноправнос»сох во»сито» времени).
Прм этом под фщвчсской системой подразумы»сю» вса со»скуцно«гь тел, так илн иначе участвующнх в экамрнммпс, В реватввнстскнх законах сохранение фигурируют импульс, момент импульса н энсргв» как вещества, так л повей. Помп»о трех рассматрсаных, в фвзвкс существуют н вругие законы сохранения.
Так, в электромагнетизме фундамснтальн)ю роль »траст закон сохранения элекгрнчвжого вар»Ля; рэд специфических законов сохранен»» проявлвются в физике элементарных частиц, о чем ндет речь в ссотвстсгвуюпэвх разделах курса. ГЛАВА 1Ъ' ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА б 17. Абсолютно твердое тело и классификация его движений Всякое тело может рассматриваться как совокупность его малых взаимодействующих друг с другом элементов, т.е. оио представляет собой частный случай системы материальных точек. Поэтому все законы, установленные в предыдущей главе для системы материальных точек, справедливы и для тела как целого. Пусть Ьт - масса вещества, заключенного в малом объеме ПУ в окрестности рассматриваемой точки с координатами х,у,с. Отношение р(к,у,з) =— Аш ОУ (17.1) (17.
2) а масса ш всего тела объема У, будучи суммой масс его малых элементов, определится интегралом т=) р(х,у,я)ВИ (17.3) Под действием внешних сил атомы смещаются друг относительно друга и тело деформируется (деформации твердых тел изучаются в главе з!). Однако во многих задачах эти деформации столь малы, что ими можно пренебречь и считать все расстояния между элементами тела неизменными; г„=соизз, Где г, - расстаянИе Между 1-м и /г-м элементамитела,-такоетелонюывается абсолютно твердым.
Посколькув этой главе речь идет только об абсолютно твердом теле, будем для краткости именовать его твердым телом или просто телом. Чтобы охарактеризовать положение механической системы, необходимо задать соответствующее число координат, Число независимых координат (параметров), значения которых, изменяясь при движении системы, однозначно определяют ее положение в пространстве, называют число м степ ен ей си об оды. Материальная точка, движение которой ничем не ограничено, имеет три степени свободы, так как ее положение вполне определяется тремя независимыми параметрами, например. декартовыми координатами х(!),у(г],з(!) .
Система, состоящая из Ф материальных точек, в общем случае обладает 3Ф степенями свободы, поскольку для описания ее положения необходимо задать по три координаты х„у„з, (! = 1,2,3) каждой нз )г' точек. Если, однако, по условиям задачи на движение точек наложены ограничения, называется плотностью массы,илипросто плотностью вещества,которая тем самым численно равна массе, приходящейся иа единицу объема вещества. Если в формуле (17.1) перейти к пределу прн ВУ -+ О, то мы.получим истинную, или микроскопическую плотность, которая сложным образом изменяется от точки к точке, выявляя распределение массы внутри молекул, атомов, атомных ядер.
В механике макроскопических тел достаточно оперировать с м а к р о с к о пи ч ес к о й плотностью вещества, т.е. плотностью, усредненной по области тела хотя и малой по макраскопическим масштабам, но все же содержащей огромное количество атомов - ее линейные размеры должны существенно превосходить размер атома. Именно такой м а к р ос ко п и ч е с к и б е с к о н еч но и алый объем ЬУ имеется в виду в формуле (17.1) и других аналогичных формулах, определяющих макроскопические характеристики вещества. Если известна плотность как функция координат, то масса малого элемента тела объемом ВУ согласно (17.1) равна ба= р(х,у, )6У, бО число степеней свободы уменьшается.
Так, число степеней свободы материальной точки, которая может двигаться только в определенной плоскости, например, в координатной плоскости хду, равно двум, так как ее движение описываетсл двумя независимыми координатами х(г),у(г) . У точки, которая может двигаться только вдоль прямой, одна степень свободы. Система, состоящал нэ двух материальных точек с координатами х„у„з, и х„у„з,, расстолнне ! между которыми в процессе движенил не ме- няетсл: 1= = сола! ("жесткая гантель"), имеет не б, как у двух независимых точек, а 5 степеней свободы, так как из шести координат точек независимымн являются только пять, а шестая выражается через этн пять из написанного выше условия жесткости.
В трех последних случаях говорят, что на систему наложены жесткие связи. Абсолютно твердое тело, если на его д движение не наложены ограничения, обла- С дает шестью степенями свободы. Действи( тельно, положение тела вполне определяется р заданием трех координат какой-либо его точки, например, декартовых координат центра масс «„у., г,, и трех угловых координат, характеризующих ориентацию тела. У Две угловые координаты, например, полар- ный и зэимутальный углы В и и, определкх ют направление какой-либо оси тела, проходпцей через центр масс (рис. 44), а третий угол фиксирует последнюю степень свободы, Рнс. 44 связанную с возможным вращением тела относительно этой оси.
Важными частными случаями движения твердого тела звлзютсз поступательное и вращательное движения. П о с т у и а т е л ь н ы м называется движение, лри котором всякая прямая линия тела перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении угловые координаты, характеризующие ориентацию тела в пространстве, остаются постоянными, а изменяются координаты *„у., г„которые тем самым реализуют поступательные степени свободы. В р а щ е н и е м в общем случае называют движение тела, при котором по крайней мере одна его точка (точнее - точка пространства, связанного с телом, так как эта точка может не принадлежать телу) остается неподвижной в рассматриваемой СО.
При вращательном движении изменяются угловые координаты, которые тем самым реализуют вращательные степени свободы. Теория вращенпл тела с одной неподвижной точкой выходкт за рамки курса и в дальнейшем будет рассмотрен лишь один пример такого движения - прецессил гироскопа (см. с.72). Мы ограничимся изучением часпюго случая вращательного движения- ар а щения о тн о с и тель но оси, когда неподважной остается не одна точка, а линия тела (ось вращения), При этом точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости орбит перпендикуллрны ей. Покажем, что произвольное движение твердого тела можно рассматривать как одновременно происходящие поступательное и вращательное движения.
На рис. 45 изображены два положения 1 и 11 движущегощ тела в близкие моменты времеви г и гете!. Видно, что нз положения 1 в положение Д можно перейти, совершив поступательное перемещение 1-+1' вместе с некоторой точкой О тела и соответствующее вращение Р - ь !1 относительно точки О. Этим и доказано сделанное утверждение длл каждого малого участка пути, а следовательно и для движения в целом. 6! заметим, что такое разложение движения на поступательное и вращательное может быль сдиюно б«счислсннмм числом различных способов в зввисимоеш от выбора точки О, опрсделсющио поступательное Ищзваие тена. В частности, каждое мадле перемещение тела можно рассматривать квк чистое вращение отноисюльиа некоторой осн (мпювсвнай оси вращение) и те» семью произвольное движение тела представимо как последовательность бесконечно мааых поворотов опчосительно мгновенной оси вращения, испрсрыено меняющей свое положение в пространстве.
Поскольку теория вращения относительно точки нами 14Л1 изучаться не будет, вне поля зрения останется и произвольное движение твердого тела. Мы ограничимся рассмотреРис. 45 пнем п л о с к о г о движения, при котором все точки тела движутся в параллельных друг другу плоскостях; его можно представить как совокупность поступательного движения и вращения относительно неподвижной оси, перпендикулярной этим плоскостям (простейший пример- качение цилиндра по плоскости). 8 18. Поступательное движение твердого тела Покажем, что при поступательном движении все точки (малые элементы) тела имеют одинаковые скорости и ускорения, т.е. движутся одинаково: их траектории лишь СМЕШЕНЫ ДРУГ ОтиОСнтЕЛЬНО ДРУГа. ДЕйетВИтЕЛЬНа, РаДИУСЫ-ВЕКТОРЫ т, И Гс 1-й И )С-й точек тела связаны соотношением; г„(1) — г(1) = )Гв, где йв - вектор, проведенный из 1 гй в (с-ю точку (рис 46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
