Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 11
Текст из файла (страница 11)
с ее возвратом в исходное положение. Действительно, работу А при циклическом перемещении можно представить как сумму работ, совершаемых при переходе из исходного пущи 1 состояния ! в некоторое промежуточное состояние П (А,аю) и из состояния П обратно в исходное состояние 1 (Ае,"') (цифры в скобках символически означают пути точек туда (!) и обратно (2)): А = А„,' »+ А„,'»' )рис. 35). В силу свойства работы менять знак при перестановке начальной и конечной точек пути Ае, = -А„,'*', так что лущи 2 Рис. 35 »1»»») »»»»»» А = Аю — Ащ . Но Ащ = Ащ вследствие независимости работы потенциальных сил от способа перехода из состояния!в соггояние П, так что А =О, что и требовалось доказать.
Для дйутрщниих хпотенциальных сил существует простой критерий потенциальности:если силы юаимо ействия в системе овлетво яют етьем закон Ньюто а и не зав сят о ка и п смен х оме асстояний ме то ка системы в частности не зависят от око остей то они потел пал ны При этом работа внутренних снл вполне определяется начальной и конечной конфигурациями системы (к о нф и г у р а ц к я системы материальных точек определяется зюханием расстояний между ними) и не зависит от перемещения системы как целого при неизменной ее конфигурации.
точ»к: А = ',Г А„красова»рим елну нз этнхработ А, . За мазь»В премекутак врем»ни о»»' -я и к-я Для лакаэательстеа этого угверюкния прелставим работу всех ввутрееннх сил, лсйстеующих пеклу течкави системы, «ак сумму работ А,„, совершаемых пераив свл „У»» и У в»аямолевствиа! д и е -д точки совершат перемещения Ы, и Ые (рнс. Эб) и силы 1» н У» сшершат работу Ь4» = 11з,Ы,)+(гэ„Ы»1 М»лес перемещение ! -й точки Ы! представим как сумму трех перемещений: Ы, = Ы + Ьг ч- й', где первое слагаемое равно перемещению Ь!а й -й точки, Ьгвгз псрпандпэ «ГЬ »1») «улэрнс силе,, вгл! нс силе Г, а Ьг направлен вдоль пр»мой, соединившей точки.
подставл»я зто разложение в формулу дл» ЬА» н воспользовавшись свойством дистрнбупмности скалярного произведения (см(МЭЗ)), имеем Ь4! =(1!х,Ыз)+(уюбге! !)~(Г»,Ьгвя )+(/юЫ!), ПсРвое и псалом!се сл»- гаемые взаимно уннчтожаютс», тек как 1» = — 1,, и следовательно, (уюЫ!) = -((зоЫз)! второе слагаемое ршно пуп!о, звк как пс построению Ь! э х згв. Таким образом, писем. ЬА» = (эю Ьг !я! ) = й га Ьга (знак "е" соответствует силам отшлквваии», зо знак "." ° силам притяжения).
Работа Аа, совершаемая прн переходе системы из состояния 1 в состояние и, Уш(г+А!) А„'» =) „Уз(гзз)с(г!! =Ф(з;,»)-Ф(гв ), где Ф(г,)- первообразная фучпазни 1, (г ), определяющей зависимость модуля силь! взаимодсйстви»,1» от расстояния Г, ! л межау тачками, а за и гв ° значение га в начальном и конечном состоаниах Полная работа внутренних снл Ф) Ага = „"ГАз =(Ф(гзз) — Ф(г!',)~ч[Ф(г!з ) Ф(г!з)].$...., как видна ю этой формулы, зависит лишь от атноппзшных расстояний гп,гн.,. между точками системы в печальном и конечнои ссстонпшх, т.е. определяется на*мльной н комечной конфигурадиями системы н не зависит от способа шрехода нз начального в конечное состожше, что и требовалось доказать. Рис. Зб А = ) г!чА1 < О, а для потенциальных сил такая работа должна быть равной нулю.
Потенциальные силы обладают замечательным свойством: их работа, совершаемая над точкамн системы при ее переходе из состояния 1 в состояние 11, может быть представлена как разноси значений некоторой функции состояния системы - ее потенциальной энергии И'. - в начальном (1) н конечном (И) состояниях: Вопрос о потенциальности внешннууй сил будем выяснять отдельно для каждого конкретного случая. Следует заметить, что внешние силы можно сделать внутренними, если включить тела, со стороны которых они действуют, в состав системы.
Из сил, рассматриваемых в механике макроскопнческих тел, потенциальными являются силы тяготения и упругие силы, рассматриваемые как внутренние силы, поскольку и те, н другие удовлетворяют критерию потенциальности: зависят только от расположения материальных точек системы и не зависят от скоростей. Для гравитационных снл это непосредственно следует из закона всемирного тяготения (10.2); упругие силы однозначно определяются деформациями, т.е.
относительным расположеняем малых элементов тела, которые можно считать материальными точками. Силы трения движения непотенциальны. Действительно, направление силы трения противоположно направлению движения тела, иа которое оиа действует: Р;" сб, поэтому ее работа на любом пути, в том числе и замкнутом, отрицательна: А, ' м%,(1'7-%,(11) (15.11) Приращение потенциальной энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние В есть пп'„= Ю'„(П)-)г'„(1) и, следовательно, работа потенциальных сил равна прира- щению со знаком минус, т.е, убыли, потенциальной энергии: (15.12) П о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и е й системы материальных точек нюх!лается скалярная физическая величина, измеряемая работой, которая совершается потенциальными силами над точками системы при переходе ее из рассматриваемого положения в некоторое положение, в котором потенциальная энергия системы принимается равной нулю (нулевое положение).
Иногда потенциэльную энерппо определзют «эк рабату, которую необходимо соверплпь лосю. ранними вяеплюми симин, чтобы перевести систему из полонения с нулевой потенциальной энергией в рессмэтривземае. При этом явно предпалегаетсз, чта эти мош резвы по величине и противопалозмы па нэзтравмнию сияем, дейагвующим в системе . Рабаты тех и друпхт сил отлзчзютсэ знаком и чтобы скаипенсщювать это изменение энекв во второй формулировке псрестлзлегш начальное и калечное по.
лаиениз аиатемы. Чтобы получить формулу (15.12), воспользуемся независимостью работы потенциальных сил от способа перехода системы из начального в конечное положеющ и при вычислении работы А„; переведем систему щ положения 1 в положение 11 через нулевое положение 0: 1-е О -з Д (рис. 37). Тогда А„„" = А," е +А „ боты менять знак при перестановке начальной и конечной точек пути). Работы, стоящие справа, представляют собой по определению значения потенциальной энергии в иачаль- Рис.
37 ном и конечном положенни: А„, = 5",(1), А;, =%,(П), и мы првходим к формуле (15.1!). Обсудим ряд свойств потенциальной энергии. Во-первых, потендизльная энергия согласна определению зависит от положения системы, т.е от координат всех ее )Зз материальных точек: В;(х„у„гб ..;х„,у„,з„) В общем случае она не может быть представлена квк сумма потенциальных энергий отдельных точек системы, т.е. в отличие от кинетической энергии потенцнальнаа энергия не аддитивна. Во-вторых, потенпиальназ энергия зависит от выбора нулевого положения: если заменить нулевое положение О на другое О', то к значениям потенцнвльной энергии системы добавится одна и та же постоянная величина: )г".(л„у„г,) = В'„(хауог,) + сопя!, (15.13) Действительно, если при вычислении потенциальной энергии В при новом нулевом положении 0' выбрать путь, проходящий через прежнее нулевое положение О; 1-+О-+О',то 6",юАаюАг +А .= В',+саля!, так как А, = В'„а А есть постознная величина, зависящая только от нулевых положений 0 и О'.
Поскольку выбор нулевого положения вообще говоря произволен, то (!5.13) означает, что потенцизльнав энергия системы определена с точностью до произвольной постоянной. 53 Если в сис~еме действуют потенциальные силы нескольких видов, например, силы тзготення и упругие силы, то, поскольку работа суммарной силы равна сумме работ каждой силы в отдельности, полная потенциальная энергия складывается из потенциальных энергий, обусловленных силами каждого вида: /)'. =//"„' +и",нэ Согласно определению потенциальная энергия измеряется в тех же единицах, что и работа, т.е.
в СИ- в джоулях. Выведем формулы для потенциальной энергии простейших механических систем. Потенцнпльная энергии пружины. рассмотрим систему, состоящую вз двух тея, соединенных невесомой пружиной, длина которой в недеформированном состоянии /, (рис. 38 а). Если пружина упруго деформирована (сжата ияи растянута), то она действует на тела с силами, равными по модулю и на- !О правленными вдоль пружины: при растянутой пружине это силм и/ /йппйпй© притяжения, при сжатой - оттаякивания (рис. 38 б и 38 в).
Эти силы зависят от расстояния между телами и не зависят от скоростей. 49 ззззззф Следовательно, они удовлетворяют критерию потенциальности и б/ -г" г" рассматриваемая система обладает потенциальной энергией. Работа внутренних потенциальных сих, как бьшо показано, определяется только начальной и конечной конфигурациями системы и, еле- я) довательно, она не зависит от того, в какой системе отсчета вычисляется. Удобно связать систему отсчета с одним из тел, выб- Рис. 38 рав начало координат в положении равновесия второго тела и направив ось Ох вдоль пружины (рис. 39 а). Тогда работа будет совершаться только над вторым телом (первое в выбранной СО покоится) упругой силой г", /О проекция которой на ось Ох выражается формулой (10.11); Р, =-/сх, где /с - жесткосп пружины, х- О координата второго тела.
Малая работа ЬА при изменении координаты второго тела от значения х до значения х +Ьх (рис. 39 б) согяасно четвертому выражению в (15.2) равна ЬА = г, /ш = -)х Ох, а работа на конечном перемещении из состояния с координа- Г б/ той х, в состояние с координатой ха определятся ннз градом Аш =)"'(-/ )А =(С/шз//2))*, =2,'/г-/,*,/2п Ри .39 1 1 /х, /сс„ А 2 2 (15.14) г /)'„(х) =— 2 (15.15) где х - удлинение (сжатие) пружины. Согласно опредепению потенциальная эмергия измеряется работой, совершаемой потенциальными силами при переходе системы нз рассматриваемого положения (с координатой х ) в нулевое положение, в качестве которого естественно выбрать равновесное состояние системы, когда пружина не деформирована (х = О). Подставляя в формулу (15.!4) х, = х и хя =О, получаем формулу для потенциюзьной энергии системы двух тея, соединенных невесомой пружиной: Потенциальная энергия срсаитяционно взаимодействующих шара и материальной точки.
Рассмотрим систему, состоящую из гравитационно взаимодействующих шара массой М, в котором масса распределена сфернчески симметрично, и материальной точки массой т (рис. 40). Гравитационные силы потенциальны, поэтому рассматриваемая система обладает потенциальной энергией. При вычислении работы сил тяготения при переходе системы из состояния с конфигурацией ! (г=г,) в состояние с конфигурацией П (г=гл) выберем ССь в которой шар неподвижен н, следова- 1 т тельно, работа совершается только над материальной точкой силой тяготения (10.6). Вычисляя эту работу, )г воспользуемся произволом в способе перемещения и вы- 2! берем путь 1-+1'-+П, состоящий из дуги 1Р и радиг сс ального отрезка!'11, как показано парис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
