Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В тривиальном случае, когда все элементы тела находятся на одинаковых расстояниях от оси вращения (примеры: тонкий стержень, вращающийся относительно параллельной ему оси; тонкостенный цилиндр, вращающийся относительно оси симметрии (рис. 53)), в формуле (197) г=й=соэиг и 7=')ггут=')йс(т= 7(з(гйя=тК', те. г формула для момента инерции имеет такой же вид, как и дяя материальной точки. Сравнительно легко вычисляются моменты инерции однородных симметричных тел простой формы относительно их осей симметрии. В качестве примера выведем формулу для момента инерции тонкого однородного стержня длины 1 и массы т относительно перпендикулярной ему оси Оз, проходящей через середину стержня (рис, 54). Направим ось Ох вдоль стержня, выбрав начало отсчета на оси вращения.
Момент инерции оу отдельного малого элемента стержня длиной Ох, находящегося на расстоянии к от оси вращения, по формуле (19.6) равен гО = гЬихз. Масса г(т элемента равна произведению массы, приходящейся на единицу длины стержня т11, на длину элемента пх: пм=(т(1)Ж, так что аЧ =(м)1)х'г)х, Суммируя моменты х инерции всех малых элементов стержня, т.е, беря интеграл (19.7) в пределах от х, =-112 до х, =!/2, находим: Рис, 53 1 ! 3 ~„ !2 Рис. 54 Ниже приводятсв формулы для моментов инерции некоторых однородных тел простой формы относительно указанных осей симметрии; цилиндра, шара и прямоугольного параллелепипеда (ш - масса тела, обозначения размеров показаны на рисунке; оси проведены штрих-пунктирной линией).
67 1= — щй 1== тй 2 5 1= — ш(аз+5 ) 1 12 Моменты инерции оказываются пропорциональными массе тела и квадрату его характерного размера в направлении, перпендикулярном оси вращения. При этом коэффициент пропорциональности как правило меньше единицы, так как для большинства элементов тела их расстояние до оси меньше входящего в формулу размера тела. Поскольку в зависимости от условий задачи тело может участвовать во вращении относительно той или иной оси, возникает необходимость находить момент инерции тела относительно любой оси.
Существуют две теоремы, позволяющие выразить момент инерции тела относительно произвольной оси всего через три значения момента инерции, сводя тем самым задачу к нахождению этих трех так называемых главных значений момента инерции. В теоретической механике доказывается, что у всякого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые замечательны тем, что тело, будучи вовлеченным в свободное вращение относительно этих осей, стремится сохранить состояние равномерного вращения н ориентацию оси в пространстве, т.е. такие вращательные движения обладают инерцией.
Эти оси называются гл а в н ы ми о ся ми и н ер ци и, а моменты инерции тела относительно них и являются главными з печениями момента инерции тела. Замепэм, правда, что вращение относительно главной оси, которой соответствует промежуточное па величине значение главного момента инерции, валяется неустойчивым. У тел с симметричным распределением массы всякая ось симметрии является главной осью инерции.
Например, у однородного цилиндра таковыми являются ось симметрии, параллельная образующей цилиндра (укаэанная на рисунке вверху страницы) и бесчисленное множество перпендикулярных ей осей симметрии, проходящих через центр масс цилиндра. У однородного шара любая ось, проходящая через его центр, является главной осью инерции. Убедиться в инерционности врюцення тела относитеньно главных осей инерции можно, если подбрасывать пустой спичечный коробок, щелчком вовлекая его во вращение.
Инерцию проявят только вращения относительно главных осей 1 и 2 (рис. 50). а вращение относительно оси 3 с промежуточным по величине главным значением момента инерции 1, (1, > 1, > 1,), как и относительно любой другой осн, осуществить не удастся. Теорема. Момент ин ии о с ь о оси п охо ей че ез е масс тела и сос ав ю ей с главны главные значения момен а н ии 1„1„1, формулой 1 = 1, сов' а, + 1, соь" а, е 1, соз' а, (!9.13) Доквзательство этой теоремы выходит за рамки курса общей физики. Рис.
55 . н щ кото о оси не охо ейч ез ен асс Стела авен смен ин ии1отиос- о ей ч ез е масс плюс п оизве ение массы т ьно па алл ь он еи оси пса тйа Квадрат раацгоянйя Р между осами (рнс. 56): 1'=1+тР (19.14) Для доказательства теоремы проведем ось Ох с началом отсчета О в центре масс так, чтобы оиа проходила через обе оси перпендикулярно к ним.
Запишем формулу (19.6) для момента инерции и(' малого элемента массой йл тела относительно оси, не проходящей через центр масс, выразив квадрат расстояния до осн г" по теореме косинусов из треугольника на риа. 56: йя г' =йя(г' еР'+2 Эгсазр) =йи г'байя Рэ т2Ра(тх. Здесь г - расстояние от элемента тела до оси, проходящей через центр масс, и учтено, что гаазу= х - координата элемента тела в СО с началом в центре масс.
Суммируя обе части этого равенства по всем элементам тела, имеем: )г "йи=')г'йт+Р0()йи-~2Р()хйи. Два г г г первых интеграла явтпотся моментами инерции тела 1' и 1 относительно осей, соответственно, не проходящей и проходящей через центр маса; ) йл = т - масса тела, так что г Рис. 56 1'=16 0з+2Р) х 6и. Радиус-вектор центра масс тела определяется формулой ') гй (19.16) которая получается из формулы (! 2.2) для радиуса-вектора центра маса системы материальных точек заменой масс точек т, на массы йи малых элементов тела и переходом от суммирования к интегрированию по объему тела )г.
Следовательно, координата х, центра масс тела по оси Ох определяется формулой х, = — ) «йв, откуда ) хйт = х, т 1 г т г Но в выбранной СО центр маса находится в начале координат, следовательно х, = О откуда ) хйя = О и формула (19.1з1 переходит в соотношение (19.14), которое и гребокг валось доказать.
Теорема о параллельных осях позволяет вьгразить момент инерции относительно любой оси через момент инерции того же тела относительно оси, проходящей черт центр маса, который в свою очередь согласно формуле (19.13) выражается через главные значения момента инерции. Таким образом для нахождения момента инерции тела относительно любой оси достаточно знать три главных значения его момента инерции. 69 Для тел сложной формы или неоднородных по составу, когда плотность зависит от координат, непосредственный теоретический расчет главных значений момента инерции может окюатыж затруднительным и дюкс вообще неосуществимым.
Тогда на помощь приходят экспериментальные методы измерения моментов инерции. Один из таких методов основан на крутильных колебаниях, в которые тем или иным способом вовлекается исследуемое тело. Частота крутильных колебаний зависит от момента инерции тела (см, формулу (36.23) на с.
119) и последний может быть рассчитан, если измерить частоту колебаний и параметры установки, входящие в расчетную формулу. Кинетическая энергия вращающегося тела. Выведем формулу для кинетической энергии твердого тела массы т, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ех Кинетическая энергия НИ'„малого элемента тела массы А и, движущегося по окружности радиуса г с линейной скоростью г, согласно (15.5), (5.6) н (19.6) равна с!И', = йсЬлг' = 2 Нтю г' =Те(! аз~, где г!! - момент инерции рассматриваемого элемента. 2 Кинетическая энергия тела, как аддитивная величина, складывается из кинетических энергий всех малых элементов тела, т.е. определяется взятым ио всему объему тела ин- тегралом И'„=) аль =Т~ю*) о! .
Последний интеграл согласно (19.7) представляет сот г бой момент инерции ! тела относительно оси вращения, так что И, 31 2 2 (19. 17) Снова прослеживается аналогия с поступательным движением, при котором И'„= Тмг'. с учетом соответствия м еэ 1, г еэ го обе формулы совпадают. Работу силы Г, прилаженной к телу, вращающемуся относительно оси, также можно представить в виде, аналогичном случаю прямолинейного движения тела вдаль оси Ох. С учетом формул (15.3) и (14.3) (нижнее выражение) и замечая, что величина малого перемещения ау точки приложения силы по дуге окружности радиуса г связана с углом повоорота Нр соотношением Ы)=гдбз (см.
Рис. 57, на котором ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и изображается 1 Уэ точкой О), имеем; Ао = ) г; ау = ) г ге!Зз = ~ М, Н(а (сравните с Ы!=!а'ез ' рх ъ ф На г О формулой Ал = ~ И, а!г с учетом соответствия х+э гу, Рис. 57 г", а+М,). Сведем в одну таблицу физические величины и формулы, в которых проявляется соответствие поступательного (вдоль координатной оси Ох) и вращательного (относительно оси Ох) движений в инерциальной СО Охух; уб Таблица П летальное движение В щательное двнженне линейная координата х е+ угловая координата и Ф суг ое линейная скорость э = †, э, = — еэ угловая скорость ел сэ, =— оу ' сй сй Нэ Ь Фэх Нм Иге, ср р линейноеускорение е= —, а, = — '- —, е+ угловоеуск. 2Э= —, Д = — *= оу * Й оР оо ' оэ с Р масса т= ~йи У еэ момент инерции 1 = ~г*ож У импульс Р„= тэ„ сила Р„ е+ момент импульса 2 = ую еэ моментсилы М,=~гз,Ц мл ~,"Р, ! 2-й закон Ньютона,уэх уб= ХМаа ее ур - нне моментов кинетическая энергия: жу В'„= — еэ 2 ум~ Ж'„=— 2 работа: снл должна быть равной их сумме: Р ,"Г Р, а момент М равнодействующей относи- тельно любой точкн н осн - сумме моментов этих снл; М =',Г М, .
Так как момент си- лы завнснт от точки приложения силы, то всегда неоходнмо указывать точку приложе- ния равнодействующей. Центр тнжестн тела. В ряде случаев, когда на асолютно твердое тело действуют несколько снл, нхудается заменить одной - р аз н од ей с та у ю щей, т.е. оказывающей одинаковое с ними действие на тело.
Точнее говоря, замена нескольких снл на нх равнодействующую не должна изменить движение тела как абсолютно твердого. Поскольку в уравнении движения центра масс стоит сумма действующих на тело сил, а в уравнении моментов - сумма моментов этих сил, то равнодействующая Р нескольких 71 Силы тяжести, действующие на элементы тела массы т в однородном поле тяготения с ускорением свободного падения я, имеют равнодействующую Р = тй и ее точкой приложения является центр масс тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
