Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 12
Текст из файла (страница 12)
40. Работа на "4~' участке пути 1!' равна нулю, так как в каждой его точке сила тяготения перпендикулярна малому перемещению. На радиальном отрезке !'П сила направлена против Рис. 40 перемещения, поэтому работа на малом участке пути ЬА=Р,Ьг= (-бвМ/гз)Ьг, а вся работа определится интегралом Ав =) '(-бвМ/г )с(г =(-бвМ)) г зйг =АМ!(-с~ =бтМ/гсс- СепМ/г, св (г ~1„ Эапишем ее в виде тМ вМ Асс=(б ) ( 0 ). с;с (15.16) За состояние с нулевой потенциальной энергией обычно принимают состояние, в котором взаимодействие отсутствует, чему в нашей задаче соответствует бесконечное удааение материальной точки от шара (г -+ сс). Подставляя, в соответствии с определением потенциальной энергии, в формулу (15.16) г, = г н гл -+со, получаем для потенциальной энергии системы следующее выражение: и',(г) = -С— вМ г (! 5.17) Потенциальная энергия материальной точки, находящейся в однородном поле снл.
Пусть на материальную точку действует постоянная сила Р, величина н направление которой одинаковм во всех точках рассматриваемой области пространства (Р = соси!). В таком сяучае говорят, что материальная точка находится во внешнем постоянном однородном силовом поле. Т(окажем, что сила Р потенциальна, и получим формулу для потенциальной энергии материальной точки. Проведем ось Оз декартовой системы координат в направлении, противоположном силе Р.
Тогда, как мы увидим, потенциальная энергия будет возрастающей функцией одной координаты г точки. Сначала вычислим работу силы Р при перемещении точки из положения 1 (координата г,) в положение !! (координата хл), предполагая форму пути произвольной (рис. 41). Для работы ЬА на малом перемещении Ы воспользуемся четвертым выражением в (152), замечая, что Р„У;=О, Р,=-рс ЬА Р.лг=-РЛл . 55 Работа силы Г при переходе из состояния У в состояние 1! выразится интегралом Аш =) (-Г)пз= Гг, -Гг,: Аш =Их, — Гзл (15.18) Она оказалась зависящей только от начального и конечного положения точки, в то время как при выводе путь предполагался произвольным. Следовательно, материальная точка, находящаяся а однородном постоянном внешнем поле сил, обладает потенциальной энергией. Если за нулевое положение принять положение материальной точки с координатой г=0, то формулу для потенциальной энергии точки получим из (15.18), полагая з, = з и з„= 0: Рис.
41 И',(з) = Г з . (15.19) Частным случаем этой формулы является известная школьная формула для потенциальной энергии тела массой щ, поднятого на высоту л над поверхностью Земли: И'„= мрем . (15.20) Действительно, в небольшой по сравнению с радиусом Земли и области вблизи земной поверхности сила тяжести практически постоянна по величине и направлению и равна Г =ей =ссщг, а з = л, Когда материальная точка находится иа расстоянии от поверхности Земли, сравнимом с радиусом Земли, формула (15.20) перестает быть справедливой и необходимо пользоваться строгой формулой (15.17), учитывающей зависимость силы тяготения от положения точки. Рекомендуем, глядя иа пары формул (15.15)-(15.14), (!5.17)-(!5.16), (15.19)-(15.18), лишний раз убедиться в справедливости формулы (15.11).
Закон изменения и сохранения механической энергии. Введение потенциальной энергии позволяет завершить вывод закона изменения и сохранения механическом энергии, осуществляя который мы остановились на теореме о кинетической энергии (15.10). В стоящей в правой части этого равенства работе всех сил, действующих на точки системы, выделим работу потенциальных сил: И'„(!!) - )Р„(/) = А,„""' '""+ А,'а, (15.21) выразим ее согласно (15.11) через изменение потенциальной энергии Аш ' * )Р ()) — Ц(!)): И"„(П)- ЪУ(() =И(())- И'„(И)+ А'„, (15.22) и перенесем в левую часть равенства: (И„(Д)+(Р„(и))-()Р„())+)Р„(Д)~ = А;л, (15.23) И'= И"„+И'„.
(15.24) Тогда формула (15.23) запишется в виде: Здесь А,'а - работа непотенциальных и прочих сил (возможно и потенциальных), работа которых по тем или иным причинам не учтена в потенциальной энергии системы. Назовем сумму кинетической и потенциальной энергий м е х а н и ч е с к о й э н е рг и е й системы материальных точек: И(Д) "!(7)=А)и (15.2э) - приращение механической энергии системы материальных точек равно работе непотенциальных и прочих сил, не учтенных в потенциальной энергии системы.
Таково содержание закона изменения механической энергии. Работа каждой непотенциальной силы в правой части (!5.25) отражает превращение энергии нз механической в другие виды энергии. Так, за работой сил трешщ скрывается переход механической энергии в тепловую. Если силы, не учтенные в потенциальной энергии, совершают положительную работу(А'>0), она идет на увеличение механической энергии системы: 06'и!Р(Д)-(Р(7)>0 . В случае А'<О 0 И и и (Д)-)Р(!) < 0: механическая энергия убывает, переходя в другие виды энергии. Если силы, не включенные в потенциальную энергию, таковы, что в процессе движения системы их работа равна нулю: А'=О, то Ф(7)=И'(Д) для любых состояний 7 и 7! системы, т.е.
ее механическая энергия остается неизменной: А'=О -+ И'= И'„4И;= союз (! 5.26) -таковосодержание закона сохранения механической энергии. При этом кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно, но в другие виды механическая энергия не переходит. Обычно предполагается, что работа всех снл, кроме непотенциальных, учтена в потенциальной энергии системы; тогда А' в (15.25) представляет собой работу иелотенциальных сил и достаточным условием сохранения механической энергии становится отсутствие непотенциальных сил.
Непатенциальиымн являются всякого рода силы трения и сопротивления, как было показано ранее, а также силы, возникающие при неупругнх деформациях (о них см. в Я 23,25). Закон изменения энергии (15.25) можно записать в дифференциальной форме, как были записаны законы изменения импульса (13.4) и момента импульса (14.9). Для двух близких состояний системы, разделенных малым промежутком времени бг, имеем: 06'= ЬА'. Разделив на Ьг и переходя к пределу при 01-+ О, получим: (15.27) где М'=А4'/о) - работа за единицу времени, т.е. м о щ н о с т ь, развинаемая силами, не включеннымн в потенциальную энергию.
Потенциальные кривые. Рассмотрим систему, в которой действуют только потенциальные силы, и, следовательно, ее механическая энергия сохраняется. Для простоты ограничимся случаями, когда потенциальная энергия зависит только от одной координаты, которую обозначим г, как в формуле (15.17) (в формулах (15.15), (! 5.19), (15.20) такой координатой являются соответственно х.з.й). Графики зависимости И;(г) потенциальной энергии откоординаты называют и о те и ц и а л ь н ы м и к р ив ы ми, илн потенциальным рельефом; оии оказываются весьма информативными, позволяя сделать ряд качественных заключений о поведении системы.
Пусть для определенности речь идет о системе двух взаимодействующих тел, од!о из которых находится в начале координат (» = 0), и будем интересоваться сивой Р, действующей на второе тело с координатой г. Работа сил при малом изменении с(г расстояния между телами согласно определению равна б( =Р'„Иг; с другой стороны согласно (15.12) 64 = -АИ'„, так что угА(г = -ЫИ', и, следовательно, (1528) 57 - проекция силы равна взятой со знаком минус произвопной потенциальной энергии ло соответствующей координате.
Это означает, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии, а по величине тем больше, чем круче потенциальный рельеф, На рис. 42 для потенциальной кривой общего вида силы изображены стрелками. Ми- нимуму и максимуму потенциальной энергии соответствуют положения равновесия; Л;(г) = Л(гэ) = О, нз котоРых пеРвое (г =г) Устойчиво (пРн малом смещении системы возникают силы. возвращающие ее в положение равновесия), а второе (г = г,) - неус- тойчиво. Потенциатьиый рельеф в окрестности минимума называют п о т е н ц и а л ь- ной ямой, авокрестностимаксимума - потенциальным барьером. Поскольку кинетическая энергия не может быть отрицательной (И; > О), то система может находиться лишь в тех состояниях, в которых ее полная механическая энергия больше или равна потенциатьиой: Иг= И; +И,', > Иы Если, например, система нахо- дится в области потенциальной ямы и ее постоянная энергия И', меньше высоты потен- циального барьера, то она в процессе движения не может выйти за пределы области, ограниченной значениями г и г, координаты г (рис.
42). Движение системы в ограни- И(1 ченной области пространства называется ф и н и т и ы м. Обладая той же энергией Иг, на находясь справа от барьера, система может двигаться в бесконечной области г, < г < сс - такое движение называется и н ф и н и т н ы м. Игз- В обоих случаях, подходя к барьеру, система не может его преодолеть, так как в областях г <г, и г, <г <г, было бы И', <И', (г„г„,г, -точки в аз вр а та]. Чтобы система 0 смогла преодолеть потенциальный барьер, оиа должна гг,г г г г l з 3 з 5 б иметь энергию, которая больше "высоты" барьера; так, при энергии Из движение иифииитно и может происходить в области г, < г < сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
