Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При поступательном движении тела вектор )(в остается постоянным, так как не изменяются ни его модуль (в силу абсолютной твердости тела), ни его направление (по определению поступательного движения). Дифференцируя соотношение (18.1) по времени, приходим к равенству скоростей: с,(1)-т„(1) =О, или (18.1) (18.2) а дяфференцируя (18.2) - к равенству ускорений точек тела: Рис. 46 а,(1) = а,(1).
(13.3) Поскольку все точки тела движутся одинаково, поступательное движение вполне описывается кинематическим законом движения одной произвольной точки тела, и, следовательно, тело, могущее совершать только поступательное движение, обладает тремя степенями свободы. Но уравнение движения одной замечательной точки телаего центра масс - известно: оно дается теоремой о движении центра масс (12.5).
(Еще раз подчеркнем, что законы, доказанные для произвольной системы материальных точек, справедливы и для твердого тела как частного случая такой системы): та, =,'ГУ; (18.4) Здесь т - масса тела, а, -ускорение центра масс тела, ,'з Р; - сумма оил, действующих на рассматриваемое тела со стороны других тел. Тысим образом поступательное движение тела подчиняется второму закону Ньютона со всеми вытекающими последствиями. Будучи одинаковыми при поступательном движении, скорости элементов массы Дм, тела определяют скорость з тела как целого: э, = г. В результате формулы для зависящих от скорости физических величин (импульса, кинетнчесекой энергии и т.д.), характеризующих поступательное движение тела, оказываются такими же, как для материальной точки: Р=,~ бтг =г",Гдщ тэ, )р„=Я-йтт = — с ~~~ бль=-тт, итд.
(!85) 1 3 1 3 1 з 2 2, 2 8 19. Вращательное движение тела относительно оси. Кинематика. При описании вращения тела относительно оси условимся направлять ось Оз декартовой СО вдоль оси вращения. Положение тела можно охарактеризовать углом д, который составляет радиус-вектор некоторой точки тела, лежащей в плоскости хпу, с осью Ох (рис. 47).
Следовательно, тело, которое может совершать толька вращательное движение относительно неподвижной оси, обладает одной степенью свободы. При вращении тела радиусы-векторы (относительно оси) всех его точек за малый промежуток времени ог пово- г рачиваются на один и тот же угол лн, поэтому угловые ской рость и ускорение имеют одинаковые значения для всех точек тела и могут служить характеристиками вращения тела как целого (см, формулы (5.2) - (5.5)); (!9.!) Рнс.47 з)= — =)).й А = — *= —,. (!9.2) ьй * ' * лу сй' Момент импульса вращающепнж тела. Выведем формулу, связывающую момент импульса тела хъ относительно оси вращения и угловую скорость ю тела.
Момент импульса лье отдсльнога малого элемента тела массой з(т, рассматриваемого как материальная точка, определяется формулой (14.4): сз., ='(г,Ир) =[г,сщ г), где г - ралиусвектор элемента относительно оси вращения, фз = сгл г — импульс элемента, причем его скорость в связана с угловой скоростью сз тела соотношением (5.4): г = юг (рис.
48). Последнее векторное произведение имеет модуль Вл гзм н направлено по угловой скорости а, так что лУ„= (Ощ г') ю, (!9.5) а момент импульса Ьс всего тела, как величина алдитивная, равен сумме моментов импульса его малых элементов: (19.4) г Г.г символ )г у интеграла означает, что интеграл берется по объему Р тела. 63 Скалярная физическая величина, равная произведению массы и материальной точки наквэдратсерасстояния г отосн вращения, называется м о м ситом и перлин и материальной то чк и относительно осивращенюс 1 = тгэ.
(19.зэ Момент инерции по определению величина аддитивная, т.е. момент инерщаи 1 тела равен сумме моментов инерции оу =гйя г' (19.6) его малых элементов: (19.7) С учетом (19 6) и (! 9 7) формулы (19 3) и (! 9 4) принимают вид: (!9.8) (19.9) 2( - момент импульса как малого элемента тела, так и всего тела относительно ося вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси иа угловую скорость тела. Покэкси, что дчэ свммстричногс тела, вращающегося отноопсаьяо оси сюсмсзрии Оз, формула (!9Я) спрэвсдэюм и дю момента юптузьса й атиосмзсвьно амбал точаи этой сои: 6= 1 = 1в.
Вследствие симметрии тэлэ вескому малому его элементу массы Йт ссошсштвуст симметрично располоюнамй относительно оси врмясэиэ элемент той кс массы, во с пратавополозио на- г прэвшвиай скоростью г' = -г (рис. Сэ). Вспашем суммарный мамонт импульса такой пары злсмситсе отиоапсльно некоторой с(э~"м Н.з «ю» тачки О оси вращсвия, представлю их радиусы-векторы г и г' кэк сумму ссстэвзмощих, иэпрэвюиных псрпсщщкуларис в г' пэраллюьио оси врылмчи» Оя: г = г„+й и г'=г,'+г, (па- с(т с(щ раэюэьюсс состэвюввлис равны: г' = г,): Ж ' = яу + Ж' = гг э (г, Итг]+ [г', Ош г ] = [(г„+ г ), Ози г]+ [(г( + г ), о)из ] = [г,с)юг]+[г„Итг]+[гс, О из ]+[!оящг']=аут+ О [г, Оюг]е Од,'-[г„лют]=яут ьи,,'=л(т г .
поскольку все тею мозно прсдстэмпь кэк совокупность дар ссстсстсшмпщх Рис.49 элементов, то и дю полного момента импульса теса А = ут, что и трсбсвэлссь доюзать. Как следует из определения (19.7), момент инерции тела относительно оси зависит от того, как распределена масса тела относительно этой оси. Момент инерции тем больше, чем более удалены элементы тела от осн, так как тем больше их вклад (за счет г* в формуле (19.6)). Так, например, момент инердии однородного бруска максимален относительно оси симметрия 1, параллельной короткому ребру, и минимален относительно оси симметрии 2, параллельной длинному ребру: 1, > 1, (рис.
50). Рис. 50 Формула (193) позволяет суюпь об изменении момента импульса вращающегося тела по изменению сто момента инерщщ и упювсй скорости, что делыт негющмзм прощлщзщ закона сохремсщщ момента импульсе в системах с врмпающниищ тевыщ, Весьма и)биктзщ ыкциоииые демонстрации сс "скемзой Укуасжжого", которве иаищ вращаться относзпельно вертикальней сон. Если преп«бр«чь силами трения, то момент импульса скамьи вместе со всем, что на ней находите», относительно оси вращения должен сахрензтьса, тмс кск момснтм относитезьмс стоя осн прочих вмещних сил - силы тяжести и рсакпин опоры ° равны нулю. 8 одном Нз опытов демонстратор сидит нв скамье с мессивнмми ганг«- длин в раздвинупсх руках и «кемь» приводится во врмдение.
Котя» демонстратор прибливвст ганге:щ к туловщву, номснт иисрцви систсмьз умемьщеется, и а соответствии с законом сохренених момента импульса Йо = солят угловая скорость вращения увеличивается (рис. 51 е). В другом варианте демонстратор держит в руках велосипедное кощее, укреюиннос не вертикальной оси (рис. 51 б), причем вначале скамья и кащсо неподвижны (Ф,„= ез = О). Когда демонстратор начинает рещщучиветь колесо (Ф мО), скамья с демонстратором приходит во вращение (ю,„мб) в пронщоположном направлении, поскольку момент импульса системы должен остввзтьщ равным нуно.
Г югоlмг юз>ю! ькк 15 .у а) б) Рнс. 51 Уравнение движения для вращения твердого тела относительно оси (уравнение моментов). Второй закон Ньютона для материальной точки (7.1) - (7.4), являясь в то же время законом поступательного движении тела, для вращательного движения тела как целого теряет смысл, поскольку в этом законе фигурирует ускорение одной точки, а при вращении тела его точки имеют различные ускорения. Чтобы получить уравнение движения для вращения тела относительно оси Оя, рассмотрим тело как совокупность малых элементов, т.е.
как частный случай системы материальных точек, и воспользуемся законом изменения момента импульса относительно оси Оя (!4.15!. Подставляя в него выражение (19.9) для момента импульса тела н учитывая при дифференцировании, что момент инерции тела не зависит от времени, «Ъ получим; ) — =,'ГМ;,",„". Заменяя согласно (19.2) производную углоной скорости по времени на угловое ускорение н опуская символ "внеш." у моментов сил, имеем: ) )5 = 'Г М,, (19.!О) п онзве ениемоментаин интсла относительно осин а е яна гло ое о ен е авно с мме моментов относительно той же осн снл ейств нх а ассма нвае- мое тело со сто о ы тих тел. Уравнение (19.10) является уравнением движения для 65 вращения твердого телаотносительно оси; его называют уравнен нем м о и ент о в, так как в нем фигурируют момент инерции и моменты сил.
При решении задач уравнение моментов (19.10) записывают в проекции на ось вращения Ох; с учетом (19.2) имеем: (19. ! 1) Напомним фоРмУлы длЯ модУлЯ момента силы М, =[гх,р ] относительно оси Ок (!4.3 а) Здесь г„- радиус-вектор (относительно оси) точки приложения си- лыГ; Р=~+)г+Р,, Р =Р+Г; составляющая силы, перпендикулярная оси вращения; а - угол межлу векторами г и йи Е,= г яма - модуль активной составляющей г", силы г"; е( = г", зш а- плечо силы гх (рис. 52). Знак входящей в уравнение (19.11) проекции М, = чй!М,! необходимо проверять в каждом конкретном случае (см. далее формулы (36.10) и (36.20) и комментарий к ннм).
О) Рис. 52 нально моменту инерции: б = ~Г Моя 77, вытекает физический смысл момента инерции тела: чем больше момент инерции, тем меньшее по величине угловое ускорение приобретает тела под действием данного момента приложенных сил. Следовательно, момент 5-4467 Заметим, что уравнения движения для поступательного (второй закон Ньютона) и вращательного (уравнение моментов) движений имеют одинаковую структуру с той лишь разницей, что в уравнении моментов вместо линейного стоит угловое ускорение, вместо суммарной силы - суммарный момент сил, а вместо массы тела - его момент инерции относительно оси вращения. (Такое формальное и смысловое соответствие величин и формул, описывающих поступательное и вращательное движение тела, можно проследить и далее - см.
таблицу на с. 70.) Поэтому для тела, вращающегося относительно оси, можно ставить и решать такие же задачи, что я для движения материальной точки или поступательного движения тела. Например, прямая задача в случае вращательного движения, т.е. нахождение кинематического закона вращения и(!), состоит в решении дифференциального уравнения (!9.11) при заданных начальных условиях: р(0) = р, и сз,(0)= ю,. (Рекомендуем забежать впереди сопоставить решения задач о свободных колебаниях пружинного и физического маятников в 9 36).
Из уравнения моментов, согласно которому угловое ускорение обратно пропорцио- 66 инерции относительно некоторой оси является мерой инерции тела, вращающегося относительно этой оси, подобно тому как масса есть мера инерции тела при его посту- пательном движении, Вычисление моментов инерпии. Являясь фундаментальной характеристикой тела, момент инерции появляется практически во всех формулах динамики вращательного движения твердого тела, поэтому возникает пролема его вычисления. В простейшем случае, когда тела состоит из отдельных материальных точек, соединениых невесомым каркасом, его момент инерции просто равен сумме моментов инерции всех точек: 7 = ~ 1, = ~Г т, г (19. 1 2) Для тел конечных размеров с непрерывным распределением массы момент инерции вычисляется интегрированием согласно определяющей его формуле (19.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
