Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 22
Текст из файла (страница 22)
95 » О = ) Ж = — ) ()Т - г ) 2г с(г = - — ) ()(з - гз ) с(()(з - гз ) = -— лРдР» лРДР г..., лРТ»Р й -" ) 4 982, 4 г)М. ) 4 з)АД 2 Π— — )7" . Ее называют ф о р м у л а й П у а з е й л я: лР ДР 89 И. О= — — Я' лР бр 89 Ы. (29.6) Обращаем внимание на сильную зависимость расхода жидкости от радиуса трубы. Число Рейнеяьдсэ. Из физических величин, зэдсиствов»нных в тои или ннон теории, нногдэ уд»- ется построить бщцязннщццй величину, причем окэзые»стоя, что хярехтср поведения фнзнч«скоп системы вполне определяется зн» кинем од»он зтсй величины, безотносительно к тону, з» счет кщих зи»чснид гпдсыных физических величии зто значение достиг»ется.
Т»кнс бсср»змсрныс величины н»- зыв»ются кригер няни п ода 6 и». Легко убедиться,что вгндродюммнке(и»»радин»мике)од. иии нз критериев подобия является следующяя «оибии»ция физических величин: )(е =— Рэ2 77 (29.7) незя»нн»я в честь»нглиискага физике числ он Рсй н с» ьдс». Здесь Р -платнссзь жид»ости или гэз», т ° хэрэктерн»я скорость, (. - х»рэкзсрнын линсинын размер, г) - коэффициент днн»нич щан вязкости 0 там, что с»сдует понимать лад с н Д. необходимо четко агсв»ривэть в «эядои конлрст. ном типе з»д»ч Тэк, н»пример, при течении жидкости по длинном трубе зе х»рэктерныи линеиныи рэзнср прннннвют дн» етр труб»к э з» х р»ктсрнзэ с срс«п.
- »Р д сс знэчснн к»рюти и ссчснн тр бы. Зн»чсние числя Рейнольдс» определяет хэрэкзэр течения жидкости илн гезэ. Для к»яд»го типа задач существует «ритичсскас знечснис числ» Рсннсльдс» Яг,, такое. что при Яг < Яг, тсчсннс ле. г мин»риос, » при )(г > )(е„-турбулентное. Для т "»ения жидкости и»трубе Яг„ц2300 г "Р К щслу Рейнольдс» приходится абр»мяться при моде»нрав»нин, Т»ж например, прн нспытвннн иод»ли лет»тельного аппарата, меньщсй аригинялэ, для сохранения хэр»ктср» »Втек»ния нсабхаднис соотвсютвующни образом изменить х»Р»ктсристики обтекающего сс потока, чтобы зн»чсми» числ» Реииольдс» было таким же, «»к в условиях зксплу»т»цян.
Формула Пувзейля. Вычислим массу жидкости. протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени (р а с х о д ж и д к о с т и). Разобьем мысленно сечение трубы нв колечки столь тонкие. чтобы в пределах колечка значения скорости можно было считать одинаковыми (рис. 84). Через одно такое колечко радиуса и, ширины с(г и площади сзб = 2лгпг за малое время г)7 протечет жидкость, находящвяся в объеме полого цилиндра, основанием которого является рассматриваемое колечко, з (г) з(г а высота равна аг(7 (см, пояснение к формуле (24.2)). Мас- )( са с(т этой жидкости равна произведению ее плотности р г1 нэ объем цилиндра с(У =Злг»6 сщ .
С учетом формулы (29.5) от=р2лгг(кис(7=2лр((зр(49бь)Я' — г')ггрг(г, так что расход жидкости через рассматриваемое колечко йг Ж =г(щ)г)г =лр(цо)497)ь)()т' -г')2гз(г . Суммируя такие выражения по всем колечкам. т.е. беря интеграл по сечению трубы б, получим искомую формулу для расхода Рис. 84 жидкости: 94 Глава ЗЗП ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА Законы динамики, о которых щла речь в предыдуших главах, справедливы в инерциальных СО. Простейшие примеры показывают. что в неинерциальных СО, движущихся с ускорением относительно инерциальных. второй закон Ньютона не выполня- етсв.
Так, при равенстве нулю результирующей действующих на тело сил (~Р, =О) тело в согласии со вторым законом Ньютона покоится или движется с постоянной скоростью относительно любой инерциальной СО, в то время как относительно неннерциальной СО.
движущейся относительно инсрциальной с ускорением а„, это тело имеет отличное от нуля ускорение -а„, что противоречит второму закону Ньютона Основная цель настоящей главы - получить уравнение движения материальной точки в простейших неинерциальных СО - равноускоренной и равномерно вращающейся. Законы динамики системы материальных точек и твердого тела выводятся из этих уравнений движения точно так же, как в случае инерциальных СО. б 30. О сложении ускорений Если материальная точка движется относительно СО К', которая в свою очередь движется относительно СО К, то говорят, что движение точки относительно СО К складыащтся из ее движения относительно СО К' (о т н о с и т е л ь н о е зшижение) и движения СО К' относительно СО К (л е р е н о с н о е движение). Ранее (см.
9 6) был рассмотрен простейший случай сложения движений, когда обе СО двигались друг относительно друга поступательно и с постоянной скоростью. При этом, как было показана (см, формулы (6.2) и (6.3)), скорость ы точки относительно СО К складывается из ее скорости ы'относительно СО К' (о т н о с и т е л ь н о й с к о р о с т и) и скорости «ы СО А" относительно СО К (и е р е н о с н о й с к о р о с т и): ы = ы4ы,. Поскольку переносное ускорение а, = цы,уз(г в рассматриваемом случае равно нулю (т.к.
ы, = согмг), то полученный результат а = а' по существу означал. ых что относительное и переносное ускорения также /,~ складываются: а = а'ьаз. Будут ли складываться скорости и ускорения также и а общем случае произвольного движения СО К' и К друг относительно друга? На рис.
85 изображены два положения движущейся точки, а также "движущейся" СО К' в два бяизких момента времени г и з4бг. Видно, что малое перемещение Аг тачки относительно СО К можно представить как сумму и е р е н о с и о г о перемещения 60, т.е. перемещения вместе с СО К' (как если бы движущаяся точка застыла в момент з в точке А СО Рис. 85 К'),и относительного перемещениябг' (перемещения относительно СО К'): ~ А Лу .г бь бз з)з' 1ржз' 95 Разделив обе части этого равенства на Аг и переходя к пределу при ум -+ О, имеем Лг/г(г = лг,/пг+лг'/от . Слева стоит скорость к точки относительно СО К, а справа- сумма переносной т„и относительной т'скоростей точки, т.
е, скорости складываются: т = г„ч- эц (30.2) дифференцируя равенство (30.2) по времени, имеем: па/й =от„/ог+ с(э'/с(г. Слева стоит ускорение я точки относительно СО К, так что лэ, ая' а- 04 й сй (30.3) На первый взгляд слагаемые дщ/ез и с(Ы/сй в правой части представляют собой переносное ае и относительное а'ускорения. Однако это сказывается верным только при поступательном движении СО К' относительно К. В противном случае ускорения не складываются и справа появляется добавочное слагаемое; при поступательном движении СО К' отн. К; а =а, +а', при непоступательном движении СО К' отн.
К; а =а, +я'+а, . (30.4) (30.5) 8 3П Ускорение Корнолиоэ Рассмотрим СО К'. равномерно вращающуюся относительно "неподвижной" СО К с угловой скоростью ю. Пусть обе СО имеют общее начало координат 0 и совпадающие координатные оси Оя и Оз', по которым и направлена угловая скорость м = сощг (рис. 86 а).
Рассмотрим движущуюся материальную точку и выразим ее ускорение а относительно СО К через переносное ар и относительное а'ускорения. Чтобы упростить выкладки, будем считать, что относительно СО К' точка движется прямолинейно, удаляясь от оси вращения в радиальном направлении; тогда ее траектория относительно "неподвижной" СО К имеет вид развертывающейся спирали. (Для наглядности можно представить себе, что СО К' связана с равномерно вращающимся в плоскости чертежа диском, по направляющей радиальной рейке которого со скоростью и'(г) скользит шайба). Скорость т точки в каждый момент времени складывается из ее переносной и относительной скоростей тэ и тз (3! .1) Подчеркнем. что о переносных скорости гя и ускорении ае можно говорить как о скорости и ускорении СО К' только при ее поступательном движении, так как только в этом случае их значения одинаковы у всех точек СО К'. При непоступательном движении СО К' относительно К значения переносной скорости, как и переносного ускорения, различны в разных точках СО К' ив формулах (30.2) и (30.5) эя и а, означают скорость и ускорение той точки СО К', в которой в данный момент находится рассматриваемая материальная точка.
Сейчас будет дан вывод соотношения (30.5) для конкретного случая, когда СО К' равномерно вращается относительна СО К, из когорога станет ясным, почему при непоступательном движении СО К' ускорения не складываются. рр (! Оз О'г' ю - ла зажилили Рис. 86 а с(() т(( Оя,Оз, 'аз-ни ариилмлл Рис. 86р Рис.
86 б йяр а = — '.~.—. ~йр ар (31.2) Это разложение представлено на рис. 86 а для двух положений движущейся точки в близкие моменты времени з и р.ьр(ы там же изображены траектория и скорость йр(р+рр) той точки А СО К', в которой в момент времени р находилась рассматриваемая материальная точка. Дифференцируя (3!.!) по времени, имеем: 97 В первом слагаемом р(рр/р(г приращение переносной скорости Агр =г,(!+ау)-р (р) можно представить как сумму двух приращений скорости: рррр =[ар(Г+рй) — «,(г+рй)1+ [Рр(гьР(г) — гр(г)~ = Аг, +Р(Р (Рис. 86 6), так что р(гр р(" р!рр р г „р р(г рй р(г (31.3) Здесь Ирр =рр(с+р(г)-гр(г) прелставляет собой приращение скорости фиксированной точки А СО К', поэтому второе слагаемое в (31.3) дает переносное ускорение ар.
Оно в нашем случае является центростремительным ускорением (5.6), так как точки СО К' движутся равномерно по окружностям: Агр — аа =-ерг. й (31.4) Приращение р(гр~ =[рр(г+Аг)-гр(гьргу)1 в (31.3) обусловлено различием скоростей Разных точек СО К' н вызываетдобавочное УскоРение ар~ =Агр 7РР(г . (ПРи постУпательном движении СО К' скорости всех ее точек одинаковы: г,(!+ау)=р,(г+Аг), так что Ырр~ = П и такое дополнительное ускорение не возникает). Как видно нз рис. 86 б, й, ~=гр(гьарг)-бр(г+р(г)= ар(г+р(г)-си=аррЬ =ел'ак Нетрудно убедиться, что в векторной форме рЬр~ = [ар.г']Аг, так что рЬ, — а, = [ез,р'~.
р(г (31.5) С учетом (31.3), (31.4) и (31.5) первое слагаемое в (3!.2) принимает внл: — = — ср г+ [ар,р'~ р(р р рй ар ар (31.6) Рассмотрим теперь второе слагаемое р(г'ррр(г в (31.2). Приращение рЬ' относительной скорости точки также можно представить в виде суммы двух приращений: рн' = Аг; „+ рЬ' (рис.
86 6), так что (31.7) Приращение Аг' р, представляет собой изменение вектора г' относительно СО К' и дает относительное ускорение а'. г'— «Ь' Аг (31..8) 7-4467 а приращение р(р' обусловлено поворотом вектора г'относительно "неподвижной" СО К и приводит к добавочному ускорению а,' =р(г,' /Ф. (При поступательном движении СО К' относительно К с одинаковой ориентацией их координатных осей изменение относительнойскорости г' в обеих СО одинаково; р(г'ийг.' к, идобавочноеускоре- 98 ние не возникает.) Как видно из рис.
86 б, [ат,' ~ = с'с(р=т'вй. Легко проверить, что в вектоРной фоРме Дс,'им[в,е']с)Г, так что Де /Д)иа =[вж]. С учетом (31.7). (31.8) и (31 9) второе слагаемое в (31.2) принимает вид: (31.9) — =а'+[в т]. (3!.10) оу ас с Подставляя в (3!.2) выражения для Д,/ег и с(с'/с(! из (31.8) и (3!.1О), имеем окончательно: а -егг +е'+2[в,с'] . а, и а„ ас с (3!.11) Добавочное слагаемое в формуле сложения ускорений в случае равномерного вращения СО и ' относительно К называется у с к о р е н и е м К о р и о л и с а: авэмй[вс] Полученный результат справедлив при любом относительном движении точки. (31.12) Фориулу (3!.!2) молив получить более формальным путе», жяффсрсиоируе вектор скорости е: т = ос г+ же'„(т и е', -мвмичнме ыкторы в направлении векторов сан э ), сЬ стэ с(Г сЬ',, с(е,' а = — = — 'г+т,— + — е,'+с' — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
