Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 26
Текст из файла (страница 26)
99 утверждение. Из векторной диаграммы по теореме косинусов находам амплитуду А результируюцгего колебания: (35.!) и его начальную фазу: сй Р А,совр,+А соя!с, (35.2) Как следует из формулы (35.1), амплитуда рщультирующего колебания при заданных амплитудах А, и А, существенно зависит от разности фаз рз — и, складываемых колебаний. Она максимальна и равна А =А,т~, если аоз(р,— р,)=+1, т. е.
если р, — р, = 2ял, и = 0,Н,х2,...(колебания синфюны) (рис. 100 а). Она минимальна и равна А„, =сА,— ~(,если соз(Сз -сс,)=-1,те. (о,— р,=(2лт1)л, л=а,йс,х2,...(колебаиияв противофазе) (рис. 100 б). Таким образом, условие максимума (А„„, = А, + А,); условие минимума (А,.
=1А,- А,1). Юз (с, = 2мк сз,— го, =(2л+1)л, (35.3) (35 А) А мА,+Аз А. А, О Аз О А=А -Аг А, и) Рис. 100 При равных амплитудах складываемых колебаний максимальная амплитуда вдвое больше амплитуды каждого из них, а А =О, т.е. противофазные колебания при А, = А, взаимно уничтожаются. На векторной диаграмме условию максимума соответствут сонеправленные векторы-амплитуды А, и А,, а условию минимума - векторы А з и А, противоположных направлений. Полученный результат может быть использован при сложении любых скалярных величин, совершающих гармонические колебания одинаковой частоты.
Он применим и к сложению гармонически колеблющихся векторных величин, если векторы направлены вдоль одной прямой, поскольку в атом случае задача сводится к сложению проекций векторов на их общее направление, т.е. к сложению колебаний скалярных величин. Биения. При сложении скалярных гармонических колебаний с разными частатамн гармоническое колебание а результате не получится.
Интересен случай, когда складываются колебания с близкими частотами сз и велш, где Ьш«м . Считая для простоты А,=Аз=А и ржйзмО, имеем: х(г) =Аваев+Аз(е(шеЬгс)г= А(з)пее тат(медее)г)= СЛЕ(МЕЬГС)Г гп-(шЕЬГС)Г Ьш А 2пп 2 соз 2 2 =2А соз — г з(пат, где мы пренебрегли Ьш по сравнению с гс подзнаком синуса: Ьм х(г) = 2А соз — г 3!и гсл 2 А(г) (35.5) Эта формула отличается от формулы гармонического колебания тем, что множитель А(з) = 2Асее(Ьв/2)д играющий роль амплитуды, сам медленно (Ьмчс м) меняется со временем по гармоническому закону. График формулы (35.5) представлен на рис.
! О1: точки, для которых ип сл = 01, лежат на кривых, соответственно, йА(г). изображенных штрих-пунктирной и пунктирной линиямн, Таким образом, в результате сложения скалярных кояебаний с близкими частотами получается почти гармоническое колебание с частотой, близкой частоте складываемых колебаний, но с медленно осциллирующей амплитудой. Это явление называют б и е н и я м и . А,+А .. !Ар-Аз~ ВА О Рнс. 102 Рнс.
1О1 Возникновение биений легко понять на качественном уровне, не прибегая к выкладкам. Второе колебание можно записать в виде: х (г)=Аия(ю+Ьа)!=Анп(ая+бмг) и рассматривать второе слагаемое Ь(з(!) = бю г в его фазе как медленно меняющийся со временем сдвиг фаз с первым колебанием х,(1) = А зш ся .
В некоторый момент времени колебания синфазны и результирующее колебание имеет максимальную амплитуду 2А (см. момент г = 0 на рис. 101). Со временем разность фаз растет, амплитуда суммарного колебания уменьшается и через промежуток времени г = я)пю, за который набежит разность фаз л, обращается а нуль. С дальнейшим ростом разности фзз амплитуда начинает увеличиваться, пока не достигнет максимума, когда колебания опять станут синфазными, и т д. Период биений, как видно нз рис. 101, Т, = 2Т =2я)пм . Приведенноее рассуждение позволяет понять характер биений при неодинаковых амплитудах А, и А, складываемых колебаний. В этом случае максимальная амплитуда прн биениях А = А, +А,, а минимальная - А=!А,-А,~, как изображено на рис.
102. Рекомендуем читателю подумать над объяснением биений на языке векторной диаграммы. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических кааебаннй. Рассмотрим теперь, что получится в ршультате сложения двух взаимно перпенцикулярных колебаний одинаковой частоты. В механике такая задача возникает, если материальная точха одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с круговой частотой м, происходящих, например, вдоль координатных осей Ох и Оу: х(г) = А, яш сл, у(г) = А, нп(ел 6 и) (35.6) и требуется найти траекторию движения точки.
Иными словами, формулами (35.6) задан кинематический закон движения, а нужно получить уравнение траектории в форме связи между координатами х н у. С этой целью исключим время из уравнений (35.6), преобразуя второе уравнение: Я =~ам(СЛ ! (З)=Аз(инея СОЗ!С ! Ссяеяил и)= ~(ямдя СОЗРЬ Б Ы Ся ЗШ и) Н Псдставляя сюда значение ип ся = х/А, из первого уравнения: !11 Промежуток времени между соседними максимумами модуля амплитудной функции А(г) определяет период биений Т,.
Как видно из рис. 101, он вдвое меньше и- меньше периода т=2л)(лю/2) амплитудной функции А(г): т, = т!2=2я)пю и больше периода Т = 2я)со колебаний в гс)пм раз. Иллюстрацией биений могут служить знакомые многим колебания громкости звука, порожденного двумя слепса расстроенными струнами музыкального инструмента (пианино, гитара). Эти периодические юменевия громкости отражают колебания амплитуды при биениях. У=Аз[(х/А1)созз2ьз/Р-хх'/А2' нпгс). Чтобы избавиться от радикала, делим обе части равенства на ~, уединяем слагаемое с радикалом и возводим обе части равенства в квадрат: (у/А, — х/А, созр)' =(1-х /А,') нп' р . Раскрывая квадрат скобок и перенося слагаемое с х' в левую часть равенства, получим: х х у У вЂ”,-2 — — созр-> —,=зю Р. А1 1 ~ !2 (35.7) Это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами 2А, и 2А, (рис.
103 а). (То, что траектория не выходит за рамки указанного прямоугольника, очевидно заранее, так как согласно(35 6)-А, <к <А, и -А, <у< А, ). Рассмотрим частные случаи. Если колебания координат х и у синфазны: р= 2ял, то ил Р = О, соя р= 1 и уравнение (35 7) принимает вид: (х/А, -у/А,)' = О, откуда у= — х.
А, А, (35.8) В этом случае эллипс вырождается в прямую с положительным угловым коэффициен- том А,/А, (прямая 1 на рнс. 103 б). При разности фаз Р =+ л/2, т.е. при сдвиге по вре- мени иа четверть периода, нл' 92 = 1, сову = 0 и уравнение (35.7) принимает вид: х у' 1+ 2 11 (35.9) У= А, А, (35.10) В этом случае эллипс снова вырождается в прямую, но с отрицательным угловым коэффициентом -~/А1 (прямая 2 на рис.
!03 б). Заметим, что характер движения точки в рассмотренных частных случаях легко угадывается без выкладок, если мысленно представить себе колебания ее координат (35.б) при указанных разностях фаз. Ез=Егс з(л(юг+(с/ 1 "лЕ =Е,+Е, Е,=Е1сгсчсд с) Рис. 103 Это - уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно координатных осей (эллнпс на рис.
103 б). При равных амплитудах А, = А, = А уравнение (35.9) превращается в уравнение окружности радиуса А: х'+у' = А'. Если колебания координат х и у противофазны, те. Р=(2л+!)к, то нл(с=О, сояр= -1 и уравнение(35.7) дает: (х/А, +у/А,)' = О, откуда в лекционнон демонстрации реэульззт слолиннз еэеиммо перпендикулярных колсбенил мозно нзблюдеть не экрлме осциллотрефл, если н обе пэры отклоняющих пластин конденсэпорое лоллть переменнмс сннусондельнме напряжения одинзксеон частоты.
При не строго одинаковых члстотлх этих напряжений зозннклет медленно иэмсняюшаася со временем разность флз колебании, кек это поясмялось при рассмотрении биенил, и эллипс нл эьрене еилонзменяется, принимал лвлоэмолмыс при денных А, и А, формы. Полученные результаты можно использовать при сложении взаимно перпендикулярных векторов, изменяющихся по закону гармонического колебания с одинаковой частотой: Е, = Емил си и Е, = Еэсз)л(ото й), где Ем и Еч - постоЯнные амплитУдные векторы.
В этом случае уравнения (35.7-10) с Еи и Еч вместо А, и А, определяют линию, которую описывает конец суммарного вектора Е = Е, ч Е, (рис. 103 в). При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с различными частотами траектория точки может иметь сложный вид, однако если частоты в и в колебаний координат х и у относятся как небольшие целые числа л и л: в,,1в„= з ээ,утб, то форма траектории сравни тельно проста. Такие траектории на зываются фигурами Лиссажу некоторые из них приведены на рис 104. Легко понять, чта отношение час тот в„и в, равно отношению числа точек касания траекторией двух сосед- них сторон прямоугольника 2А, и 2Аг в„:в =/:3 Рнс. 104 вх вую72 8 36. Свободные гармонические колебания 8-4467 Теперь мы переходим к изучению динамики колебательных движений.
Проблема состоит в том, чтобы выяснить, под действием каких сил происходят те или иные механические колебания. В процессе решения этой задачи устанавливается, как зависят характеристики колебаний от параметроа, характеризующих условия, при которых происходят колебания. Колебания можно классифицировать в зависимости от условий, обеспечивающих их протекание гвин сил, действующих в колебательной системе, способ ее подпитки энергией и т.п.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
