Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Момент силы )У относительно оси вращения равен нулю, так как эта сила направлена радиально от оси вращения, как показана на рис. 108, Поэтому суммарный момент сил сведется к моменту силы тяжести: М, = '(г, тй] . Его проекция на ось вращения Оя определяется формулой (36.!0) В необходимости знака минус в этой формуле легко убедиться: например, в положении маятника, изображенном на рис. 108, (э>0, а момент М, направлен за чертеж, т.е. ЗГ, < 0 в согласии с формулой (36.10). Итак, уравнение движения физического маятника имеет вид; (36.11) Решение этого дифференциального уравнения довольно сложное и мы ограничимся рассмотрением движений, при которых угол и отклонения от положения равновесия настолько мал, что можно считать па р» и .
Выражение для момента силы тяжести (36 10) при этом упрощается: 34, = -(л~йт)(с (па аналогии с квазиупругой силой (36 7) его естественно назвать квазнупругим моментам снл) и уравнение (36.11) принимает вид: лэ 1 — = -тйг ва с!!2 (36.12) илн м8т —,; — у=О. пуз (36.13) Уравнение (36.13) для функции (э(!) является уравнением гармонического осциллятора (36.8), в котором ез = —.
Поэтому можно сразу написать его общее решение: 2 из 6т а р(г) = Азю(ырр а), (36.14) где а'а (36.15) (Начальная фаза колебания в формуле (36.14) обозначена буквой а .) Таким обрезом малые колебания физического маятника в хорошем приближении являются гармоническими, а их круговая частота зависит от массы ш маятника, его момента инерции 7 относительно оси вращения и от расстояния г между осью вращения н центром тяжести маятника.
Амплитуда А и начальная фаза а определяются иерю начальные данные, т.е. значения угла и угловой скорости в начальный момент времени 4(0) = и, и й,(0) =Па по формулам, аналогичным (36,6) (угловая скорость здесь обозначена буквой П, чтобы не спутать с круговой частотой колебаний а ). 118 Рис. 109 (36.16) Всякому физическому маятнику моюю сопоставить математический маятник, имеющий о»нивка. вую спим круговую частоту собсгвснных «оп»павий щ, . Длима нити 1 юного математического ма«таикх »взымаете» пр»веден пан длиной физического маятник»: (36.17) Выясним, квк располагавпся вщ параллельные друг другу оси, относительно которых физический маятник совершал бы собспмнные колебания с алией и той ж» крутово» частотой щс . Выразим в формуле (Зб 15) момент инерции ! по теореме с параллельных осях (19.141 через момент инерции (, откуда после нрсстмх преобразований получаем лев»ратное уравнение лл» расстояния г ат искомых осей до центра масс маятника; г — —, г+ — =0 з 8 (ю (36.18) в котором коэффициент при первой степени г с обратным знаком эвлщтщ приведенной длиной фи.
зичесьаго маятника(36.17). ПаюоремеВиетаомрэвенсуммскорнсй б и г квэдрэтного уравнение: г,+гз=1„=8/щс (3619) Следовательно, существуют два значения расстоания Г ат центра щжестн до оси вращения, при которых круговая частота собственных колебамив маятника равна щс, сали, конечна, при данных значениях 1, щ и щэ корни г, и г, скэжутс» вещестаснмыми. Соответсщснно, искомые оси явлжотс» образу!ощнми двук соосных цилиндрических поверхносщй радисов г, и г .
ось кото. рых проходит через цппр мвю маэтиик» (лл» нас) б) прввлеюм осей, перпсндикулярнога плоскости чертеже, сечения этих цияиняров нзобразятся концентрическими окружностями, представленными на рис. 110 э пунктирными линиями). Формула (36.19) леэжт в основе устройствэ обер о тн о го м а я тн и к», служащего для пре. цнзнонных изме!синд ускорения свободного п»дени» д.
Ои представляет собой массивный стержень с двум» призмами, которые мсяжо перемещать вдоль ссср»и» (рис. 110 б). Варьируя положение одной из призм, добзмэются тогс, чтобы вютсты собственных колебаний м»атникэ, когда он апирветсэ мэ ту и Рнс. 110 Тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити, называется и а т е м а т ич е с к и и м а я т н и к о м, если размеры тела пренебрежимо малы па сравнению с длиной нити (рис. 109). Если ограничиться рассмотрением малых колебаний в вертикальной плоскости, то математический маятник можно рассматривать как частный случай физического, у которого - как у материальной 0 точки - момент инерции равен ! =щ!', где щ - масса маятника, ! , ! длина нити, (Момент силы натяжения нити Т равен нулю по той же причине, что и момент силы реакции оси Ф в случае физического маят- Т ника.) Подставляя в формулу (36.15) это выражение для момента инерции и заменяя в ней г на 1, получаем известную из школьного курса физики формулу для круговой частоты колебаний математичесщя кого маятника: 119 другую призму,был« один»к»вы.
Измеряя круговую ч»стаху Фэ и р»сстояниемежау опорныни ребр». мн призм, равное 1, . по формуле (36.!9)вы люлжот я. Высокая точносгь измерения й зтни методом обусловлен» возможностью сдаст»точно высо«ой точностью измерить приведенную длину маятник». Крутильные колебания. В качестве третьего примера свободных колебаний рассмотрим к р у т и л ь н ы е к о л е б а н н я. На рис. 111 а изображен горизонтальный диск, прикрепленный к нижнему торцу тонкого вертикального стержня, верхний конец которого закреплен неподвижно. Когда диск повернут относительно вертикальной оси Оя на небольшой угол рь в стержне возникает деформация кручения и со стороны его торца на диск действует момент упругих сил: М, = — 61р, (36.20) где 27 - модуль кручения стержня (см.
формулу (24.5)). Знак минус обеспечивает правильное согласование знаков угла р и проекции момента сил М,: при р > О, как представлено на рис. 111 а, направление момента упругих сил кручения М, противоположно направлению оси Ол, т.е. М, < О. л Уравнение движения диска, т.е. уравнение моментов относительно оси Ол (19.11), имеет вид: 7 —,=-2зр, а" р сг! (36,2!) или Г*р 27 —,ь — р=о, айз ( (36.22) а) б) Рис. 111 где 7 - момент инерции диска относительно оси Ол. Это - уравнение гармонического осциллятора (36.8), следовательно, диск, выведенный из положения равновесия, будет совершать гармонические колебания с круговой частотой (36.23) Другим примером крутильных колебаний относительно вертикальной оси являются колебания круглой платформы, подвешенной на трех нитях (трифилярный поднес) (рис.
111 б). Частота этих колебаний, как и в предыдущем случае, зависит от момента инерции системы. Размещая на платформе исследуемое тело и измеряя частоту свободных крутильных колебаний, можно вычислить его момент инерции. Нелинейные колебания. К»к мы видели, с»ободные упруг«с кол»бани» «влявлсл гармоническими, если они происхолщ под действием «ваз«упругой силы, которая зависит от каор»ни»ты линейно (отсюд» »ругов нх маза»мне - л и и е и н ы с колсбэмия). Олешко обычна ли«синае зависимость от координаты описывает реальные силы лишь приблншжно - при орэвнитсэьно малых смещениях тел от положения равновесна. Т»к, формула (Збй), которая использовалась дхл упругой силь~ в задаче о колсб»пнях прущшного маятника, справедлив» вишь прн н»лых дсформаци»х, длл которых вьшолн»ется закон Гука, а замен» зн»чсния синуса значением угла в уравнении движения физического маятника (Зб.ц) такж возможна лишь при м»лмх угл |х отклонения от положения равновесия.
Поэтому гэрмоничсскимн обычно являются лишь малые колебания. В общем »луч»е зависимость Р,(х) потенциальной возвр»щ»ющей силы (или момент» силы) от коорднн»ты можне представить в виде степенного ряд», являющегося разложниси фуюшии Р, (х) в ряд тейлора в точке х = О г, (х) = -)сс ь /с х~ -ь lс х ж .., в «отаром «вазиупругая сила являеюэ лишь первым меном разложения.
Чем больше»мплнтуд» «олсбанн», зем бозьшс членов этого ряд» с возраст»ющнмн степе«»ми необходимо учитывать. чтобы описать силу е даст»то вго хор»шеи приближен«и. Р20 Анализ уравнения движения вида (36.1), в правой части которого нар»»у с лимонным членом присут- ствуют члены с боше высокими степенями координаты: ш — =-)сс+йх ЬФ,« щ.. з( « з з озт' (3624) показывает, что его общим решением является колебамие, но ме гармоннчожое, а представлмощсе собой супсрпсзицию гармоничсс«их «олебаннй (гармоннк) с частотами, «ратными основнав чаевые ю,: «(т) = А, ЛШ(Ю Г+ (О )+ А Юн(2шэ! 6 Рг )+ Аз ЗШ(3 ма!+ Рэ)+ - .
(3625) Соотношение «мплитуд А„отдельных гармоник зависит от значений коэффициентов й, в разложемии силы и т того, ск лько членов разложения учтено в правой части уравнемиз (36.2»). Осцнллатор, в «егоромвазвращающалсиланеявялется«вазнупругой,называстс» а«гармонически«,нли не— л и н е й н ы и, этими же терминами характеризуют колебания (36.25), которые он совершает. Существенным отличием аю арманнческого ащнллэтор» ат гармоничен«апэ, помимо по»»ксюш в его свободных колебаниях дополнительных гармоник с кратнымн частотами, »влястся зависимость периода «олсбанин, а следовательно и частоты юэ в формуле ( 36 25).
ат амплитуды. Келебю»ш связанных сметем. До сих пор речь шла об отдельном ссцнллаторе, состомцсм из двух тел (в пружанном и физическом маятниках вторым телом и«матс» Земля) и имеющем, состветстщвно, одну «олебательную степень свободьк «арактсрюуемую линейной х илн угловой р кооршщатой. В случщ квазиупругих сил взаимодействия та«ой ощиллятор может совершать гармоническое колебание с некоторой вполне определенной частотой, заансюцей от параметров ощнллатора. Систему, состоящую и» более чем двух квазнупруго взаимодеиствуюшнх тел и имеющую, соопнт. отвеине, мескалько колсбатюьиых с юле«ей свободы, называют с в л з а н н а й с и с т е м о й .
Осо. бенности свободных колебаний в связанмой системс нроанализнруем на простейшем прммере. Нэ рис. 112 а изображена система, состоидая из двух одинаковых пруюшных цветников, соелнненных невесомой пруюзнои длины ! и неси»ости Й. Маятники представляют собой тела (материююныс точки) мас сы щ на пружинах «есткости К, пршц«пл«нных к от«нкап, причем в положении равновесия систекы все пружины над»формированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
