Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Введем для описания положения тел координатные осн б,х, и 0 к с началом отсчета в положениях равновесия н запишем уравнения дэнженн» тел (второй закон Йьютона в проскцаинаоси 0зх, и 0 х ),пренебрегалсилэмитяжестн; с( х =-Кх -й(« -х ) озтз 1 ~ з с( х ш — -'-=-Кх -)с(х -«,) с(Уз з з (36. 26) — А- -А— )«»м»Э.» чч ъ. «иъ нчш»~. -А- — А колебание Рис. 112 моническими. Склаэьюая уравнения (36.26), а в слелуюши х уравнения: азз(х, +х,) с((т,— х) ш — 1 — 3- = -К(х, — к,) — 2)с(х, -к,).
(36.27) К эп )г,! щ К ) и опт«п мтппппт). полине»«ие — ра»но»ее»и О, л, О, — А- — А- щв»эм пт и тпмчзтгггггтг( »! А ( ' !"с' «ори. ~ззтттзтзтка. яоясба«ис (Вторые злат«оные в правых частях этих уравнен«й описывают снлы, дсйствукацие на тела со стороны соединительной пружины: изме«ем«с д»нны пружины равна ~х,-« ~=Ы, э в правильности знака в выражениях юл проекций этих пщ легко убедиться). Видим, что движения тел взаимозависимьп сила, действующая на первое тщо, зависит от коордвнлты второго н наоборот.
Это приводит к тому, что колебания тэя. вообще говоря, ме являются гардругом случае вычитал второе из первого, получим даа )2! Если вместо естественны» координат к„х, тел ввести новые переменные Х,, Х, па формулам Х, =х,-ех,, Х, =х,-х„ (36.38) та ураеиениа !пиме»и» дся них стаиовятс» независимыми лруг ат друга; < эх ш — --КХ„ А! т — '= -(К+23)Х». ~Н Л сбэ (36.39) Каждое нэ этих уравнений представляет собой лифференпиальное уравнение шрмонического оспнлл»- тара и имеет обвес решение в форме гермами*некого колебания; Х, = А, ип(а г+(»1), Хэ =."ч»ш(лээг "!" (»1), (36.30) где (36.3!) ! х, = 1 1 =-[А,еш(ю)+,)+А пд(шут „)], Х1+ Хт ! 2 2 х, = — ! — '-=-(А,ып(юА+(э) — А, еш(ю )+(э)~ Х вЂ” Х, ) 2 2 (3632) Следовательно, колебания, совершаемые ты»ми системы, представлюот собой суперпоэнпию норма»ьных колебаний, причеы »микиту»э» А„А и феты р„ф зависят от способе воэбу»дания и определяют.
са печк»ьиыми условмлми. Кажлос нэ нормальных колебаний реально осушссгвимо. Чтобы вызвать толька первое нормальнос колебание, мс воэбу:кдал второго, необходима выполиание услави» Х = 0 . На,Х ~ = !»1 - х ( есть удвинсние Ы сосшшительноп пружины, следовательно, первое нормальное колебание должно происходить при меиэмснной двине ) соединительной пру;киню. Эта условие будет обеспечено, если начальные условия для обоих тел олинаковьс х,(О) = х (0), т.е. юли в иачальныи иамент тел» отклонены в оюеу сторону на одинаковые расстояни» (начаюные скорости считаем равными нулю).
Тогда тела будут совершать тождественные гармонические колебания с норм»юной частотои ю, иэ (363!), Дл» воэбулщение второго нормального колебани» необходима отклонмть тела иа равные расстояния в пРотиааполажные стоРою г Х, (О) = -хэ (0) . Тогда очевщюо Х, = х, Ь х = 0 в любой момент вРсмши и пэнси»тьсл будет только вторя» координата Х с собственной частотой ю: тела бу»уг совер. лапь калебашш с одинаковыми ашнппудами, иа в протгюофазе. На рис.) (2 представлены полонины шл в мамонты максшишьмаго стилонсния от положений равновесна при первом (6) и втором (в) нормальном колебании. Псременнме(парамеЗры) Х„Х, называются нормальными «оорд ил а та и и системы. Они предстевлмотсобойчастный случаи обо 6 шепни х «о ор д н н а т, т.е. параметров, которые хотя и не являются непосрелствеино каор шпагами тсд, но, булучи взаимна адно»ма»ма с мими свят»иными, вполне опрелслмот положнис системы.
Каяебынш системы, соответствуюшие гариоиическим колебаниюг (36.30)исрмальньыкоординат,наэываютс» норм аль ными к а ле6 аннами, с частоты(363!)»тихколсбаний- собственными частотами системы. Выражеякоординать1 тел через нормальные координаты иэ формул (36 33), с учетом формул (36 30) имеем; 1 зэ ! )нз рости скучен, катав ьесзкость сосюмзигсльнои прукины сущесгвсимо меньше ьссткостн пруким иоятниьов (Ь «х ) тогда систему мокмо рвссметриветь юк щы слабо связанных друг с прутам (пасрслством сослинитсльмои пруюзмы) аспиялятаре При этом собственные частоты соглясна (36.3)) оказываются блмэкиии и колебания тел согласна (36.33) прсдстявляют собои биения (см квчественнае объяснение биении ня с.
! ! () Х.зрвктер этих биении таков, что в тс моменты. когдв нармзльные колебяиия синфезны и биения первого геля имеют мелсичельмую емплитуду, виплнтудв биений второго толя мимимельня, пзк гщк в формуле для х, склвдывеемые калебения в этот момент противофлзны (зняк минус у второго нормщьиого ьюлсб ния эьвив.я итси изменению ф ~ты этого колебания нв Л ). И няоборот. ь пь н р .
н зе колоб.ния ст н вят противофэзными, эмплитуле биении первого тела мимнм ~льн з, в второго - мхксимвльия Таким образом калебвтельное двиксние кяк бы медленно передастся от одного тена ь другому (зэ полонину периоде биении) и обрезио Устэнавлениыс нв рессмотреином примере закономерности ак ззывеются спреведливыми для евяз. ни К системы, састоящеи из любого числе ьв ~зиупр)то взяимодемствуюших тел и имеюшеи Д( колебэтеяьньм степенен свободь~ Ее своболныс колебания масут быщ предстэвлены кяк суперпознии» Ф норм.зяьмых холсбвнии, происходящих с собственными чхстатеми ш„ш„,ш, . ывисяшими ат пяромстров системы, и с вмплитулвми и нячельными фвземи, опрсдсвяемыми мвчвльмыми условиями.
Говщупмость метет ш,,ш, щ, иязьшеют спектром колоб е н и и связямнои системы бвязяни ~я систсив, полобнея рессмотреннои, но состояшея из болыпого числе тел, моист слухопь одномсрнои моделью ьристелли ~есьорз решетки. тела игряют раль втомов (ионов), взвимодсйствие мекду которыми имитируют упругие силы в пруюзнв х й 37. Затухающие колебания В рассмотренных примерах мы идеализировали колебательные системы, пренебрегая силами трения. В реальных системах, однако, всегда присутствуют те или иные силы трения или сопротивления (д и с с и п а т и в н ы е силы, приводящие к переходу части механической энергии системы в тепловую), которые обуславливают постепенное затухание колебаний и могут даже изменить характер движения, сделав его существенно апериодическим.
Наиболее просто при теоретическом рассмотрении колебаний учесть силу жидкого трения, которая действует на тело, движущееся в жидкой или газообразной среде. Как отмечалось, при выполнении некоторых условий, в частностипри сравнительно медленных движениях, эта сила направлена против скорости е тела и пропорциональна ей (см. с. 37 и формулу (10.14)).
В проекции на ось Ох, вдоль которой происходит движение, формула (10.14) с учетом (2.4) запишется в аиде: с(т и, =-Ь— зу) (37.1) с( л с(т т —, =-Ьх-Ь— с() суг (37.2) Вводя новое обозначение Ь )7=— 2ш (37.3) и принимая во внимание (36.4), запишем уравнение (37.2) в стандартном виде: где Ь - коэффициент жидкого трения. Влияние силы жидкого трения на характер свободных колебаний проанализируем на рассмотренном ранее примере пружинного маятника. Учет силы вида (37.1) понадобится, если маятник погружен в жидкость, или если между телом и подставкой имеется жидкая смазка, а также если просто необходимо учесть силу сопротивления воздуха.
Уравнение движения маятника (36.1) с учетом силы жидкого трения (37.1) примет вид: !э3 о'зх —, т 2эу — -ь сэ,', х = 0 . Аг' Аг (37.4) Общим решением дифференциального уравнения (37,4) является функция х(г) = Ае "ип(в!4 р) А(г) (37.5) где =~ ГР (37.6) А и р - произвольные постоянные. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой функции х(!) и ее производных в уравнение (37.4). (Ввиду громоздкости эти выкладки не приводии.
Студенту, знакомому с теорией линейных дифференциальных уравнений и комплексными числами, рекомендуем получить решение (37.5) стандартным методом характеристического многочлена,) При малых значениях коэффициента 73 (77«а,) множитель А(г) = Ае '" перед гармонической функцией в (37.5) можно А(г) АА рассматривать как медленно убывающую А(г+Т) со временем амплитуду. В этом случае формула (37.5) описывает з а т ух а ю- гьТ щие колебания, Ееграфикданна рис. 113: когда гармонический множитель пп(мг+р) достигает своих максимальных и минимальных значений +1 и -1, точки графика лежат на кривых А(г) н -А(!), изображенных пунктирными линиями.
Быстрота затухания колебаний характеризуется тремя физическими величинами. Величина )), входящая в формулу (37.5) затухающих колебаний, нюывается к о э фф и ц и е н т о м з а т у х а н и я . За время г амплитуда колебаний уменьшится в А(!)(А(ге г)=Ае я)Ае л"е =еж раз. Следовательно, за время г= 1777, обратное коэффициенту затухания, амплитуда уменьшится в ем2,7 раз. Согласно (37.3), коэффициент затухания прямо пропорционален коэффициенту Ь жидкого трения, что не нуждается в комментариях, и обратно пропорционален массе ш тела, что является проявлением инертных свойств тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
