Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для этого рассмотрим малый элемент стержня длиной Ох и массой от, заключенный между поперечными сечениями стержня с координатами х и х+Ьх! на рис. 125 вверху он изображен в невозмущенном состоянии, а внизу - при наличии возмущения б(х,г). Уравнение движения этого элемента, т.е. второй закон с)х Ньютона в проекции на ось Ох, запишется в х ° х+зх х л) ь х,г) ь(х+з(х,г) (42.!) х Р(х,г) 4я (г) Г(х+3,1) вял —" = г„(х+ Ьх, г) - г', (х, г) сэ'б,„ л' * В этой формуле 0 „- смещение центра масс элемента и, соответственно, 9 «~,)сзг - его 1 3 Рис. 125 ускорение; Р(х+Ьх,г) и г,(х,з) - проекции на ось Ох сил, действующих на рассматриваемый элемент со стороны частиц, расположенных справа и слева от него.
Если ограничиться рассмотрением достаточно малых деформаций (сз~„/дх «1), то можно считать силы упругими. Выражая согласно (22.1) силы через напряжение а„и площадь 5 поперечного сечения стержня и используя закон Тука в дифференциальной форме (24.7), имеем. Чтобы наглядно представить процесс колебаний в стоячей волне, заметим, что ее мгновенный профиль получается умножением амплитудной функции А(х) синусоидальной формы на меняющийся со временем множитель созаг . На рис. 124 представлены профили стоячей волны за первую половину периода колебания Т в последовательные моменты времени Г = О, Т)3, Т)4, 3Т)Ь, Т(2 .,В течение второй половины периода профиль волны пройдет те же стадии в обратном порядке и далее процесс периодически повторяется.
Таким образом, профиль стоячей волны, в отличие от бегущей, не перемещается вдоль оси Ох, откуда и проистекает ее название. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что стоячая волна (41.!), как и бегущая, удовлетворяет дифференциальному волновому уравнению (40.3). (Студенту, знакомому с теорией дифференциальных уравнений, этот результат очевиден: стоячая волна является суммой двух бегущих волн, а сумма двух решений линейного однородного дифференциального уравнения, каковым является уравнение (40.3), также есть решение этого уравнения.) Из проведенного аналща следует, что фаза колебаний при переходе через узел меняется на противоположную, в то время как согласно (4!.1) начальные фазы колебаний во всех точках казалось бы одинаковы и равны нулю. Предлагаем читателю решить этот кажущийся парадокс.
!36 г" (к+ьх,с)-г„(хт) =5 п(хоЬх, г)-5 о(хг) =5 е( — *(хоьх, !)- — '(х, г)). Массу ьт д( дд, дх * дх элемента выразим через его объем 5 Ьх и плотность р атержня: Ьт =р5 Ьк, так что уравнение движения (42.1) после деления на 5 примет вид: РЬх — с" = Е)ь — '(х+Ьх,с)- — *(х,х)~ . д'бс„г д0, дб, дгэ ~ сэх ' дк (42.2) Разделив обе части этого равенства на Ьх и переходя к пределу при Ьх -+ 0 (при этом дэьс„ /гэ!' -ь д'0„/д!'), получаем: р д'ь,/дг' = Е дзб„/дхз, т.е. д'0, р д'0, — ' — — — "=О, СЭХ' Е дхэ (42.3) Таким образом, продольные возмущения в тонком упругом стержне подчиняются вол- новому уравнению (40.3) и, следовательно, могут распространяться в виде волны той или иной формы.
Чаатнь~и решением уравнения (42.3) шлсстсс, естественно, и статич«окая лсфаривциа однородного растяжения сжатия, так квк для нее д'б„/дгз = 0 вследствие статичности, а дд /да = союз, те дэб,/дх' = 0 ° вследствие оыюролности деформации. Любая жс наоднороднаа дсфарнвцна неатачна: как следует ю 142 3), при д'0„/дх' и 0 ~же д'0,/дт' О). Согласно (40.3) коэффициент при второй производной по времени в волновом уравнении есть величина, обратная квадрату скорости.
В нашей задаче р/Е = 1/»', откуда получаем следующую формулу дця скорости раапространения продольных упругих волн в тонком стержне: (42.4) Теперь решив аиалапяпгуээ закачу два поперечных возиущсний. Раасмотрим неоднородное попе- речное возиущеиис д (х, г) вдоль атержня. которое прявошгг к сдеигавой дсфарнацин палых элсисн. гав стержн», одни из которых алины Ьк и массы Ьш представлен на рис. ! 26: пунхтиром изображено иевазаущеиисс положение стержня, стрелками - возмущение 0,(х,!). Уравнение движниа этага але- нина в ороесцин на ось Оу запишется в виде.
Х Хос(Х Рис. !26 Г(ходи,!) Г(г,э/! 0 Дш = Р„(х+Ьх, !)-Г (х, г), (425) д'д где Ь ° смещение ципра касс элемента вдоль аси Оу Р„(к+ Ьх,г) и г„(х„!) - сипы, дейспэуышие на расоматриввеиый элемент оо стороны прилежащих к мему эгмиситов сшржия. считая, как и раисе, дс4юрнацни наяыии (дб„/сэх « 1), 137 используем закон Гука для деформвпии сииев в диффереиииельиои форме Д4.8): Р~, Г (хелх,з) — г", (х г) =5 о(х ьбх,з)-5 сз (хд) = 5 С[ — '(т ьдх,з) — — '(х,з)] Подставляя Рх Рх это вырвсщиие да» сил и еыре:какие дл» массы элемента р5 зут в урввиеиис движения 142 51, имеем: пы~, ( г~е, г~, ззбх — „' = С вЂ” '(т+Ьх, Г)- — '(х,з)~.
гэх ~ Ох сзх 142.6) Поделив обе части этого равенстве иа Ьх и переходя к пределу при бт -+ О, призадии к лиффереипи- вльиаму воаиоваму уравнению (40.3) дл» паперечмаго еозмущеиия в стсрлмс сэ'б„)з сз'б, дх' С дг' (42.7) Тэквм обрезом. динамические поперечные возмущения в упругом стеркие текле могут респрострвиять- ся в виде волн. причем осорость рвспростреисиия поперечиой волны вдаль стсрлозя определяется фор. кулон; т=. (42.8) В общем случае в упругом твердом теле возникают две волны - продольная и поперечная, распространяющиеся с соответствующими скоростями (42А) и (42.8). подчиняется функция 9„(х,г), запишем уравнение движения центра масс палого элемен- та струны длиной Лх и массой Ьт в проекции на ось Оу: ьщ "=г(хььх, 1)ащ а(хьлхз)-г(х, г)аж а(хз), д'О суг* (42.9) где б, - смешение центра масс элемента вдоль оси Оу, а в правой части стоит сумма проекций г", = рвщ а силы натяжения Р струны на концах рассматриваемого элемента х и хьбх 1 сс - угол, который сила натяжения, направленная по касательной к струне, составляет с осью Ох.
Будем считать возмущение б,(х,г) настолько малым, что, во-первых, угол а также достаточно мал и ип а и гйа и, вовторых, можно считать силу натяжения постоянной: Р(к+Лх) = о (х) = г" = согну, пренебрегал ее изменением, связанным с х)х, 2) с)х, 1) О х х+х(т Рис. 127 Поперечные волны в натянутой струне. Пусть натянутая струна (или шнур), вдоль которой проведем ось Ох, выведена из положения равновесия и в момент г ее профиль описывается функцией 9,(х,г)..характеризующей поперечные смещения точек струны вдоль оси Оу (рис, 127).
Чтобы получить дифференциальное уравнение, которому 138 дополнительным удлинением струны за счет деформации 4,(х,г). Учитывая зти приближения н выражая массу Ьвз элемента через линейную плотность струны р= щ/! (т . масса, 1 -длина струны): Вт= рЬх, получим: зз с Рбх — ',"' = Р ~18 а(ха бхд)-!ба(хд)1 . сзг (42.! 0) По определению частной производной функции б,(хд) по аргументу х гба= дб,/с)с, н уравнение движения (42.10) принимает вид: рдт — -'„" — = р — „— '(хьбг,г)- — '(хр)~ .
гзгз ~ дх ' дх (42.11) разделив обе части этого уравнения на Ьх н переходя к пределу при Ох -ь О, получим: р сззф„/дгз = г дз~„/дхз, т.е. д'4 р д'б —,' — — —," =0 дх' Р д)' (42.12) Таким образом, чалые поперечные возмущения в натянутой струне подчиняются вол- новому уравнению (40.3) и, следовательно, могут распространяться в виде волн той или иной формы. Для скорости волны из условия р/зг =11г' получаем формулу: (42.13) Отметим.
что во всех рассмотренных случаях (см. формулы (42.4),(42.8) и (42.! 3)) плотность вещества стоит а знаменателе подкоренного выражения: с увеличением плотности скорость волны уменьшается, так как сильнее проявляются инертные свойства вещества. 4(0, г ) = О, ь(Д1) = О. (423 4) Дополнительные условия такого рода назывыотся г р в и и ч н ы и и у с л о в и в и и. Ясно, что бс- гущаз волна этим условиям ме удовлствораст, но нм удовлетворяют стоячнс волны, у которых на копим струны прихадятсх узлм. Рвсспжнис исиву соееяннми узлаии стоачен волны равно половине лмпиг волны (см. с. 1341, следовательно, на всей дзннс струим далино улоаиться целое число П полуволн: Стэячве вьапы кэк сабствемные кьчсбвння струпы.
При расснотренни задач с упругими волнамн мы удсстовсравись, что возмущение удовлетворяет днфференцнавьиому волновому уравнению, попущо получая формулу дал скорости волны. Однако зто нс запнется полным решением проблемы, так квк сс. зэется открьзтмн вопрос о форме возмущения 0(х,г).
Дифбатмнциаяьное волновос уравнение (40.3) нмс«т бесчисленное мноцсство решений и необходимо уметь выдсщть нз них та, которве реализуется пра данных условнзх задачи. Аналсгнчнаа ситуация возникал» прн постановке праной задачи дщммнка материальной точки, где дифференциальное уравнение двицевия такие имеет мноцсство решений. Напомним, по там ды выделения истинной трамсгории трсбавалссь дополнительно зыьщвть начальныс условия Волновас уравнение сложнее упомямутых урввмений двнасниа, поскольку оно прадсщвяяет собой дифференциальное уравнение в частных произволных, однако суть сстаетс» той им дяя нахоилсния конкретной фермы волны необходимо кроме лнффсрснциального волнового уравнснив мдавата некоторые дополнительные условна.
Пронялюстрнрусм зту мысль н» рассмотренном примере с поперечными валнани в натзнугон струне. Пуси струна нмсстдлипу 1 низ«тко закреплена с обоихконцова точках х= О и х=1. Зтоозмачвст, что нв концах струны возмущение равно нулю. 140 Здесь у = с,/с,, ь1,341,6, где с, и с, - молярные теплоемкости газа соответственно, при постоянном давлении и постоянном объеме, р - плотность газа, р - давление, Т- температура, д - молекулярный вес газа. В жидкостях (43.2) где /7=(гТ,'ф)г)1' - изотермический коэффициент сжимаемости (он численно равен относительному уменыпению /)1/Ь' объема при увеличении давления на 1Па при посгоянной температуре). Для полноты картины напомним формулы для скорости распространенна упругих продольных (42.4) и поперечных (42.8) волн в твердой среде: 1'Е „ГС (43.3) где Е и 0 - соответственно, модуль Юнга н модуль сдвига.
Оценки, сделанные по формулам (43.1) - (43.3), дают, в согласии с экспериментом, следуклцие приближенные диапазоны скоростей упругих волн в различных средах при нормальных условиях. В газах 100 м/с< г„,<1300 м/с (наибольшая скорость - в водороде, у которого д = 2). В жидкостях 900 м/с< э м„<!600 м/с. В твердых телах 1000 и/с< г, <6000 м/с (у свинца для поперечной волны зм700 м/с, у бериллия для продольной волны з=(2000 м/с ). Заметим, что в твердых телах скорость продольных волн в 1,5 ь2 раза болъше, чем поперечных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
