Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Другой характеристикой быстроты затухания служит д е кр ем сит з а ту х ан и я гз, который показывает, во сколько раз убывает амплитуда колебаний за время г= Т, равное периоду колебаний (рис. 113): Рис.113 л= ((г) =еж А(гьт) (37.7) б= 1ай =73Т (37.8) Более употребителен легари ф м и ческий де кр ем сит вату х а ни я, который по определению равен натуральному логарифму декремента затухания: 124 для медаеиио затухающих колебаний логарифмический декромяит затухания юмат простой бызический смысл. Разлагая я в правой чисти бюрмулы !37.7) в ряд Тейлора по оп.пиым Б и пренебрегая ст«пеиямивыюепарвой,имеем: А(г)/А(Г+7)=1+д, откуда (А+ЬА))А =1+0 и Ь = 04() А (37З) где Лх! - убыль аишютуды зл период колебании.
Таким образом логарифмический декремемт зазух»- иия ра вол дпьгмо~дьшой убьем амплитуды за период колебаний. Ь (Ь юЬ,Р) «) О Ья (Ь4 > Ьхр) ) х - значению Ь > Ью н, соответственно, )7> го,; две кривые на а) О одном рисунке соответствуют различным начальным условиям. Это означает, что тело, выведенное нз положения равновесия, аснмптотическн приближается к нему либо вообще не достигая положения равновесия (верхние кривые на рнс. 114 в н г), либо проходя его одни раз (ннжнне кривые). Рассмотрим знерштнческнй аспект свободных колебаний. Квазнупругне силы потенциальны, поскольку онн являются силами взаимодействия н не зависят от скоростей, в то время как силы трения нелотенцнальны. Поэтому закон изменения энергии (15.25) для свободных колебаний имеет внд: 0(И'„е И'„) = 04 (37.! О) где кинетическая И'„н потенциальная И'. энергии системы, например, в случае пружин- ного маятника, определяются Формулами (18.5) н (!5.15). Работа снл трения 04 <О, так как силы трения направлены против скорости, а следовательно, н против каждого малого перемещения тела, поэтому изменение полной механической энергии также огриплтеяьно: Ь(И'„4-И'„) <О, Механическая энергия системы, сообщение» ей в начальный момент времени, постепенно убывает, переходя в тепловую энергию.
В идеальном случае гармонических свободных колебаний, когда пренебрегается силами трения, Ь(И',+И(,) =О, т.е. И'„е И'„= соля) (37.1!) - полная механическая энергия системы остается постоянной, лишь перераспределяясь в процессе колебаний между кинетической н потенциальной энергиями. В момент макси- х Ь, (Ь,<ьяр) о) О Ь, (Ь, <Ьз<Ь, ) б) 0 э На рис. 114 показано, как меняется характер затухающих колебаний в зависимости от коэффициента трения Ь при фиксированных значениях параметров и и Ь.
С ростом коэффициента тренин, во-первых, колебания затухают быстрее, так как согласно (37.3) увеличивается коэффициент затухания )7, н, во-вторых, согласно (37.0) уменьшается нх круговая частота (рис. 114 а, б). Начиная с некоторога критического значения Ь =Ьм, при котором ))=юз, значения ю становятся мнимыми н решение в форме затухдющнх колебаний (37.5) теряет смысл.
Как следует из теории дифференциальных уравнений, в этом случае решение имеет существенно аперноднческнй характер, причем с ростом,б кривые идут положе: рнс. 114 в соответствует критическому значению Ь =Ь„„а рнс. 114 г 125 мального отклонения от положения равновесия х = А, а скорость равна нулю, так что, согласно (15!5) и(18 5), В'„=ЙА'/2 и В', =О. Таким образом И'=и'!2 (37.12) - энергия гармонического осциллятора прн ега свободных колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды, 8 38. Вынужденные колебания Свободные колебания в колебательных системах происходят при отсутствии внешних воздействий (квазиупругую силу и силу трения рассматриваем как внутренние силы).
А теперь поставим вопрос; как поведет себя осциллятор, если на него будет действовать периодическая во времени внешняя сила? Как мы увидим, в этом случае в системе также будут происходить колебания, но существенно отличающиеся во своим свойствам от свободных колебаний.
Такие колебания июываются в ы и у ж д е и н ым и, а вызывающая их внешняя сила - в ы н у ж д а ю щ е й силой. Исследование проведем снова на примере пружинного маятника, причем вынуждающую силу для простоты будем считать зависящей от времени по гармоническому закону с круговой частотой й; г, = гэ пай! .
(38.!) Ыэх ох с(з' о? (38 2) или —,+2?3 — + аээ х = — 'за йг, Рх Ыс э ~уз Й т (38.3) где использованы соотношения (36.4) н (37.3). Вид уравнения (38.3) подсказывает искать его решение в форме гармонического колебания с частотой вынуждающей силы й: (38.4) х(г) = А пи(йг+ и), где А п (э - некоторые постоянные. (Действительно, тогда каждый чаеи в уравнении (38.3) будет иметь вид гармонического колебания с круговой частотой й и есть шанс удовлетворить уравнению, поскольку сумма гармонических колебаний одинаковой частоты является гармоническим колебанием той же частоты.) Подставляя в уравнение (38.3) функцию х(г) нз (38.4), ее первую и вторую производные по времени сГх/и? = А йсоз(йз + зэ) и нэх?1Агэ =-Ай' зм(йг + и), и меем после деленая на А: -й' зт (йг + Р) 4 2 бй соя(йг + Р) э- юэ* пв(йг т зэ) = — ' пп йг, (38.ээ или й'зш(йгьрьх)+2!)йпл(йг+Зэе-)+ю, зм(йг+р)= — пайг.
(386) х р (Такую силу можно создать, если второй конец пружины не закреплять, а продольна двигать по закону гармонического колебанияи. Тогда у пружины появится гармонически изменяющееся со временем дополнительное удлинение, которое, будучи умноженным на й, дает дополнительную силу вида (38.!)). Уравнение движения маятника с учетом всех трех сил - квазиупругой, жидкого трения и вынуждающей - принимает вид; 126 Уравнение (38.6) означает, что сумма трех гармонических колебаний круговой частоты й, стоящих в левой части, должна быль равной гармоническому колебанию той же частоты, стоящему в правой части равенства. Векторная диаграмма этих колебаний представлена на рис.
115 а для случая р>О и на рис. 115 б лля случая О< О, где для обозначения векторов-амплитуд использованы конкретные выражения амплитуд колебаний. (Считаем -я<ре к, т к. добавлением 2жч можно любое значение р свести к значению из этого интерввла.) Из рис. 115 а видно, что при р> О сумма трех векторов- амплитуд ю„', э.в и 2д12 не может быть сделана равной вектору-амплитуде ге/Агч суммарного колебания, т.е. значение р>О уравнению (38,6) не удовлетворяет.
При р< О можно удовлетворить уравнению (38.6) соответствующим выбором значений р и А, как зто видно из рис, 1! 5 б; здесь сначала сложены противоположно направленные векторы и, 'и 34, а затем к полученному вектору (юэ' -3)э) прибавлен третий вектор 2)Ж . Из треугольника на рис. 115 б находим: (ги(Ач!)э =(го„' -й')* 4475эйэ, откуда 7(ч'-о)го гп (38.7) и !!Вр~ =2дэ)вше' -й'(, от- куда с учетом р<О о) гдд = , , (38.8) 2)уй юе б) Рнс. 115 К тому же рюульпэту можно прийти, проведя непосредственные выкладки. Ряскрывв» в формуле (38.5)аннуаы и косинус суммы углов н группируя члены е множителями зюй! и свай!, получим: (гаэ~-й')саян-2)23э(п Р- —" пай!4((гаээ -й')ЯЬ! Р+2рйсозР)соэй! =О.
(38Л) ° 1 Ам ! Вырэ кение о пий!ьЬсоэй! а постоянными «оэффиниентлмн и и Ь рвана нулю в любой момент времени только при условии о = Ь = О, поэтому уравнение (383)эквивнлентно аиегеме уравнении: (гоа й )соэр-2)и)яш рм —, э Ам (38.10) (ю,'-й')вю (о.ь2;9йсоя(ямб. Воэволя обв уравнения в кввдрет и екладывя я полученные урв висни», имеем; (ш '-й')' 44)рй' = — ' а Аэтэ (38.11) откудв вытеклет формула (38.7), в формула (38.8) следует иэ второго урввнени» в (38.101.
Таким образом, доказано, что решением уравнения движения (38.3) действительно является гармоническое колебание, описываемое формулой (38.4). в которой амплитуда А и начальная фаза р определяются формулами (38.7) и (38.8) - зто колебание называют е ы нужд си мы м к еле 6 а н нем. В формуле (38.4) отсутствуютпроизвольные постоянные, и, следовательно, вынужденное колебание представляет собой не общее, а частное решение диффереипиального уравнения (38,3).
Влажно показать, что 127 общее решение уравнения (38.3) складывается из решения (37.5) для свободных колебаний и решения (38.4) для вынужденных колебаний. Со временем собственные колебания затухают и остаются только вынужденные колебания, которые, следовательно, описывают установавшийся режим в системе. (Изучавшим теорию линейных дифференциальных уравнений, рекомендуем осмыслить проблему с позиций этой теории). Проанализируем зависимость характеристик вынужденного колебания от параметров задачи. Частоту вынужденных колебаний, подчеркнем еще раз, задает вынуждающая сила, а их амплитуда и фаза зависят согласно (38.7) и (38.8) как от характеристик вынуждающей силы (Ьый), так и от параметров колебательной системы (т,/с,Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
