Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 25
Текст из файла (страница 25)
106 ГЛАВА ЧП1 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В 34. Общее препставление о колебаниях Колебаниями называют процессы, в которых одна или несколько основных физических величин являются периодическими или почти периодическими функциями времени. по определению периодической функции )(зьт) = Г(1) для любого значения 1, т.е. через характерный промежутоквремени- пер и ад коле бани й Т значения функции у"(1) повторяются (рис.
94). В качестве примеров колебательных процессов можно привести суточные и годовые колебания температуры на Земле, электромагнитные колебания в колебательном контуре и т. и. В настоящей главе изучаются м е х а н и ч е с к и е к о л е б а н и я, когда речь идет о колебательных движениях тел и УП) периодическими функциями времени являются прежде всего координаты тела. Однако несмотря на различие физической природы все 1-1-Т колебания имеют общие черты и описываются О с по существу при помощи одного и тога же ма- Т тематического аппарата. Поэтому многие иэ полученных здесь формул будут применяться в Рис.
94 дальнейшем при изучении немеханических, в частности электромагнитных колебаний. Гармонические колебания. Фундаментальную роль играют г а р и о н и ч е с к и е к о л е б а н и я, происходящие по закону синуса или косинуса: л х(!) = А па(ся+р) = Асов(ся+ф), ф= Зз- — . 2 (34.!) Величина А>0 называется ам ил и ту до й колебания. В те моменты времени, когда ип(ел+ р) = ч П переменная *(г) достигает сво- А его максимального значения х = А. СледоваТ тельно, амплитуда гармонического колебания о зэ равна максимальному значению колеблющейся величины (часто ее обозначают той же буквой, что и саму переменную величину, помечая инРис. 95 дексом: х. или х,). Три выражающиеся друг через друга физические величины характеризуют темп гармонического колебанию период Т, частота г (или Г) и круговая, или циклическая частота сс. П ер иоду Т уже было дано определение-это время одного полного колебания (рис.
95). Ч а с т о т а, по определению, обратна периоду: 1 к= —. Т (34.2) Здесь к(с) - физическая величина, совершающая гармоническое колебание, а А,о,р- постоянные величины, характеризующие колебание. График гармонического колеба- ния представлен на рис. 95, )07 Она численно равна числу колебаний, совершаемых в единицу времени. Наиболее компактный вид (34. !) формула гармонического колебания имеет, если в ней фигурирует круговая ч а от о та э, которая связана с периодом 1 соотношением 2л ю= —. Т (34.3) действительно, для двух моментов времени Ч и г,, отстоящих на период (г, -г, = Т) (см.
рис. 95), значения аргумента синуса отличаются иа 2л: (ех, +(е)-(ах,ьи)=2л, откуда м(г,-з,) =2ч, те, е«=2л)Т. Величина Ф(! ) = ая «- (а, (34 4) х(г) = а, «- А, А„зш (на» 4 ф,) (34.5) (л„- постоянная, которая в большинстве задач не играет существенной роли). Формулу (34.5) называют разложением функции в ряд Фурье, а отдельные гармонические слагаемые ряда Фурье называются гармониками, или Фурье-компонентами функции х(г). Теорема Фурье позволяет в ряде случаев сводить задачу, в которой фигурируют негармонические колебания, к аналогичной задаче с гармоническими колебаниями (см.
мелкий шрифт нас. !28). Скоросзь и ускорение прн гармоническом колебательном движении. Пусть материальная точка совершает гармоническое колебание вдоль оси Ох и ее координата изменяется по закону (34 !), причем для простоты положим «в= 0: х(г) = А за сх. Получим формулы для скорости и ускорения точки, которью, очевидно, направлены вдоль осн Ох. Для проекции скорости точки т„согласно (2.4) и (34.!) имеем: «, =с)г)с(Г= «з(А зш аг)7«(г= А ю созе«!. Дифференцируя ч, по времени, получим согласно (3 4) проекцию ускорения: а„=сл~„/«Гг = «((А ю созмг)7«(г =-Асс'ям юг . Чтобы сравнивать фазы колебаний координаты,*скорости и ускорения, их формулы должны быть записаны в одинаковой форме, например, в виде ваш(ах+4«), где а> 0 .
Выражая в формуле для з, косинус через синус, а в формуле для а, синус со знаком минус через синус со знаком плюс, получаем следующие формулы для скорости и ускорения точки: являющаяся аргументом синуса или косинуса в формуле гармонического колебания (34.!), называется ф а з а й колебания. Она измеряется в радианах и характеризует стадию колебания.
Например, при записи формулы колебания в синусоидальной форме (34 !) значениям фазы Ф = л/242 ям (н - целое число) соответствуют моменты ! достижения колеблющейся величиной максимального значения: х. (!) = А ил(л/242ш) = А. Величина (е определяет значение фазы в момент времени ! =0: «а=ф(0), т,е. является н а ч а л ь н о й ф аз о й. График, приведенный парис. 95, соответствует значению начальной фазы О< зз<л(2. Особую роль гармонических колебаний обуславливают две причины. Во-первых, в природе и технике часто встречаются колебания, близкие к гармоническим.
Во-вторых, согласно теореме Фурье всякую периодическую функцию времени с периодом Т можно представить как сумму гармонических колебаний с частотами, кратными частоте с« = 2л Т, и с соответствующими значениями амплитуд и начальных фаз: !08 т, = Аю зю(ся+к(2), т ь (34.0) а Аюз йа(ся+я) а ь (34.7) Таким образом, скорость я ускорение при гармоническом колебаииы также измеыяютгл со временем по закону гармонического колебания с той же частотой, что и коордвпата, и с амплитудами, соответственно, т„= А аз и х а„=Асс' . Начальные фазы у скорости я т1З з а а„(г) ускорения равны, соответственно, я/2 и к, „'.", х(г) т.е.
скорость опережает координату по фазе ь,, на я)2 (по времени - иа четверть периода), а ускорение находится в противофазе с коор/ динатой. Графики зависимости от времены координаты, скорости и ускорения точка, совершающей гармоническое колебание Рис. 96 вдоль оси Ох, представлены на рнс. 9б.
Векторная диаграмма гармонического колебания. Рассмотрим вектор А, равномерно вращающийся в плоскосгн чертежа с постоянной угловой скоростью ю (рис. 97 а). За время г он повернется на угол аг и будет составлять с направлением оаи Ох угол Ф(г) = ах+ 9з, где Р - угол, характеризугощий положение вектора в начальный момент с=с . Как видно из рис. 97 а, при вращении вектора А его проекции на оси Ох н Оу изме- няются по закону гармоничес- кого колебания х(г) = А аоя(ах+ Р), у(г) = А ш(сх+ Р) с амплитудой, равной модулю н + В 'и вектора А, круговой частотой, О равной угловой скорости вращения, и фазой, равной углу, а7 6) который составляет вектор А с Рис.
97 осью Ох. Врицающнйся вектор А называют векторомамплитудо й колебанна, а его изображение в начальный момент времеыи- в е к то р н о й д и а гр а м м о й колебания (рнс. 97 б). При помощи векторной диаграммы, как будет показано далее, удобно складывать гармонические колебания одинаковой частоты. О А соя(ах ятз) 8 35. Сложение колебаний При решении ряда задач появляется необходимость сложить два или несколько колебаний. В механике такая проблема возникает при сложении движений: еслы тело колеблется относительно СО К', которая в свою очередь совершает колебаные относительно СО К, то движение тела относительно СО К определится в результате сложения зтих двух колебаний. !09 Сложение скалярных гармонических колебаний одинаковой частоты. Пусть тело совершает гармоническое колебание «(с)=~ ею(схьр) в СО К,, которая в сваю очередь гармонически колеблется с той же частотой относительно СО К так, что расстояние 00с между началами координат О и Ос изменяется хсмАсз(л(ахесзс) па закону «,(с) = А, ил(асс+из).
Тогда координата х тела в СО К определится как сумма гармонических колебаний одинаковой частоты (рис. 98): х(с) = х (с)+ т,(с) = А, йа(мс-~ ц) ьА, ва(х+ р,). Для сложения колебаний х,(с) и х(с) удобно ис- Рис. 98 пользовать метод векторных диаграмм. Докажем, что в ез ль ате сложени га он ческих олебани о и аковой частоты по- л чается га оническое колебан е той е частоты.
А,ИЛ(Слеп )+А,мл(ЮС<-вз)млвв(СХЬ9С), нчем екто -амп и ез ь ю его колебали а ен с е енто ов-ам ли с а сва мых олеб й. На рис. 99 представлена векторная диаграмма, на которой изображены векторы-амплитуды А, и А, складываемых колебаний и их суммарный вектор А = А, +А, в момент с = 0 . Вектор А, очевидно, у А=А +А имеет постоянный модуль н вращается с тай же угловой скоростью, что и векторы А, и А, (параллелограмм векторов-амплитуд вращается Аз как жесткий). Следовательно, он представлает собой вектор-амплитуду гармонического колеба- А ния х(с)=Асов(схтр), являющегося его проек- 9с цией на ось Ох, Но зта проекция, будучи суммой О проекций векторов-амплитуд А, и А,, равна сум- хс(О) х,(О) ме складываемых колебаний х,(с) и х,(с) (на рис. х(О,Мхс (О)ех, (О 99 это показано дзя начального момента времени: х(0) =х(0)~-хз(0)), что и доказывает сделанное Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
