Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В этой связи можно упомянуть а в т о к о л е б а н и я, когда колеблющемуся телу в нужные моменты времени за счет специальнога устройства сообщается энергия от внешнего источника, не дающая колебаниям затухнуть. Школьный пример автокалебаний - часы-ходики, где колеблющимся телам является маятник, источником энергии - поднятая гиря, регулятором поступления энергии от гири к маятнику-анкер. Большоесходствосавтоколебаниями имеют реп а к сацио нные кол е б а н и я, когда система периодически выводится из положения равновесия, в которое возвращается (релаксирует) самостоятельно.
Мы, однако, ограничимся рассмотрением двух видов колебаний, "сво 6 одн ы х, или соб с та си н ы х калебаний,- как незатухающих, так и затухающих, - и в ы н у ж д е н н ы х. Настоящий параграф посвящен изучению свободных гармонических колебаний. Будут рассмотрены три примера, из которых станет ясно, чта понимается в физике под свободными гармоническими колебаниями и как зависят нх характеристики от параметров колебательной системы.
1!4 Пружинный маятник. Рассмотрим тело массой т, прикрепленное к концу упругой невесомой пружины жесткостью 4, другой конец которой закреплен неподвижно (п р уж н н н ы й м а я т н и к). Чтобы в уравнение движения тела не вошла сила тяжести, не играющая принципиальной роли дяя возникновения колебаний, расположим тело на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепив свободный конец пружины к неподвижной стенке (рис. 105). Координатную ось Ох направим горизонтально от стенки, выбрав начало отсчета О в центре масс тела, когда оно находится в положении равновесия и пружина не деформирована. Если вывести тело из положения равновесия, сместив его или сообщив ему начальную скорость вдоль оси Ох (или сделав и то, и другое), а затем предоставить самому себе, то оно будет двигаться вдоль этой оси.
Для нахождения кинематического закона движения теча х(г) необходимо записать уравнение движения. т.е. второй закон Ньютона в дифференциальной форме в проекции на ось Ох, и найти его решение. Из трех сил, Т действующих на тело, когда оно находится в некоторой точке траектории с координатой х: силы тяжести тя, силы реакции опоры Л» и упругой силы Гм, - только упругая сила имеет проекцию на ось Ох; Р; = -/сх (см. формулу (10.11)), и уравнение движения имеет вид: Ах м — = — /ск Аг» (36.1) Рнс. 105 В математике принято записывать дифференциальное уравнение, располагая функцию и ее производные в левой части уравнения, начиная с производной наивысшего порядка с коффициентом 1 при ней.
В соответствии с этим уравнение (36.!) перепишем в виде: Ах 4 —,4 — «=0 Й м (36.2) Вид уравнений (36.!) и (36.2) подсказывает искать решение в виде гармонического колебания: х(г) = А ил(м»1+ (»), (36. 3) так как вторая производная синуса равна самой функции с обратным знаком. 6) конкретных значениях постоянных величин - амплитуды А, круговой частоты с», и начальной фазы (с в формуле (36.3) пака ие делается никаких предположений. Действительно ли функция (36.3) удовлетворяет уравнению (36.2) и если да, то при каких значениях постоянных А, е»„и, покажет проверка. Беря вторую производную функции «(г) из (36.3) по времени: А'х»»»(г'=-Ас»» ип(м»г-~-(с) и подставляя ее и саму функцию »(1) в уравнение движения (36 2), имеем; -Ае»»'яш(м 144»)4(е(т)А вы(м 14 (»)=0.
Сокращая множитель А пв(м г + (с), приходим к соотношению -м»'+)с»»т = О, откуда (36.4) Таким образои решением уравнения движения (36.2) является гармоническое колебание с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы (множитель Аз!в(с»»»44»), в который они входят. в процессе подстановки сократился). но с вполне определенной круговой частотой, определяемой формулой (36.4). Наличие в решении (36.3) двух произвольных постоянных А и 4» гарантирует, что это решение - общее и других решений 115 уравнения движения (36.2) нет (см. с.
29). Чтобы знать, с какими амплитудой и начавьиой фазой будет происходить колебание, необходима дополнительная информация, например. задание начальных условий - значений координаты и скорости в момент времени с = 0: х(0) = х„и л,(0) = лл . Потребовав выполнения начальных условий, т.е. приравнивая значения координаты х(г) из (36.3) и скорости и,(1) из (34.6], взятые в момент г = О, их заданным начальным значениям х, и ьы имеем: Апл гр= кл, А гол поз Оэ = ул (3 6.
5) Из этой системы уравнений находим: хэ (36.6) (м„ о Рассмотренная задача - типичный пример свободных гармонических колебаний с одной степенью свободы, т.е. описываемых одной изменяющейся со временем координатой, в нашем примере - координатой тела х(1). Их отличительная черта состоит в том, что они всегда происходят с определенной частотой, зависящей только от параметров системы, в нашем случае - от массы тела и жесткости пружины. Что касается амплитуды и фазы, то они определяются начальными условиями, т.е. зависят от способа возбуждения колебаний.
Проведенный анализ показал, что тело совершает гармоническое колебание, если уравнение движения тела имеет вид (36.1) или, что то же самое, (36.2). Но вид этого уравнения движения предопределен видом выражения для рюультирующей силы (36.7) пололи равно Рис. 106 причем вовсе не обязательно, чтобы эта сила была упругой, как в случае пружинного маятника; необходимо лишь, чтобы она была направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению относительно него. Сила, определяемая формулой (36.7), независимо от ее физической природы называется к в а з и у п р у г о й .
Таким образом, свободные гармонические колебания происходят под действием квазиупругой силы. Если пружинный маятник подвешен вертикально (рис. 106), за счет действия силы тяжести тй положение равновесия сместится вниз на расстояние 0(о = тя,()с, так как в положении равновесия сила тяжести уравновешена силой натюкения пружины: 2 01„= мя.
В системе координат с началом отсчета в новом положении равновесия О уравнение движения тела имеет вид: е(оах(7(зз) = -/с(х~-д(о)~-ий, так как в этой СО удлинение пружины г л = )с Фо4.л) улр — )с ( о 01 = х+0(о. Слагаемые -к 01л и шл 1л )г ж-)сА! о в правой части взаимно уничтожаются и уравнение движения принимает обычный вид (36.1). Следовательно, постоянная сила, действу- олис л Жо+к ющая наряду с квазиупругой, приводит лишь к смещению положения тй х равновесия, ничего не меняя в харак- ти тере колебаний. 1!6 Говоря о свободных колебаниях, естественнее иметь в виду не колебания одного тела, а колебания в системе, состоящей по крайней мере из двух тел.
Примером может служить система, состоящая из двух тел, соединенных невесомой пружиной (рис. 107). Можно показать, что в этой системе, если ее вывести из положении равновесия, расстояние между телами будет изменяться по закону 1(1)= ( е (,->Айп(а,гьр), где ( — естественная двина недеформиИйй'(::лз) рованной пружины. упругие силы Г; и р,, действующие на тела со стороны пружины, являются внутренними сн(..у лами системы, с чем и связан термин "свободные колебай б() Д й Д 0 ( ) ния", т.е. колебания, происходящие при отсутствии внешних снл.
Система двух квазиупруга взаимодействую((!)= (э+Аз("(саге(э) щих тел называется г ар и о и и чески м о с ц илл ят о р о м (озс!Пайоп - колебание). Пружинный маятникРнс. 107 частный случай гармонического осциллятора, у которого вторым телом является Земля. В уравнении движения (36.2) коэффициент при х, согласно (36.4), равен квацрату круговой частоты собственных колебаний; Л/т= еэ,', так что это уравнение можно записать в в!Ше: Ах з — чге, я= 0. ор (36.8) Оно представляет собой ди ф ф ер си ц и ал ь но е у р аз н е н не г ар мои и ч е он з и е ен мальвам ав ению 368 ожно е ать что она изменя ся по ко ню коэ и ие та к(1) в это авнени и с ампли ой и ачальной азо кото ьеоп е еляются че ез начальные анные а лами и а 366 п й (36.9) и найти его решение р(г). Здесь 1 - момент инерции маятника относительно оси вращения, Рис.!08 ~Мел - сумма проекций моментов сил относительно оси Оз на эту ось.
Физический и математический маятники. В качестве второго примера свободных гармонических колебаний рассмотрим малые колебания маятников, у которых момент силы, возвращающий тело в положение равновесия, обусловлен силой тяжести. Ф из и ч е с к и м м а я т н и к о м называется твердое тело, которое может свободно вращаться относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела (рис. 108). На этом рисунке г - радиус-вектор центра масс С маятника относительно перпендикулярной плоскости чертежа осн вращения О, вдоль которой - на читателя - направлена координатная ось Ож угол (з, характеризующий положение радиуса-вектора г, отсчитывается от вертикальной оси Ох в направлении, согласованном с направлением оси Ог правилом буравчика. Чтобы выяснить, как будет двигаться фи- зический маятник, если его вывести нз положе- % )У ния равновесия и затем предоставить самому себе, следует записать его уравнение движения- уравнение моментов в проекции на ось вращения Оя (19.1!): 117 На маятник массы ш действуют две силы: сила тяжести лзй, приложенная к центру тяжести С, н сила !У реакции оси, на которую насажен маятник; всеми силами трения пренебрегаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
