Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Наиболее важной и интерыной является зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы А(П), определяемая формулой (38.7). При П=О с учетом (364) А(О)=Ь;)Ь: при П-ьсо А(П)-ьО; экстремумы функции А(П) определяются из условна ИА)Ж=О, ио достаточно приравнять нулю производную подкоренного выражения в (38.7). так как его экстремумы совпадают с экстремумами функции А(П) (максимумы с минимумами и наоборот): с~/с)П[(со,'-П')'44УПз]= 2(ге„-П~)(-2П) 44)У 2(2 =4П(-м з +Пз +2)У) = О. Следовательно, экстремумы функции А(П) достигаются при значениях Й = 0 и Ь, а) (38.! 2) Ьз>Ь, П...
= ц(ю,' — 2))з. Ь, >з]2Ьи Последнее значение, очевидно, соответствует максимуму функции А(П), енд которой приведен на рис. 116 а (кривая с 6=Ь,). Когда частота вынуждающей силы П приближается к значению Пм,, амплитуда ос - —.— гсз вынужденных колебаний возрастает и при П=й... достигает своего максимального значения. Это явление называется р е з о н а н с о м и, соответственно, кривые зависимости А(П) называются амплитудными зз 0 б) резонансными кривыми. а значение П,- резонансной частотой. Согласно (38.12) резонансная частота всегда меньше частоты мь собственных незатухающих -л колебаний, однако обычно коэффициент затухания )7 достаточно мал ())з «ш, ) и резонанс практически наступает прн достижении частотой вынуждающей силы собственных колебаний м,: > з)эйл! Рис.
116 значения частоты (38.13) С ростом коэффициента трения Ь, а вместе с ним и коэффициента затухания )), знаменатель в формуле (38.7) увеличивается, амплитуда вынужденных колебаний уменьшается и резонанс становится выражен менее резко (кривая с Ь =Ь, на рис. !!6 а). При очень большом трении (Ь> О2)оп) 2))с > м,' и значение П,, в (38!2) становится мнимым, т.е. резонансная кривая не имеет максимума и, следовательно, резонанс отсутствует(кривая с Ь=Ь, на рис. 116 а). 128 Зависимость сдвига фаз р между вынужденным колебанием (38сй) и вынуждающей силой (38.1) от частоты П вынуждающей силы определяется формулой (38,8). Как было выяснено ранее, р < О, т.е. вынужденное колебание отстает по фазе от вынуждающей силы. На рис. 116 б приведены три фазовые резонансные кривые р(й) при различных значениях коэффициента трения Ь. При малых значениях частоты П вынужденное колебание и вынуждающая сила почти синфшны.
С ростом П отставание по фше растет, при П= Ф, оно равно -пг2, а при Песа Ф-ь-и те. при больших частотах вынужденное колебание находится в противофазе с вынуждающей силой. Не останавливаясь на примерах проявления явления резонанса в быту и в технике, хорошо известных из школьных учебников. отметим огромную роль, которую играют резонансные методы исследования в современной науке. Их суть состоит в том, что, подвергая вещество периодическому внешнему воздействию с различными частотами, по оптимальному "отклику" системы, наступающему при резонансе, выявляют характерные собственные частоты молекул, атомов, ядер и т.п. каков будет характер вынужденных колебаний, если периодическая вымуждающая сила г,(г) не сииусоиляльно зависит от времени".
прелставшя ее в виде разложелн» в ряд Фурье г(г)= ~Г г„зю(лШ -Ь Ф„) (здесь П = 2л~уТ, где 1 - дсриод силы; несущественное постоянное слагаенсе в 1 разложении опускаем), получим в правой части дифференциального уравнеюм вьпгуждснных колебаний (38.2) сумму синусоидальных выиужааюших сил вместо орной, как следует из теории дифференциальных уравнении, рещение такого уравнения скяадьмаетсл из решений, абусловлснньп каждьш слагаемым правой части в отдельности. Следовательно, вынужденное «олебаиие ють суперпоэипи» выну;кдеюшх калебамий, праисхоляюих под действием симусоидальных составляющих (Фурье-компонеит) вынуждающей силы. Эта утверждение справедщмо и дл» непериодической вынуждающей силы с той разшшсй, что в этом случае в разложении Фурье сумма заменастся интегралам, т.е.
в Фурье-ревновании силы присутствуют гармоники с любыми частотами, а не толька кратными хиовной частоте. Анализ вынужденных колебаний аигармоничюкого сспиллатсра и саязамных систем довольно шожш. Ограничимся ущержаенисм, что е случае синусоидальной вынуждающей силм резонанс наступает при совпадении частоты аынуждыощсй силы с характерными частотами сисщмьс у амгермонического оспиллятсре - с частотами гармоник, входящих в формулу (36.25) его свободных колебаний, е у связанной системы - с ее собстыиными частотами. ГЛАВА !Х ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В МЕХАНИКЕ б 39. Общее представление о волновых процессах В физике часто возникает ситуация. когда изменение некоторой физической величины в какой-либо области пространства (возмущение) не остается локализованным, а начинает распространяться с характерной для данных условий скоростью.
Такой процесс распространения возмущений называется б е г у щ е й в о л и о й. Пока речь идет об общих свойствах волн, безотносительно к их физической природе, будем обозначать воэмугцеиие буквой б . Поскольку волна распространяется в пространстве и представляет собой динамический процесс, возмущение в общем случае является функцией пространственных координат «,у,з и времени г: б= Дх,у,з,г) . Эта функция, описывающая и о л е в о з м у щ е н и й, дает полную информацию о волне, определяя значение возмущения в любой точке пространства в любой момент времени.
Приведем конкретные примеры волновых процессов. Если в жидкой или газообразной среде с равновесным значением давления р, сонэ! создать в каком-либо месте небольшое переменное избыточное давление Лр(г) = р(г)-р,, то оно будет распространяться по всем направлениям, образуя упругую волну. При этом роль возмущения ИГРаЕт СКаЛЯРНаЯ фИЗИЧЕСКаЯ ВЕЛИЧИНа бр(1): б(в,у,зД) вбр(в,у,х,с).
В тВЕрдОМ ТЕЛЕ также можно взывать упругую волну, смещая в некоторый момент времени малые элементы тела относительно их положений равновесия; в данном случае описывающее волну возмущение является векторной величиной - смещением частиц б(х,удд) . Здесь различают п р а д о л ь н ы е и п о и е р е ч н ы е волны. В продольной волне возмущения направлены вдоль направления распространения волнового процесса, в поперечной - перпендикулярно направлению распространения. Если, например, ударить упругий стержень по торцу, возникшая в направлении удара локальная деформация растяжения-сжатия будет распространяться вдоль стержня, образуя продольную волну. При ударе по концу стержня сбоку возникает локальная деформация сдвига, распространение которой представляет собой поперечную волну. Обе ситуации представлены на рис.
117 а и 117 б, где возмущения - смещения 9 частиц стержня - изображены простыми стрелками, а направление их распрострапения -стрелками с оперением. Поперечную волну называют л и н е й н о, или и л о с к о и о л я р и з о в а и н о й, если возмущения, распространяясь, располагаются в плоскости, проходящей через направление распространения. Например, плоско поляризованная упругая волна побежит вдоль резинового шнура, если его концу сообщить колебательное движение вдоль прямой, перпендикулярной шнуру (вдоль оси Ох на рис. 1!й, где даи мгновенный профиль волны а некоторый момент времени; колебания в различных точках шнура, изображенные стрелками, лежат в координатной плоскости хОя ). Если же траектория конца шнура выходит из плоскости хОэ, возмущения не будут лежать в одной плоскости и характер поляриРис.
117 зации волны будет более сложным. 9-4467 !Зо Подчеркнем. что при описании волн в материальной среде величины «,у,с являются координатами фиксированных точек пространства; они не изменяются при движении элементов среды, а определяют их равновесные положения при отсутствии возмущений. Смещения же находящегося в точке х,у,з элемента среды, возникающее при распространении волны, описывается 0 функцией б= б(х,у,сд], характеризующей возмущение.
Выходя за рамки механики, отметим, что не во всех волновых процесРис. !18 сах возмущение связано со смещением частиц какай-либо среды: например. в электромагнитной волне. которая может распространяться и в вакууме, роль возмущения играют переменные напряженности электрического и магнитного полей Е(х,у,",1) и Н(х,у;,1). 9 40. Формула и дифференциальное уравнение волны Формула бегущей волны Начнем с простейшего случая, когда волна распространяется вдоль прямой линии - примером может служить поперечная упругая волна в тонком ршииовом шнуре, возбуждаемая смешением его конца.
В связанной со шнуром СО К с началом координат в конце шнура и осью Ох, прооведенной вдоль шнура, возмущение б, т.е. смещение частиц шнура в перпендикулярном к нему направлении, будет функцией одной пространственной координаты х и времени г: б= б(х,г). Если пренебречь потерями энергии волны, часть которой неизбежно переходит в тепловую энергию, тратится иа возбуждение волн в окружающем воздухе и т.д., то возмущение пе еме ветс со ско остью т относительно а в нап авлении оси Ох без изменения ы "" ч гую СО К', которая движется "вместе с волной" со скоростью в и в начальный момент 1=0 совпадала с СО К. В СО К' возмущение статично, т.е.
не зависит от времени: б'= /(х'). Как видно из рис. 1!9, координата х' любой точки шнура в СО К' связана с координатой х той же точки в неподвижной СО К соотношением: х'=х-ж . Подставляя это значение х' в формулу б' = .г(х') ° имеем: б= Г'(х-тГ). (40. 1 ) Следовательно, признаком бегущей волны х является вий ай(удела в формуле для воз- ! мущения: координата х и время 1 должны Рис.
119 входить в виде комбинации х-и. Вид самой функции б может быть произвольным, он зависит от способа возбуждения волны. К формуле волны (40.!) можно прийти и иным рассуждением. В точке с координатой х в момент времени г возмущение б= Дх,г) будет таким, каким оно было в начале координат х = 0 на х(т секУнд раньше (х)т - вРемя, за которое возмУщенне пройдет путь х). Следовательно, Дх,г) = Дб,г-х(в), или, вынося за скобки множитель -1/и, б= у(х-сг). )3! Формула волны, распространяющейся в направлении, противоположном направлению осн Ох.
получается из формулы (40.!) изменением знака времени с -+ -г: «= /(хз-ис), (40.2) так как такая волна проходит те же мгновенные состояния, но в обратном порядке во времени. Дифференциальное волновое уравнение. Установим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (40.!), описывающая волну, распространяющуюся в направлении аси Ох. Рассматривая эту функцию как сложную функцию двух переменных х и С: «=/(х-иг)=1(и(хс)), где и(х,г)=х-щ, найдем ее первые и вторые частные производные па х н с, учитывая, что ди/да= ! и ди/дс =-и: сз» д/ слс д( с7з«д/сз») с7/ф ! дзУ сусс с(з/ сх ди сух ди дх' дх(,дх) дх(,ди) аЪ' дх си' ' д«ду" ди д/ д'«д /д«\ д / ду' ) д /д«) д'7 аи д'7' дс Юс дс дсд дс~ дс~ дс) дс( ди) дс(ди) еи' дс ди дз« ~з/ дс«дз с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
