Д.В. Белов - Механика (PDF) (1113368), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Р«! Р« Таким образом — = — и —, = и' —, откуда — = — —, нли дх' дсс' с77' Ыи' да 2 дсз д'« ! д*» ухс из дсз (40.3) Этому дифференциальному волновому уравнению удовлетворяет и волна (40.2), распространяющаяся против оси Ох: ее формула отличается от формулы (40.!) знаком скорости, а уравнение (40.3) инвариантно относительно замены т-+-и. В общем случае. когда волны распространяются в пространстве, а не вдоль фиксированной линии, дифференциальное волновое уравнение для возмущения «= 7(ху хс) имеет вид: д'» д'«' д'» ! д'« —,+ — + — — — =о. д х д у з да з и з д С (40.4) Если в хо е ешення какой-либо и амнческой э ачн скаже с что п е ная м "а* .м> е иально волновом нессяя — ' -с-а*.).
за ачемы имеем ело с залповыми о ессам Манахраматнческне волны. Среди всевозможных волн особую раль играют м а вохр о мати ч ес к и е волн ы (" моно"- одно, "хромое"-цвет), прслставляющне собой распространение гармонических колебаний. (Термин заимствован нз оптики, где монохроматнческой волне соответствует чистый спектральный цвет.) Их особая значимость свюана с теоремой Фурье, согласно которой практически любая бегущая волна может быть представлена как совокупность монохроматнческнх волн (сравннте с аналогичной выделенностью гармонических колебаний среди всевозможных периодических процессов). Формулу монохраматнческой волны, распространяющейся в направлении оаи Ох, получим, повторяя проведенное ранее рассуждение: если возмущение в точке х = 0 про- 122 исходит по закону гармонического колебания ь(ОА) = А ил ах, то точку с координатой х в момент времени 1 будет проходить возмущение со значением фазы, которое было в начале координат раныпе на время г= х 7 т, необходимое для прохождения возмущением расстояния х: 9(х,1) =Аяшв(1 — хэг) .
Помимо характеристик, общих с гармоническим колебанием; амплитуды А, круговой частоты го, частоты и и периода Т, а также скорости распространения я, у монохроматической волны есть еще две характеристики - длина волны и волновое число. Д л и н о й в о л н ы Л называется путь, который проходит возмущение (состояние с определенной фазой) за время, равное периоду колебаний Т: Л=тТ. (40.5) Волновое число Л обратнодлиневолныиопределяетсяформулай: (40.6) С учетом этих формул и соотношения ге = 2х Т имеем три эквивалентные формулы для монохроматической волны, распространяющейся в направлении оси Ох; Аяш в(1 — «(т), х б(х,э) = А шп 2 г( — — -), Т А зш(ах — Йс), (40.Л из которых последняя предпочтительнее для использования ввиду ее компактности.
Проанализируем зависимость возмущения в монохроматической волне (40.7) от каждой из переменных х и г в атдельноати. В фиксированный момент времени 1 = 1, возмущение является функцией одной переменной х: Дх,б) = А за(вг, — )х). (40,8) э1 ь ~ ьс(х,г +Аг) О х,, хз График этой функции, который еатественио назвать "мгновенным профилем волны", представлен на рис.
120 сплошной линией. Со временем величина вг растет и синусоидальный профиль волны перемещается со скоростью э в направлении оси Ох -.на рис. 120 он представлен в Рис. 120 момент э,ьдг пунктирной линией. В фиксированной точке х= х, возмущение является функцией одной переменной г и представляет собой гармоническое колебание; 4(хаг) = А ил(ел-йх,), (40.9) Начальная фаза этога колебания, в отличие от амплитуды и частоты, зависит от положения точки: В=-йс, т.е. орестом х увеличивается отставание по фазе. Колебания в яюбых двух точках х, и х„отстоящих друг от друга на длину волны (х, -х, = Л), имеют разность фаз 2х, те. синфазны: р, — рэ =-Лх, -(-)х,) =ЛЛ =2х (синхронность этих коЛсбаинй ПОКаэаяа На рнС.!20: 4(Х„Г,) = 4(Х„Г,), 4(яог, +уи) =ДХ„Г, ЬЬГ)).
ТЕМ СаМЫМ выясняется второй физический смысл длины волны: она равна кратчайшему расстоянию между точками, в которых возмущения синфазны. 122 А б(г,г) = — пп(сх-йг), (40,10) игиючник !)) где А=слэм!, г - расстояние от источника. Таким образом в отличие от волны, распространяющейся вдоль линии (как в случае тонкого шнура), амплитуда Рис.122 сферической волны А)г по мере удаления от источника убывает обратно пропорционально расстоянию.
Если исследование ведется в небольшой по сравнению с расстоянием до источника области пространства (на рис. 122 условно изображена окружностью), то сферические волновые поверхности можно приближенно считать параллельными плоскостями, расходящиеся от источника лучи — параллельными прямыми, а также пренебречь мытым изменением амплитуды, считая ее постоянной в этой области. Волна, у которой фронт является плоскостью, называется п л о с к о й. В плоской волне возмущения распространяются одинаково вдоль всех параллельных друг другу лучей, т.е. при выборе оси Ох в направлении лучей зависят только ат координаты х и времени (рис. 123).
Поэтому она описывается той же формулой, что и волна, распространяющаяся вдоль оси Ох: б(х,!) = А ил(от — /сс) . (40.11) Сферическая и плоская волны. До сих пор мы изучали бегущие волны 2(х,г), описывающие распространение колебаний вдоль одной прямой, например, вдоль тонкого стержня или резинового шнура. Рассмотрим теперь общий случай, когда колебания распространяются в пространстве и, соответственно, возмущение зависит от всех трех пространственных координат: 4= б(х,у,з,г). Обычно исходное возмущение порождается тем или иным источником волн. Источником звуковой волны, распространяющейся в воздухе, могут, например, служить колеблющиеся ножки камертона, а источником радиоволн — излучающая антенна.
Рассмотрим распространение манохроматической волны от точечного источника, рюмеры которого существенно меньше длины волны порождаемых им волн. Некоторое возмущение, имеющее определенное значение фазы, распространяется от источника по всем направлениям, занимая в пространстве некоторую поверхность.
Эта перемещающаяся со скоростью волны поверхность, во всех точках которой возмущение имеет одно и то же постоянное значение фазы, называется ф р о н т о м в о л н ы. Положение фронта волны в фиксированный момент времени называется в о л н о в о й п ов е р х н о с т ь ю. Волновая поверхность неподвижна, во всех ее точках возмущения совершают сиифазные колебания, воспроизводящие с соответствующим запаздыванием колебания исходного возмущения. Если изобразить положения фронта волны в последовательные моменты времени г„ г„ г„..., получим семейство волновых поверхностей.
Линии, всюду перпендикулярные волновым поверхностям, нюываются л у ч а м и, На рис. 121 волновые поверхности изображены в сечении плоскостью чертежа сплошными, а лучи пунктирными линиями. ® В однородной и изотропной среде скорость волны во всех точках и для всех направлений одинакова, еле- еолй довательно, за некоторый промежуток времени возмущение от источника распространяется по всем направлениям на одинаковые расстояния, образуя сфе- Рис. 121 рический фронт. Волна со сферическим фронтом называется с ф е р и ч е с к о й. Ее волновые поверхности - концентрические сферы, лучи - радиальные прямые (рис.
!22), а формула сферической монохроматическай волны имеет вид: 134 Э 41. Стоячая волна а-/у аэ/) яв а- яа/) = 2 на — саз —, имеем с учетом (40.6); 2 2 я*, ) э\ ))+).) ))- ' ) ) )* () (41.1) Эта формула описывает с т о я ч у ю в о л н у. Согласно (41.1) во всех точках стоячей волны происходят гармонические колебания с круговой частотой ш и амплитудой, которая, будучи по определению положительным коэффициентом перед осциллируюшим множителем сазак, является модулем функции А(х) = 2А зш — х, 2л (4!.2) т.е.
периодически зависит от координаты х. График зависимости А(х) дан на рис. 124. В точках а координатами х=0, КЛ/2, КЛ,..., йлЛ/2,... А(х)=0- эдссь располагаются у э л ы стоячей волны. Чередуясь с узлами, в точках х й йЛ/4 йЗЛ/4 й(2л +1) Л/4, располагаются п у ч н о с т и, в которых амплитуда максимальна: А(х) = 2А Узлы, как и пучности, находятся на раастоянии Л/2 друг от друга. .-«(х. О/ ., ь(х, Т/()/ . «(х,Т/4) «(х,уТ/О/ «(х, Т/2) ° - у.иы .
луман щи Рис. 124 При наложении нескольких монохроматических волн одинаковой частоты возникает их интерференция, проявляющаяся в возникновении устойчивой картины распре- деления амплитуды ршультирующего колебания, ! л обычно с характерным чередованием максимумов и минимумов. Подробно явление интерференции будет изучена в соответствующей главе раздела | , р' "Волновая оптика", а сейчас рассмотрим простейший случай, когда интерферируют две монохроматическис волны с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющиеся вдоль оси Ох в противоположных направлениях.
Реализовать этот случай можно. заставив, например„волну « = А эш(ся+Кэ), 0 | х бегущую по шнуру в направлении, противоположном оси Ох, отразиться от жесткой стенки, расположенной в начале координат. При таком отражении фаза волны скачкам изменяетая на л и формула отРис. 123 раженной волны имеет вид: «,=Аэш(ая-ях+л)= -А як(шг-)х). Можно показать, что при наложении волн возмущения складываются, т.е. Рюультируюшее возмущение «(х,г) равно сумме возмущений, которые создавала бы каждая волна а отдельности. Для нашей задачи, используя известную формулу 135 б 42.
Динамика упругих волн Ознакомившись с описанием и общими свойствами волновых процесоов, перейдем к изучению динамики упругих волн. Проблема состоит в том, чтобы вьщснить, при каких условиях возникают волновые процессы и как зависят скорость и конкретная форма волны от параметров, характеризующих эти условия. Решение этой задачи в общем виде выходит за рамки общего курса физики, поэтому мы ограничимся рассмотрением нескольких частных задач, связанных с распространением упругих волн. Упругне волны в тонком стержне. Пусть в тонком упругом стержне, вдоль которого направим ось Ох, в начальный момент времени г = 0 имеется неоднородная продольная деформация растяжения-сжатия, прн которой смещения точек стержня относительно их равновесных положений овисываются возмущением б„(х,О). Установим уравнение, которому подчиняется распределение возмущений б„(х,г) вдоль стержня в произвольный момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
