Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 70
Текст из файла (страница 70)
в окрестности г = 21 функция 7 знака не меняет. Разбор вариантов, когда функция 7 существует только в одной из полуокрестностей точки г = В или когда только один из интегралов (1) является расходящимся, предоставляем читателю. Ь б71. При каких значениях постоянной а система й. 2 Ф вЂ” = (г — 1)(а+5!п Р), — = 1 д( д( имеет устойчивый предельный цикл? Неустойчивый? м Разделив одно уравнение почленно на другое и проинтегрировав, получаем: ~г — 1~ = Сехр ((а+ -) (з — ) .
Отсюда видим, что замкнутые кривые возможны только при С = 0 (любом а ~ — 2), а также 1 при а = — 2 (любом С). Однако в последнем случае мы имеем семейство замкнутых, но не 1 изолированных кривых, поскольку значение параметра С можно менять непрерывно. Таким образом, окружность г = ! — единственное изолированное периодическое решение (а Ф вЂ” 2). !т Ясно, что г = г(у) — ! при Р— +со только в случае, когда а < — ч, т.е. предельный цикл 1 устойчив лишь при а < — 2. м 1 В задачах 672 — 678 установить, имеются ли предельные циклы. 672 з + З,з 1 уз хз 1 уз 1 уз ! у 4 Поскольку функции Г = 1(х, у) = хз + Зхз + уз, д = д(х, у) = аз+ уз+ уз+ у имеют непрерывные частные производные и выражение — + — =5х +9х +5у +Зу +1>О, дз ду а г 4 дх ду то согласно признаку Бендиксона на фазовой плоскости нет предельных циклов.
М 673. х = х — 2уз, у = Зх + у. м Возьмем семейство гладких замкнутых линий, покрывающих плоскость Оху, в виде е(х„у) гя Зх'+ у" = С. 321 Поскольку выражение П= — у+ — д=бх(х — 2д)+4д(Зх+д)=бх +4д >Оз де де г з зз з 4 4 дх дд то согласно признаку Пуанкаре данная система дифференпиальных уравнений прелельнык никлов не имеет. ~ 674. х = х'+д'+1, д= яд и Поскольку система не имеет особых точек, зо согласно и. 3.4 никакая односвязная область на плоскости Охд прелельных пиютов не имеет.> 675.
х+2х+х'+х=О. и Переходим к системе х=д, д=-2д — д' — х и применяем признак Бендиксона: дд д з г — + — ( — 2д — д — х)= — 2 — Зд <О; дх дд значит, предельнык пиклов нет. > 676. х+ (х' — 1)х+ х' = О. Н Пользуемся теоремой Левинсона — Смита. Здесь фузгкции 7 = 7(х) = х — 1, д = д(х) = = х' непрерывны при всех х и обеспечивают, очевидно, единственность резиения задачи Козин, непрерывно зависяшего от началызых условий. Кроме того, выполняются условия: !) хд(х) = х > 0 Юх Ф О; 2) 7, д — дифференцируемые функции; 3)х — !<Она(-1,1) их — 1)Оприф)1; 4) Р(х) = / (а — 1) г(з = ~- — х и Р(со) = со; о 5) 6(х) = / оз дз = -*~- и 6(~со) = со; о б) 6(-1) = 6(1) = д.
Следовательно, согласно указанной теореме, на фазовой плоскости Охд имеется единственный устойчивый предельный цикл. ~ 677. х+х' — 4+в=О. М Применяем теорему Рейссига. Поскольку 1) 7(0) = О, где г'(д) = д' — д; 2) хд(х) > О, где д(х) = х при х ~ О; 3) д г(д) = д~ — д' = дз(д — !) < О при !д~ < 1; 4) Д(д) аап д = 1д1(д~ — 1) ~ )е > 0 при 1д) > Оз > 1; 5) шах !д' — д~ = М = — > 0; 2 Ыяз 33 б) д(х)зйпх = !х( > — ~+с при (х! > б = — -+ е; 2 7) функции 7" и д непрерывны и обеспечивают выполнение условий существования единственного и локально устойчивого решения задачи Коши, то по указанной теореме на фазовой плоскости (х, х) существует по меньшей мере один устойчивый предельный цикл. > 678.
й + Р(х) + х = О, где Р— непрерывная функция и Г(д) > 0 нри д > О, Р(д) < 0 при д < О. Н Возьмем семейство гладких замкнутых кривых е(х, д) гн х + до = С и составим выражение де де П= у — +д —, дх дд' 322 Г;ь б. Устойчивость в фазввые траектории где У = 1(х у) = у, д = д(х, у) = -х — х'(у) — правые части системы дифференциальных уравнений х= у, у= — х — Р(у). Тогда, поскольку й = — 29Р(д) < О, то согласно признаку Пуанкаре предельных циклов на фазовой плоскости нет. )ь Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на устойчивость решения уравнений и систем: 1.
х'у" — 2ху' + у = О. 2. (2х + 1) у" + З(2х т 1)у' — 4у = О. 3. х'д"' -г хд' — у = О. 4. (1+ х')у" + ху' + 29 = О. 5. , 6. , ' 7. х х — 2(у=-О, ~а+1(2х — у)=-0, ) Гх ч-Сх'хх — 9=0, у'+2(х=-О. ' ~ д' — ((х — у)=-0 1(('дч+(у' — 2х+у=О. 8. ух+29'+5у=О 9. у~я-29~'-Ь5уЯ~=О. 10. д~~'+2уче +4учтЗд'4-29=0. И.
уш ь2у"'+Зуч ь у'+ау=О. 12. х'+х+5у=О, у' — х — 9=0. 13. х' =. х + х — у, у' = х + у — з, з' = 2х — у. 14. х' = 2х — з, д' = х — у, з' =. Зх — у — з. 15. х' = Зе — Зу+ з, у' = Зх — 2у+ 2з, У = — а+ 29. Пользуясь первым методом Ляпунова, исследовать на устойчивость указанную ючку покоя следуюшнх систем. 16 х = х + д — 2х, у' = Зхз — х + Зу; (О, О) 17.
х' = егн т — сов Зх, у' = ь/4+ 8х — 2е"; (О, 0). 18. х' = )п(Зе' — 2 созе), у' = 2е' — т)г8+129; (О, О). 19. х' =ый(а — д) — -~-х, у' = 1/9 + 2х — 3, У = --3-у; (О, О, 0). Исследовать на устойчивость указанную точку покоя систем: 20. х" = 2х — )у+ ау, у" = х — 2у+ х'+у'; (О, 0). 21. х" = ет — И у" = )п(1+я); (О, 0).
22. х" + Зу' — х + соз у = О, х' + Зу — ем + 1 = 0; (1, 0). 23. х" — 2У" + е" — 1 + з)д(х — ЗУ) = О, 4У" — 2х" — Яп х + 2х/) - За т 5У вЂ” 2 = 0; (О, О). 24. х" = -4ъ/) -2х — мну+4, у" = )п(1+а); (О, О). 25. х" = х — у, у' = е™ вЂ” е"; (О, О).
Используя вюрой метол Ляпунова, исследовать на устойчивость нулевую точку покоя слелующих систем: 26. х' = д — Зх — х', у' = бх — 2у. 27. х' = -ху, у' = -х~. 28. х' = -у — ху~, у' = 2х — у — у . 29. х' = 29 — х', у'= 2х — у~. 30. х' = Зу' — х', у'= -Зх' — д'. 31. х" = — у',у" = х' . 32. х' = уз, у' = -х' . ЗЗ. х' = -х + Зу + х, у" = -у — у — Зх. 34.х~~=-хз-уч-х~-х, у'=х" +9~+9.35.х'=-д'-х-ху'~ у"=х-у-у'. 36.
х'=-х-ху, уе=-у~+я~.37. хч=-х'-у-х-хд', д'=-у+х'-у'. Глава 7 Метод интегральных преобразований Лапласа решения линейных дифференциальных уравнений При построении решения задачи Коши для определения соответствуюших произвольных постовшых необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений. Этопз можно избежать, если лля построения решения указанной задачи применить могол интеграяьных преобразований Лапласа.
Тогда получим решение задачи, не используя общею решения уравнения. Этот метод, который получил название операционного нли символического исчисления, широко применяется для решеш я многих классов линейных дифференцначьных уравнений, как обыкновенных, так и в частных произаолных, а также линейных и1пегро-дифференциальных уравнений типа свертки. К стим классам уравнений приводят многие задачи электротехники, радиотехники, теории автоматическою регулирования н ряда других обласшй науки н техники.
$1. Преобразование Лапласа. Основные понятии и свойства 1.1. Оригинал и изображение. Фуикцлей-орлгавалом будем называть любую функцию у; )(1 -г С, определенную на всей числовой прямой х( и удовлетворяющую следующим условиям: 1) 1 — непрерывна» или кусочно-непрерывная функция вместе со своими производными и-го порядка на всей числовой прямой; 2) 'г( < 0 Х(1) = О; 3) сузцествуют такие постоянные И > 0 и а > О, что Уг > 0 справедлива оценка ~ч(1)/ < Ме" .
Показателем роста функции у" называется число а = шЦа). Для ограниченных функций считаем„что а = О. Условия 1) и 3) выполняются шш большинства функций у, описываюших физические процессы. С физической точки зрения условие 2) вполне естественное, поскольку для физики безразлично, как ведут себя искомые функции до начального момента времени, который всегда можно принять за момент 1 = О. Операционный метод приспособлен к решению дифференциальных уравнений с начальными условиями, о чем упоминалось выше. Простейшей функцией-оригиналом является функция Хевисайдл О, где ( О, если 1 < О, 1, если Г>0.
Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа 324 Если функция ор удовлетворяет условиям 1) и 3) и не удовлетворяет условию 2), то произведение О, если 1(0, о( р«), если 1> 0 удовлетворяет условию 2), т. е. будет оригиналом. В дальнейшем множитель 0 будем опускать в записи функций, очная их равными нулю при 1 < О. Определение. Изобрахсением функции 5 по Лапласу называют функцию комплексного переменного р = о + (а, определяемую соотношением Г(р> = ~ У«>е-" дй (1) о Связь между функциями 5 и Г символически обозначается знаком ф, т. е, 7 Ф Г. Смысл этого обозначения состоит в том, оригиназу 7' сопоставлено изобрюкение Г, а изображение Г имеет своим оригиналом у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
