Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Односвязная область Р на плоскости Оху не содержит предельных циклов„если в этой области нет особых точек системы (2). (4) 3.5. Призяаки наличия пределъвык циклов. Теорема Левинсона — Смажи. Пусть в дифференциальном уравнении х+ ху(х) + 9(х) = О, (5) функции Г' и д непрерывны при есвх х и обеспечивают единственное решение задачи Коши, непрерывно зависящее от начальных условий. Пусть, кроме того, выполняются следующие условия: 1) хд(х)>0 дчн хФО; 2) Т, д — дифференцируемые функции; 3) Г (х) < 0 на ( — х„хг), где хг, хг полахситвльны, Г (х) > 0 двя всех остальных значений х, причем Р(ос) = со, гдв Р(х) = ~Г (в) двг в 4) О(~со) = оо; 5) 6( хг) = 6(хг), где О(х) = /9(в) йв.
о Тогда уравнение (5) имеет едшгственный устойчивый предельный цикл на фзювой плоскости (х, х). Теорема Рейссига. Рассмотрии уравнение х+ ((х) + д(х) = О, (6) где у, д — непрерывные функции, у(0) = О, хд(х) > 0 при х ф О. Пусть функции У, д дгя всех их аргументов непрерывны и обеспечивают существование единственного решения уравнения (6), удовлетворяющего заданным пачавъным усвовиям и непрерывно зависящею от этих условий. Пусть, кроме 3.3.
Предельиые циклы, Предельным циклом системы (1) называется ззмкггутая изолированная траектория этой системы, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, по которым фазовая точка неограниченно приближается к этой замкнутой кривой при ( -+ +ос или при à — -оо. Если траектории системы (1) приближаются к предельному циклу только при б — +ос, то последний называется устойчивым.
Если же траектории системы (!) приближаются к предельному циклу только при ( — оо, то он называется неустойчивым. В случае и = 2 (фазанья плоскость) рассматривают так называемые полуустойчивые предельные циклы. Именно, предельный цикл на фаэовой плоскости называется погуустойчивым, если траектории системы (2) с одной стороны приближаются к нему при ( - +со, а с другой — при 1 — -со. Следовательно, возможны полуустойчивые циклы двух типов. Теорема. Пусть К вЂ” предельный цикл система (2), правая часть которой непрерывна вместе со своими частными производнььяи по х и по у. Тогда всв внутренние травюнарии, начинающиеся вблизи К, наматываются на него, как спиравц либо при Г +со, либо при à — ос. Высказанное утагрждение справедливо и сля внешних относительно предельного цикла траекторий.
302 в 3. Фазоаая нлвскветь 1) УЗ(У) < 0 пРи (У( < Ог, гй > 0; 2) 1(у)ндпу > в > 0 пуи (У( > Ог > г),; 3) гпах Т'(у) = М > 0; ь!ят 4) у(х) звп х > М -1- е при (х( > д > О. Тогда на фазовой плоскости система *=У У= У(х) Т(У) сущесгпвует по меньшей мере один устойчивый предельный ишт. В задачах 652 — ббб для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. 652. х — х+ х' = о. м Полагая х = у, переходим к системе у =х — х, х=у, из которой почленным делением ее уравнений получаем ду х — х з дх (ч) нли (при у ~ 0) уду = (х — х ) дх.
Обцгий иггтеграл уравнения (*) имеет вид: 3(у хз)+2х С Поскольку при замене у на -у интегральные кривые вида своих уравнений не меняют, то все они симметричны относительно оси Ох. Давая параметру С конкретные значения и используя обычные средсгна математического анализа, строим картину траекторий на фазовой плоскости (рис. 54). Заметим, что кривым, охватывающим точку (1, О), соответствугот значения С, уловлетворяющие неравенству — 1 < С < О. Далее, уравнение (*) имеет две особые точки: (О, 0) и (1, 0), Отбрасывая х' а указанном уравнении, получаем укороченное уравнение ду и с(х у — Л 1 1 Поскольку его характеристическое уравнение ~ ! Л ~ = Л вЂ” 1 = 0 имеет корни с отличными от нуля действитедьными частями, то со~ласно и.
2.2, особая точка (О, 0), являющаяся седлом для укороченного уравнения, будет седлолг и для уравнения (*). Д.и исследования особой точки (1, 0), как обычно, сначала перенесем начюю системы координат в зту точку: х = 1 4 д, и = О. Отбрасывая в полученном уравнении нелинейные члены, приходим к укороченному уравнению до дб 0' лля которого особая точка (О, 0) являезся центром. Таким образом, точка (1, 0) для исходной системы может быть фокусом или центром. В силу симметрии интегральных кривых относительно оси Ох (см. п.2.2), точка (1, 0) — центр. М 653. х х+2хз=о. ° Переходя к системе Оху, положив х = у, получаем 3 а=у, у= -2х. Отсюда почленным делением уравнений, а затем интегрированием находим Рис.
55 семейство траекторий на фазовой плоскости: у'+ х = С. Каждая траектория представляет собой леформированную окружность (рис. 55). Очевидно, точка (О, 0) — центр, м ЗО8 Гл. б. Устойчивость и 4сазовые траепории 654. й+2хз — 2х = О. И Полагая х = у, приходим к уравнению г(у 2(х хз) с(х общее решение которого имеет вид: г = сс'сгг -*'г. Рвс. 57 Ряс. 5Ь Поскольку траектории симметричны относительно обеих координатных осей, то далее считаем х > О, у > О.
Если в (1) положим х = у = О, то получим С = О. Следовательно, кривая =г гг- г проходит через начало координат (рис. 56). При С > 0 все траектории проходят выше этой кривой (рис. 57); причем в точке х = 0 производная у' = О, а при у = 0 она не ограничена (точнее, у' — -оо при у +0). Далее, при С < 0 из неравенства х(2-х»-С г г следует, что Ряс. 59 с С ~ +~~ гс г -с.
Значит, при уменьшении С область существования семейства траекторий сужается и при С = — 1 траектории вырождаются в точку (1, 0) (рис, 58). Наконец, зеркально отобразив кривые, изображенные на рис. 58, относительно оси Ох, а затем полученную картину — относительно оси Оу, будем иметь полную картину траекторий (рис.
59). Очевидно, точки (1, 0) и (-1, 0) — центры, а точка (О, 0) — селло. и 655. х — 2*+ х + 1 = О. и Перейдя на фазовую плоскость, имеем г(у 2с — х — 1 х=у, у=2* — х — 1 (1) с(х у Интегрируя уравнение (1), получаем семейство траекторий: 2*ы у = — — х' — 2х+С. 1п2 (2) Далее, используя обычные методы математического анализа, строим картину интегральных кривых (2) (рис. бО). Отметим, что кривой, проходящей через точку (1, 0), соответствует значение ф С = 3 — —.
1п2 309 Замкнутым кривым, охватывающим начало координат, соответствуют значения С, определяемые неравенством 2 4 — — < С < 3 — —. 1п2 1п2 » "зо )»(о Зл 7л з з' 0 з Т 7л За Рлс. Ог Значения С для остальных кривых указаны на рис. 60. и 3 Рас. Оз 656. х+ 2созх — 1 = О. М Из системы х = у, у = 1 — 2 соз х получаем Цу 1 — 2созх з уз = 2х — 4йпх+ С. с(х у р(х) = 2х — 4з(пх (рис. 62), а затем картину семейства ОЗ(х) = 2х — 4мпа+ С путем параллельного переноса графика функции р (рис.63).
Теперь построим семейство кривых (5»(х) = 2х — 4з(па+ С > 0 (рис. 64). Далее строим семейство кривых у = ~)/ф»(х) (рис. 65) (точнее, на рис. 65 изобралсена только часть зтопз семейства в окрестности двух особых точек ( — $, 0) и (О, ~т) — центра и седла соответственно). Для получения всей картины семейства траекторий на фазовой плоскости Оху следует картину, изображенную на рис. 65, периодически (с периодом 2»г) продолжить яак влево, так и вправо относительно ее первоначального положения.
Тогда получим следующую картину (рис. 66). 1ь Решив конечную систему у = О, 1 — 2созх = О, находим особые точки: М» Я+2йа.,О), л» (-~у+ 2йзг, О), где (с б х. далее, нетрудно установить, что 1»х» — седла, а 117» — центры (рис. 61). Для построения картины семейства (1) сначала строим кривую Гл. 6. Устейчнвесп и фазовые траектории 657. х + 2х+ 5х = О.
м Сделав замену х = у, приходим к линейной системе х=у, у=-2у — 5х с особой точкой (О, О). Поскольку корни характеристического уравнения этой системы равны -1З:26 то особая точка — устойчивый фокус. Положив в системе х = 1, у = О, находим вектор фазовой скорости е = (О; — 5), с помощью которого мы, учитывая устойчивость фокуса, устанавливаем направление закручивания траекторий на фазовой плоскости (рис.67).
и 658. й+*+2х- '=О. м Полагая в данном уравнении х = у, получаем систему дифференциальных уравнений: 2 в=у, у=в — 2х — у, из которой следует, по точки (О, 0), (2, 0) — особые. Обычное исследование их показывает, по точка (О, 0) — устойчивый фокус, а точка (2, 0) — седло, причем прямые у2 = х — 2, уг = -2х+ 4 Ряс. 42 являются касательными к интегральным кривым, входящим в него (рис,бе). Далее, судя по знаку производной х — 2х — у 2 у = у устанавливаем грубую картину интегральных кривых (рис.
69). Заметим, что на параболе у= а — 2х интегральные кривые достигают экстремальных значений; ось Ох они пересекают под прямым углом, а ось Оу — под углом 45'. Используя эти данные, строим картину интеграяьных кривых (рис.70). и 659. х + хз — х + 1 = О. м Из уравнения * — у — 1 = О 2 2 2 2 Ну х — у — 1 Рве. бв у (е) находим области возрастания и убывания интегральных кривых на фазовой плоскости Оху (рис.71).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
