Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 62
Текст из файла (страница 62)
х! — — 1п(1+х, + япхг), х, = 2+(Зз!пхг — 8)э. м Система уравнений 1 1л(1+ хэ + з!и х) = О, 2+ (3 йп х, — 8) э = 0 имеет следующие пары действительных корней: (Ьг, 0), где й б Е. Далее, как и в предыдуших примерах, делаем замену х1 — — Ьг+ен хэ = е,, а затем уже известным способом получаем линейную относительно малых возмущений ен ег систему уравнений: р . р( е~ =ег+ ( — 1) ен еэ = ( — 1) — ен 4 корни характеристического уравнения которой имеют вид: 1 у Лкз = — ((-1) *)Г1~+ +(-1)р). 2(, Далее применяем первую теорему Ляпунова, п.1.2. Именно, если й = 2п+ 1, то йеЛь, < О.
Следовательно, точки равновесия ((2я+ !)я, 0) асимптотически устойчивы. Если же й = 2п, то Ке Лг > О. Поэтому точки равновесия (2пх, О) неустойчивы. !ь Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений: б03. й+9х=яп!. м Пусть е(!) — малое возмущение общего решения 1 х = С, япЗ!+ Стсоз31+ — яп! 8 данного уравнения. Тогда, произведя замену х = Сг зш 3!+ С, соз 31+ в яп г+ е(!), относительно 1 функции е = е(!) известным пугая получим уравнение с+9е = О, общее решение которого е(!) = Аз(пЗ!+ВсозЗ!. Отскща следует, что если в начальный момент гр возмущение мало (~/А~+ Вт < б), то в сил' оценки (е(Г)) < ъГАт+ Вт < б = е оно останется малым тт > Гр.
Таким обрамгм, все решенг .. данного уравнения устойчивы (асимптопрческой же устойчивости нет, поакааыгу е(!) / 0 лри ! — +со). > 285 $1. Устойчивость 604. 'х+4х+ 5х = г. <«Для проверки устойчивости общего решения гг х(1) = Сэ+ е ~(Сгсоаг+Сэппг)+ — — — 1 РО 25 предложенного уравнения введем функцию возмущения е = е(1), положив -в 4 х = С, +е (Сгсозг+Сэз!пг)+ — — — (+е(1). 10 25 Тогда относительно е(1) получим уравнение: 'е'+4е+ 5г = О, из которого следует сОЛ = Аз+с г (Агсоз(+ Аэз!пт).
Отсюда видим, что если !Аэ/+ )гэА, '+ Аэ г< д (начальные возмУщениЯ малы), то и пРи 1 > Ге бУдет )с(10 < )А э !+~/А', + А,' < д = е, где с > 0 — наперед заданное чисэю. Следовательно, асс решения исходного уравнения устойчивы (асимптотичсской устойчивости нет, так как !пн х(1) ~ 0). > з «о 605.
Найти периодическое решение уравнения 'х +к = саз( и исследовать его на устойчивосгь. <«Из общего решения уравнения следует периодическое решение ! й(!) = — (соз( — з!пг). 2 Сделав замену х = й(1) + е(1), относительно функции г = е(1) получаем уравнение общее решение которого е(1) =Се +ег ~Сгсоз-2-1+Сззш — 2-() -з 11 ГЗ . нэ ) неограничено в окрестности 1 = со. Следовательно, найденное периодическое решение неустой- чиво. > Построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Летаева, исследовать устойчивость нулевого решения в следующих задачах. г э 606, Аэ = хг — хэ + хзхг, хг = хз — хг — х~ — хг.
<« ЛиффеРенциРУемаа фУнкциЯ н = н(х„ хг) = х', + хгг УдовлетаоРЯет УсловиЯм: а) н(хэ, хг) > 0 при хгз + хгг зе О, н(0, 0) = 0; б) лТ = дщз из+ дщ хг = 2хэ(хг-хз+хэхг)+2хг(хз — хз — хз — хг) = -2 ((хэ — хг) + хг)~ < О. ан дн . дн г э г' г Следовательно, согласно второй теореме Ляпунова (п.1.3) можем утверждать, что нулевое решение устойчиво.
Более того, так как поверхность х = 2((хз хг) +аз) г « имеет чашеобразный внд, то существует достаточно малая окрестносп 0 < дз < !)х)! < бг такая, что -д- < -1) < О, где Д вЂ” число. Поэтому в данном случае нулевое решение усюйчиво лн асиюпотически. ~ 607. хэ = 2хг — хзз хг = -хз хг+ аз 3 з 3 3 <«Поскольку дифференциауемая функция н = н(хн хг) = хэ + хг удовлетворяет условиям: а) н(х„хг) > 0 при хгз+хг Ф О, н(0, 0) = 0; б) дг = 2хз(2хг — хз) + 4хг(-хз — хэг + х3) = -2(хз + хг — 2хг) < 0 в некоторой малой ан окрестности тачки (О, 0), то по второй теореме Ляпунова (п.
1.3) нулевое решение усюйчиво. > 286 Гл. 6. Усгойчивосзь и фаммые траектории 608. й! — — 2хг — х! — хг, йз — — х! — 2хз. з м Функция е = е(х„хг) = (х!+Х,) 42хг дифференцируема, неотрицательнапри х,+х, г= 0 1 з и е(0, 0) = О. Ее полная производная ВГ в силу уравнений данной системы имеет вид: ло Ж 4 — = 2(х! + хг)(хг + хз) + 2хгхг = — бхг < О. 4(! Следовашльно, согласно второй теореме Ляпунова (и. 1.3), пулевое решение устойчиво, ° 609.
х! — — х! — Хг — х!х'„хг — — 2Х, — хг — х,. з м проверим, что днфференцируемая функция е = е(х„х,) = х, — х,х, + 2хг удовлетворяет г ! г условиям второй теоремы Ляпунова (п.!.3). Действительно, е(х„хг) > 0 при х', + х, Ф 0 (2е = = (х, — хг) + хз > 0) и е(0, 0) = 0; 4(С .
22 2 2! — = (2Х! — хг)х! + (хг — х !)х2 — — -х2 ~(ХЗ вЂ” х2) + х1) (~ О. З(! Таким образом, нулевое решение устойчиво. М 610. й, =-ипх„х, =х,. и В данном случае можно подобрать функцию Ляпунова в виде: ! е(х„х,) = — х, + 1 — созх,. 2 Очевидно, в некоторой малой окрестности точки (О, 0), исключая саму зту точку, будет е(х„х,) > > О. Далее, полная производная 2Г в силу данной системы имеет внд: зго = ХЗХЗ + 51ПХ2 Хг = Х1( — 51П»2) + г! 5!ПХЗ = О. зй Следовательно, нулевое решение устойчиво. и 611 х! = /!(Х1) /2(хг), хг =/з(ХЗ) — /4(хг), где Зап/з(») = Збп», з'= 1, 2, 3,4.
м Возьмем функцию Ляпунова е в виде 42 Е(Х1 »2) / /3(»)1!»+ / /2(»)1!»' о о Очевидно, е(О, О) = О. Далее, в силу условия збп/,(») = орп», инте!ралы 4! *2 /З(») 4(»з / /2(») З(» о о положительны при х, ~ 0 у хг ~ 0 соотве!огненно (считаем, что функции /, непрерывны). Наконец, полная производная аге = /З(ХЗ)ХЗ+ /2(Х1)Х1 /З(Х1)(/1(ХЗ) + /2(Х2)) + /2(ХЗ)!/З(ХЗ) /4(Х2)) зй = — (/з(хз)/1(х!) + /2(хз)/4(хз)) < О (произведение функций, имеющих один и тот же знак, неотрицательно). Следовательно, нулевое решение устойчиво. м 3 3 612, х, =х, — х„йз =х, +хг.
м Функция н = е(хп х,) = х, + хг удовлетворяет условиям: г а) е(хз, хг) > 0 в области У: хг+хг ~ О. На границе области 12 (в точке (О, 0)) «(О, 0) = О. б) ~у =2Х!х!+2хгйг =2Х!(Хз!-хг)+2хг(х!+хгз) =2(хо!+хо) >0 при (ХЗ, хг) Е У. Следовательно, согласно теореме Четаева (см.
п. 1.3) нулевое решение неустойчиво (заметим„что в качестве функции го = зи(х) здесь можно взять выражение зи = 2(хо! + хо) ), м з г з 613. х, = х хг — х', + х„х, = а, — хг. м В качестве функции ляпунова возьмем функцию е(ХЗ, хг) = х!хз в области У: х!>О д 0<хг<1. 287 В задачах 616 — 623 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь условиями отрицательности действительных частей всех корней многочлена с действительными коэффициентами.
616. хит+ 2'х +4х+ Зх + 2х = О. М Для исследования устойчивости нулевого решении военояьзусмся КРитерием Рауса — Гурвица. Матрица Гурвица в данном случае имеет вид: Поскольку ее главные миноры 2 ! 0 2 1 0 0 Ьз= 3 4 2 =-7>0, Ь4= 0 2 3 4 =14>0, 3 4 2 1 023 0002 Аз=аз=2>0, 752 / 3 4 ~ 5>0 2 ! то, согласно указанному критерию, действительные части всех корней характеристического многочлена Ла+ 2Л' + 4Л + ЗЛ + 2 отрицателызы. Следовательно, нулевое решение асимптотически устойчиво, ° 617. х" + 2х'"+ 5хм+ бха+ 5х'+ 2х = О, ч Как н в предыдушем примере, применим критерий Рауса — Гурвица, Матрица Гурвица 2 1 0 О 0 б 5 2 1 0 2 5 б 5 2 0 0 2 5 6 0 0 0 0 2 Очевидно, е(О,хг) = е(хп О) = 0 и точка покоя (О, 0) принадлежит границе области )г.
Палее, е > О в области !' (при всех 1).Полная производная 2 2 4 — = х,(1 — х,)(х, + хг) + х, = ю(х„хг) > 0 в )г. Ж Следовательно, по теореме Четаева, нулевое решение неустойчиво. ~ з з 614. х, = -х, - х,х„*', = х, - х,, м Рассмотрим функцию е = е(хг, хг) = хг г— хг в области !'г хг < 1 л хг > (хг). на части границы этой области (при )Щ < гз = 1) е = О, причем точка (О, 0) згрнгзадлежит границе )г. Палее, в )г функция е = е(х„х,) > О. Полная производная в силу системы 2 4 — = 2(хз+ хг+(1 — х~)х хг) > 0 в И гй Таким образом, поскольку все условия теоремы Чеиева здесь выполнены, то нулевое решение данной системы неустойчиво.
> 615. При каких значениях а система уравнений х, = х, + ахз — х„хг = -х, — хг имеет 5 ° С усгОЙчнвузо точк! покоя аз — 0 хз О . м Отбросив нелинейные члены в правых частях уравнений, применим теорему Ляпунова об исследовании на устойчиыкть по первому приближению. Характеристическое уравнение Л г о Г' — аЛ+ 1 = О линейной системы х! --- хз + ахн хг — — — хз имеет корни Льг = Т х (( 4 — 1. Отсюда следует, ч:.ю ВеЛ < О, если а < О.
При этом, согласно теореме Ляпунова, ззулевое решение устойчиво асимптотически. Гели же а > О, то по указанной теореме решение х~ —— О, хг = 0 будет неустойчиво. Наконец, прн а = 0 об устойчивости ничего сказать нельзя, если пользоваться только этой теоремой. Итак, пусть а = О. Возьмем функцию е = е(х„х,) = х', + хг в области )г: х', + х, '54 О. Поскольку е(хн хг) > О в !', е(0, 0) = 0 и ~~ — — -х4 — х, '< -)3 < 0 вне некоторой окрестности начала координат, то, согласно второй теореме Ляпунова (п. 1.3), нулевое решение асимптотичес- ки устойчиво. Таким образом, при а < О тривиальное решение асимптотически устойчиво, а при а > 0 оно будет неустойчивым, м Гл. 6.
Устой'швасть и фазовме траектории 288 имеет главные миноры 2 1 0 зЛз — — 2>0, Ьз=~б 5(=4>0, Ьз= 6 5 2 =8>0, 2 5 6 2 1 0 0 6 5 2 1 2 5 6 5 0 0 2 5 =1б>0, г1гз— - 2зЛз=32>0. Поэтому согласно критерию действительные части всех корней многочлена Л + 2Л + 5Л +6Л + + 5Л+ 2 отрицательны. Значит, нулевое решение асимптотически устойчиво. М 618. х + 4хзт+ 1бхм+ 25х" +!Зх'+9х = О.
л Применяем критерий Льенара — Шипара. Поскольку нужные нам главные дишональные миноры матрицы Гурвица 4 1 0 0 0 25 16 4 1 0 9 13 25 16 4 0 0 9 13 25 0 О 0 О 9 все положительны: 4 1 0 О 4 ! 25 !б 4 ! ззз = ~ 25 Гб ~ х 39 > О~ ззз — — 9 ГЗ 25 !б —— 5210 > О, 0 0 9 13 и, кроме того, все коэффициенты характеристического уравнения Л + 4Л +!6Л + 25Л'+ 13Л+ 9 = 0 м Матрица Гурвица имеет положительные главные диагональные миноры 2 1 0 гЛз=2>0, гЛз= 5 6 2 =11>0.
0 6 5 Поскольку, кроме того, все коэффициенты характеристического уравнения Л +2Л +6Л +5Л+б= 0 положительны, то по критерию Льенара — Шипара действительные части всех корней этого уравнения отрицательны. Таким образом, мы имеем асимпготическую устойчивосп. ° . 15 б20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
