Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 57
Текст из файла (страница 57)
з!п((пх)-~- 5 40 1040 / ~ 5 40 520 х х Зх' )'2х Зхз хз + в' 1+ — — — — — -+ ...в з!и(!па) — — + — — — + ... саз(!ох) 5 40 1040 / (т 5 40 520 Следовательно, и(х) = о(х) соз(!и х) +,9(х) звп(!и х), е(х) = а(х) звп(!л х) —;9(х) соз(!» х), х х Зх 2х Зев х' о(х) = 1+ — — — — + ..., 13(х) = — + — — — + .... > 5 40 1040 ' 5 40 520 555. 'Уо+(3 — Пу'+У=О. М Будем искать частное решение в виде у(х) = 2 а„(х — хо) . Тогда вшя коэффициентов а„способом, изложенным в примере 539, получим: (1 — Зхо)а в — ао 1 г г зт ав = в аз = —, (ив (1 — Зхо + 11хо) — а,(1 — 5хо)), ... 2 хо ' бхов Коэффициенты ао, а, произвольны, хо ~ О.
Если хо —— О, то решение ищем в виде обобщенного степенного ряда у(х) =(ао+авх+азо + ...)х'. Подставив ряа в уравнение и приравняв коэффициенты прн соответствующих степенях *, найдем (и+ а)(и+а+ 2)+ 1 аао = О, а„вв —— а„(п = О, 1, 2,...). (1) а + п + 1 В силу того, что мы ищем нетривиальное решение, следует положить а = О. Пуси ао — — 1, тогда из (1) последовательно определяем аз=2!, а,=1, аз — 3,, а„— л., Следовательно, У(х) = 1 + 1! х + 2! х + ... + и! х" + Очевидно, что этот ряд сходпгсв лишь в точке х = О, ы $2.
Аналитические ирнблвлгеииме меняя 259 гг 4 соз(2я — 1)х 2 х „, (2я — 1)2 В силу равенства г'(х+ 2х) = 1(х) ггх е (-со, +со) гг 4 соз Л„х г(х) = — — — ) -, Л„= 2п — 1. 2 х„, Л„ Далее, приняв во внимание 2а-перноличность функции у, решение ищем также в виде 2хпериодической функции у: о» У(х) = †.1. ~аосозйх+ Ьо ого йх. 2 уравнение и приравнивая коэффициенты при функциях х »-» яп йх, Подставляя этот ряд в соо гох, имеем: 1 аго-2 21 1 г йг а„=ь,=о, йбР[. х(2й 1)г(йг й 1 П' л ао = —— 3' Следовательно, гг 1 соз(2й — 1)х у(х) = — — + — ~, . Э» б а „, (2й — 1)' 2япх ° У У У= 5 — 4 сот х я Очевидно, функция 2о!Пг: /(х) = 5 — 4соох 2а.-периодическая, поэтому частное периодическое решение уравнения ищем в виде ао у(х) = — +~,аосоойх+Ьояпйх.
2 о=! Подсявив этот ряд в уравнение и приняв во внимание, что функция у нечетная, получим 2япх ао = О аотйо(й +й) = О, ) соо)пйх =, со =(й йй)ао-Ьк, й Е Ь( 5 — 4соох' Умножив тождество на 5 — 4 сов х, представим его в виде: »Ю 5~ сояпйх — 2~ со гяпйх — 2~ сьм япйх = 2япх. ою 2=2 о=о Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим 5сг — 2сг — — 2, 5со — 2со 2 — 2соог = О, й =2, 3, ... Из второго уравнения (2) слсаует (2) со — -а2 + —, )5 (3) где а,,0 — произвольные постоянные. Использовав первое уравнение (2), получим а +,0 = 1. Решив систему уравнений (1), (3), будем иметь: 2 а2'+(1 — а)2" а2" +(1 — а)2 о ао (й +й) 1, (12 й)г Ьо = — 1+(йг+1)2 В следующих задачах найти в виде тригонометрических рядов периодические решения данных уравнений: 55б.
у" — 3У = ~(х), 1(х) = [х[ при [х[ < х, ~(х + 22г) я ~(х). я Поскольку функция у при [х[ < гг непрерывна, дифференцируема при О < [х[ < гг, у(к) = г"(-х), то она разлагается в равномерно сходящийся к ней в каждой точке х е [ — гг, гг) тригонометрический рял Фурье 260 Гл. 5. Приближеннме методы решения шофферевцвальиых уравнений Поскольку ао — О, Ьо -+ 0 при й -1 +со, то в посзидних соотношениях следует положить а = О.
Итак, окончательно имеем: йз+й 24(1+(рз+!>2)' " 22(!+(>з+1>2)' (йз+ й)соз1ох —.мпйх У(х) = 2 Ф ~ 2 (1+(» +й)2) ип 2»х уо — Зу — 52 = ~ 558. зо+ бу+ 82 = ~ 2=1 Л Поскольку правые части являются зг-периодическими функциями, то периодические ре- шения у(х), з(х) ищем с тем же периодом в виде 44 у(х) = — + 2 аосоз 2!ох+ Ьо ып2йх, 2 з(х) = — + 2 сосоо2йх+ 1!го!о 2йх. со 1=1 Подставив написанные ряды в уравнения и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, получаем: (4» + 3)ао+ 5со = О, — (4» +3)Ьо — 541 — — —, О »24 (8 — 4й )со + бао — —, (8 — 4» )4» + 6Ьо = О, ао = со = О, откуда находим 4 — 2»' йг(8йо — 10йг + 3) 3 йг(8»4 — !Ойг + 3)' 5 2йг(8й4 10йг+ 3)' 3+ 4й 2йг(8»4 — 10»г + 3) Таким образом, 5 соз 2»х + 4 (2 — йг) Мп 2йх 2!42(8»4 — 10»2 + 3> (3+ 4йг) соз2»х+ 6 ив 2йх 2(х>=-~— 2»2(8»4 !О»2+ 3) В задачах 559-562 найти 2 — 3 члена разложения решения по степеням малого параметра р.
559. у' = 4рх — у', у(1> = 1. ч Поскольку правая часп аналитична по у, д, то, согласно п.2.2 решение ищем в вице У(х >4) = Уо(х)+Руз(х)+>з Уг(х)+" Подставив ряд в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем з 2 4 г г Уо = -Уо, Уз = 4х — 2рорн Уг = — Уз — 2Уоугз (!) Приняв во внимание начальное условие, имеем: уо(1) 1 уз(1) — О У2(1) О (2) Теперь последовательно решаем рекуррентную систему (1), используя начальные условия (2); 1 г ! х 2х 1 32 уо(х) = -4 уз(х) = х — — 3 у2(х) = — — + — + — — — 2, х' ' хг' 7 3 хз 21хг 2б1 й 2. Авалатвчесвие пргоблимеивые метены 1 !г 1г г/ х 2х 32 ! у(х) ро + Р ~х — — ) + Р— — + — — — + — + ..
х г, хг) ~ 7 3 2!хг хг) Уо(!) = ! Уг(!) = Уг(1) = Последовательно интегрируя уравнения (2) и пользуясь условиями (3), накопим: г У1 = х — х, уг = — (! — х), б Наконец, подставляя (4) в (1)„приходим к решению поставленной задачи: у(х, Р) =1+ Р(х' — х) + Р'- (1 — х)'+ .... Ь б (3) (4) 561. у' = е" *+ Ру, у(0) = — Р. < Как и в предыдущем примере, имеем: У(х, Р) = Ус(х)+РУПх)+Р Уг(х)+ ..., где ! д'у уг(х) = —— 2 дрг р=о ду(х, Р) уо(х) у(х О) у3(х)— дР р=о д У~(х) = — Ур(х Р) д р=о ! д' ,1 Уг(х) — 2 д г Уо~ р=о уо(х) = у„'(х, О), Используя этн соотношения, из данного уравнения находим: оо-о г г Оо-о уо = е При этом начальные условия имеют вид: уо(0) = уг(0) = ... = О, у,(0) = -1.
(2) Иэ первого уравнения (1) следует, что е и = е '+ С,. В силу первого начального условия (2) Сг —— О, поэтому уо — — х. Далее, из второго уравнения (1) нетрудно найти уг — — Сге* — х — 1. Постоянную Сг определяем, пользуясь последним условием (2), что дает Сг = О. Следовательно, у, = -х — ! . Аналогично решаем задачу: уг = уг — х — 1+, уг(О) = О. (х+ 1) есть решение поставленной задачи.
М 560. ху' = Р*'+ (и у, у(1) = 1. М Принимая во внимание аналитичность правой части как функции переменных у, Р при у > 0 и пользуясь меюдом малого параметра, решение задачи ищем в виде У(хо Р) = Уо(х)+ Руг(х)+ Р Уг(х)+ (1) Далее, учитывая соотношения: у(х, 0) = уо(х), ду(, Р)~ д'у(, Р)1 = у!(х), = 2уг(х), в,=. ' ю 1„, дг у*(х, 0) =уо(х), — у',(х, Р) = у',(х), —,у',(х, Р) =2уг(х)~ из данного уравнения дифференцированием по параметру Р находим: г г В Уг Уг хуо=!пуо, ху', =х + —, хуг= — — —,, (2) уо' уо 2уо' Исходя из начальною условия у(1) = 1, из (1) получаем начальные условия для функций У„ г = О, со: 262 Гл. 5. Приблшкевиме методы решения двфферешшальиых уравнений Таким образом, окончательно имеем: 2 у(х Сг) = х Сг(ха !)+ (е — х -2х — 1)+ .. и 2 2 2 562 х=х+р(х -у) (У=У Сг( +У) х(0) = 1 — Сг, у(0) = Са м Подставляя в данные уравнения ряды < х(С, Са) = ха(С) + !ах!(С) -5С2 хг(С) + ..., у(С, р) = у П) + ру (П б р у (С) + и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях Сг, получаем: 2 ха — — ха, ха(0) = 12 х, = хг+ха — уаг хг(0) = — 12 хг = хг+ 2хат! — 2уау! Хг(0) = 02 2 2 уа —— уа, уа(0) = О, у, = у! — Ха — уа! Уг(0) = О, уг = уг — 2хах, — 2уау„уг(0) = 1.
Отсюда интегрированием последовательно находим: ха = е, уа = О; 2! ! 22„ х! .= е — 2е, у,=е — е 2! г! н в хг = е — 4е + Зе, уг = 4е — е — 2е . Таким образом, ряды (1) можно записать в виде; х = е + Са(е — 2е ) + р (е — 4е + Зе ) + ..., у = Са(е' — е ) + Са (4ев — ег' — 2е') б .... М ха(С) = япС. Принимая во внимание это значение, иэ второго уравнения системы (2) находим 1 1 хг(С) = Сп 5!пг/31+ С!! созгГЗС+ — — — со521. 6 2 Отсюда в силу требования 2я-периодичности функции х, имеем: 1 1 хг(С) =- — — — со521.
6 2 Анююгичным образом из третьего уравнения сисшмы (2) полу шем 1, 1 хг(С) = — -япЗС+ — япС. 6 2 Подставляя зм х„х„... в (1), приходим к искомому решению: х(С, Сг) = 5!и С + Са ~- — — со525) + Р ~ — Яп ЗС + — 5(пС) + ...Ь 'хб 2 ) 'х б 2 В ззлаЧак 563 — 566 с помощью малого параметра найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения.
563. х,'-Зх = 2япС+ рх'. м Согласно методу малого параметра, периодическое решение ищем в виде: х(С,С2) = ха(С) + Сгхг(С) + Са х,(С) + (1) гле х, (а = О, сю) — 22г-периодические функции. подставляя разложение (1) в уравнение и при- равнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем: йа+Зха =2япг, хг+Зх! — — ха, хг+Зхг =2хайг, г (2) Первое уравнение имеет общее решение ха(С) = Са йп 2/ЗС+ Си сох 2/ЗС+ Яп С. Поскольку требуется найти 2х-периодическое решение, то в последнем равенстве следует поло- жить Сю = Сх = О. Следовательно, 263 $2.
Аивлитичесвие прибзпьмхииые методы 564. х+ зх+ х' = 2рсоьс. м Подставляя ряд х(С, р) = х„(С) +Сьх3(С)+ р хз(С)+ ... в данное уравнение, известным способом получаем систему уравнений: ха + Зхо + хо = О, з 43 + Зхг + Зхозх, = 2 сов г, 2 2 хз + Зхз + Зхох3 ф Зхохз — О, 3 2 х3 + Зх3 + х3 + ЗхохЗ О из которой последовательно находим 2к-периодические решения: 3 1 хо(С) ь— а О, х~(С) = соьС, хз(С) зл О, хз(С) = — — соьС ф — соьЗС.
8 24 Следовательно, х(С,)3) = рсоьг+ — (,-соьЗС вЂ” Зсоьг) + .... М 8 3,3 Примечаяле. Нетривиальные решения уравнения Уо + Зхо + хо = О выражаются через эллиптические 3 функцп», не явдяюшиес» 2к-периодическими. 565. х+япх = сьяп21. < Как и в предыдущем примере, степенной ряд х(и2 С) = хо(С) +Сьх3(С)+ 12 хз(С) + ... подставляем в данное уравнение и получаем тождество по параметру Сь, из которого следует система уравнений: Уа + япхо = О, х, +х, соьхо = 5!п21, 2 Х3 хз 1-хосгжхо — — ьгпхо = О, 2 531 ) Хз+ хз — — соьхо — х3хзяпхо = О, 6) Первое уравнение в (1) имеет серию т-периодических решений: хм=йг, Себ Е. Второе уравнение дает 53П 21 хы ( — 1)" — 4' хз — О.
Из четвертого, имеющего вдд (-1) 5!и 21 аз+ (-1) хз = 6 И-1)" -4)3' следует х-периодическое решение (-1) ( яп 6С 4+ ( — 1) 24И-1)ь — 4)3 'ь 36 — (-'1)» 5 Таким образом рьт2С ( — 1)крз ~ япбг 4+(-1)" ьшгг~+ ....М ( 1)о 4'24И 1) 4 ~~36 (-1) 5 гсмвмчьгвм. доя получения системы (1) удобно пользоваться разложением ьгв(ха+ в) = 51пхосскв+ япвсоьве, гб4 Гл. 5. Приблшкеввые методы реяяввв лифферевцвальзявк уравнений где и = дха+д хр+ ..., а также 3 3 ! сова = ! — — в + — в — ...
2! 4! 3 ила=в — — и + 3. В Результате нмоем в!и(хо т в) = А яика + Всовхо, А=! — — ха — д ваха+ ..., В=дха+д хз+ д 3 з г 2 Ф 3 з ... — — ха+ б (2) (3) хо(т) = Асов(т+ уз) 566. х + х = яп ЗС вЂ” яп 21 + )ах~. М ПРЕДСтаыалл РЕШЕНИЕ В ВИДЕ РЯДа Х = Хо Ь Сава + ... ОтНОСИтЕЛЬНО фУНКЦИй Ха, Х, известным способом получаем систему уравнений; йо+ хо = яиЗС вЂ” яи21, 3 ха+ха = ха, ар + хз = 2хох„ Из первого уравнения системы (1) имеем: 1, ! хо = Асовв+Вял(+ — яи21 — — вшЗС, 3 8 где А,  — постаянные интегрирования. Эти постоянные мы определим, исходя из требопзния, чтобы в правой части второго уравнения системы (1) отсутствовали так называемые резонирую- щие члены. В данном случае резонирующими членами будут функции С яиС, сов!, поэтому в правой части ( 1 1 Х А+В А — В Асов! + Вял(+ — в!и 2! — — яп ЗС) = ч- сов 2С+ 1 сов 4! 1 сам бС А + — — + — — + АВ в!и 21 + — (в!и ЗС + в!и С)— 18 18 128 128 3 А,, В 1  — — (ми 41 + ми 21) — — (сов 21 — сов 41) — — (сов С вЂ” сов 5С) + — (сов! — сов ЗС) 8 8 24 3 следует полозкить А = О, В = 1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
