Антидемидович 5 - ДУ (1113366), страница 55
Текст из файла (страница 55)
— =!+с*'", — =1+йпху, х(0)=д(О)=1 гй ' «й а Поскольку х(!) = х(О)+ х(0)!+ — ! + — ! + ..., х (О) г х ~(0) э 2 6 д(г) = д(0) + д'(о)! + — !'+ — з + ..., у"(О), дх(О), то остается только найти значения производных в точке ! = О. Из уравнений системы имеем: х(0) = е, х (!) = 1+е*+"(х +у) = 1+е*+"(х +1+вихр), х (0) = 1+ е (е +1+яп1) у(0) =1+яп1, у (Х) =ссзху (ху+ху), д (О) =сгм! (е +1+ял1). *«(О) = е ((е + 1 + яп 1) + 1+ е + е + е яп 1+ е соз 1 + соз 1+ со« ! ° яп 1); у (!) = — япху (х у+ху)'+с«мху (х"у+2ху'+ау"), у (О) = — яп1 (е + 1+яп 1) +со«1.
(1+е +е +е з!п1+2е (1+яп1)+сэм! (е + 1+пи()). ° 543. Оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представляюшего решение уравне- ния у' = у — х с начальным условием у(0) = 1. а Используя уравнение и начальное условие, последовательно находим: у'(0) = 1> у«(х) = 2уу' — 1, у"(0) = 2у(0)у'(0) — 1 = 1, уы'(х) =2(уд')М Э = 2~,С~-«ух~(у')~ г ' =2~,С.-гуэ«Э(х)уи э «(х), «=« «=з «-г умг(0) = 2), С«гу!«э(0)ум «гг(0), и еч 3. «=з Покажем, что (уыэ(0)! < и!, и Е («(.
С этой целью воспользуемся методом математической ищгукции. Имеем (у'(О)( < 1, !у«(0)! < 1. Предположив, что !угм(0)! < Ь! для Ь = 3, 4, ..., (п-1), оценим «-г «-г -г )у~ э(0)) ~< 2~ С -г (у~ ~(0)((у~ ~(0)~ ~< 2) С„' гйй(п — Ь вЂ” 1)! =2(п — 2)!~ (и — Ь вЂ” 1) = пг, ««« «=е «=О Следовательно, согласно указанному методу, !умэ(0)( < и! Мп Е Ь(. С учетом доказанного неравенспе ллл коэффициентов степенного ряда 2' ,а„х", представля««з юшего решение в некоторой окрестности точки х = О, справедлива оценка: ( „( = — ~умэ(О)~ < !.
(1) 251 (1 2. Аиалитичесвве врвбмвяевиые машды Наконец, используя формулы Коши — Адамара — ' = !нп Яа ) „а также неравенство (1), для л радиуса В сходимости степенного рзща получаем требуемую оценку: Л>1. М В задачах 544 — 549 найти линейно независимые решения кюкдого из данных уравнений в виде степенных рядов. 544. у"-х'у=О. а ПосколькУ фУнкции Рв — — Рв(х) з— д 1, Р, = Р,(х) га О, Р, = Р,(х) = — х аналнтичны з Чх Е ( — со, +со) и рв(х) ~ О, то согласно п.2.1 существует аналитическое решение у = у(х), х Е ( — со, +оо).
Ищем его в виде рзща; у(х) = ~ а„х". (1) а=В Подставив у(х) в уравнение, получим тождеспю по х: и(п — 1)а„х" з — ~а„х"+ = О. =з =в Заменив ао второй сумме индекс суммирования по формуле и = и' — 4 (и' = 4, 5, ... ), имеем: н(п — 1)а„х" — ~ а„вх" = О, =з '=4 2аз+ базх+ ~ (п(п — 1)ах — ав в)х" = О. п=в Отсюда следует, по а, = аз = О, п(п — 1)а„— а„в = О.
Из рекуррентной формулы а„= а(лл=лП последовательно находим: ав а, ав аз ав= —, аз= —, ах=О, аз=О, ав= 43' 54' ' ' 87 8-74.3' аз а, ав = — =, а,в — — ап = 0 и т.д. 9 8 9 8 5 4' (2) Поскольку ав, а, — произвольные постоянные, то можем положить ав — — 1, а, = 0 или ав = О, а, = 1. Тогда согласно (1), (2), имеем два частных решения: в в 13 4.3 8.7 4 3 12 11 8 7 4.3 5 хв ~з 5 4 9 8.5 4 13 12 9 8 5 4 Очевидно, полученные степенные ряды сходятся Чх Е ( — со, +со). Решения у,(х), уз(х) линейно независимы, так как тождество у,(х) ы й~(х), й = сошг, невозможно (например, уз(0) = О, что противоречит определению у,(х)). Таким образом, решения уз(х), уз(х) образуют фундаментальную систему и общее решение данного уравнения представляется в виде: у(х) = Сзув(х)+Сзуз(х), х Е ( — со, +оо). > 545.
(1 — *')ул — 4 у' — 2у = О. и Поскольку функция 1 = 7(х, у, у') =,, * ~ ы, 4ху'+ 2у является аналитической по совокушвости переменных х, у, у' (х зе +1), то сущее в тические решения данного уравнения при х ~ х1. Найдем эти решения сначала в некоторой окрестности нуля (х = О), т.е. будем искать их в виде у(х) =ос+а,х+азх + .... з 252 Гл.
5. Приближенные мепиы решения двффереицвальвык уравнений Подставив написанный ряд в данное уравнение, получим тожаество по х: ~ и(и — Ца„х" — 2, и(и — 1)а„х" — 4 2 иа„х" — 2 ~ а„х" = О. =г «=г ««! =о Заменив в первой сумме индекс суммирования л на и+ 2, перепишем тождество в таком виде: (и + 2)(и + 1)а„ых" — ~ л(л — 1)а„х" — 4 ~ иа„х" — 2 ~ а„х" = О «=! Следовательно х х !! уг(х) =1- — — — — — х'- ...
2 2 24 Положив ао —— О, а, = 1, аналогично получаем! 5 3 а!=1, а!= —, 6 ао= 1) ) поэтому 5 г 3 уг(х) = а+ и + — х + — х + .... 6 4 Поскольку функция * )-) ~), аналитична при * оа 1, то полученные ряды сходятся только при )х! < 1. Для получения частных решений при произвольных * то 1 произведем замену х = 1+ хо, где хо ~ 1, и будем искать частные решения в шше: у(1) = ~ а„е", 1 = ° — °, =о 2аг+ бага — 2ао — ба,х+ 2 ((и+ 2)(и+ 1)а„«г — л(и — 1)а„— 4иа„— 2а„)х" гл О. «=г Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем: аг=ао, а!=он а«г=а„, и=2,3,.... Пусть ао = 1, а, = О, тогда аи — — 1, а,гы —— О, й = О, ос.
Следовательно, г « г' ! г' Аналогична, если ао — — О, а, = 1, то получим агг — — О, агам = 1. Поэтому у,(х) = х + х + х + ... = , (х! < 1. 1 — хг Нетрудно видеть, что функции уг, уг являются решениями данного уравнения н при !х! > 1.
и 54б. (1 — х) у" — 2у'+ у = О. М Как и в предыдущем примере, сначала ищем решения в некоторой окрестности точки х = О, т, е, в виде 2, а„х". Подсшвнв рял в уравнение, получаем тождество по х; ««о и(и — 1)а„х" — ~ л(л + 1)а„х" ' — 2а! + 2 а„х" : — О. «=.г ««г «=о Заменив в первой сумме индекс суммирования л на и+ 2, а во второй — л на и+ 1, имеем: 2 (и+ 2)(л+ 1)а„«гх" — ~ (л+ 1)(и+ 2)а„«)х — 2а, + 2 а„х" = О, ««о ««! =о откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получаем; 2аг — 2а, +ос=о, (л+2)(л+1)(а„«г — а«ы)+а„=о, и 6 К (1) Пусть а! —— О, ао — — 1. Тогда нз уравнений (1) найдем: 1 1 П а!= — —, а!= — —, ао= — —, 2' 2' 24' $2. Аналитические првблнжевиме методы 255 После выкладок, аналогичных проделанным выше, приходим к таким частным решениям: уг(х) — 1 (Х ХО) (Х ХО) 11 + ХО 4 (х хс) ) 2(1 — ХО) 2(1 — ХО)' 24(! — ХО)' г 5+ХО З+ О 4 уг(х) = (1 — хс)(х — хс) + (х — ХО) + (Х вЂ” ХО) + ,(х-хс) +" 6(1 — ХО) 4(1 ХО)г Поскольку радиус сходимости В полученных рядов определяется расстоянием от точки ! = О до особой точки функции ! 4-4 )' —.
~, то В = !1- хс(, следовательно, функции у„уг определены при всех х, удовлетворяющих неравенству !х — хг) < 11 — хс1 из этого неравенства следует, что фУнкпии уг, Уг описьпмют все частные решения данного уравнениЯ пРи любых х и 1. !О Эвмачааве. В праамаущем примере иам угхлссь прссуммирохпь степенные рялм н, таким образом, найти аналитячесхне функции, являющиеся решениями лнфференцналыюго уравнения и лрн лругнх вогмонных х, па„— а„, (и+ 2)(п+ 1)' п = 1, сю.
аг =О, Отсюда, полапщ ае — — 1, о, = О, находим: 1 а,=--, а4=0 6' Аналогично, полагая а, = О, а, = 1, имеем: 1 1 1 аг = -, о4= — —, О34Π—, 6' 12' 40' Следовательно, частные решения представляются в виде: 3 уг(х) = 1 +. 6 40 х4 уг(х) = х + — — — + .... м 6 12 548. Ху" + у!и(1- х) = О. м Пользуемся разложением хг хг !п(1 — х) = — х+ — + — + ..., -1 « * ! 2 Э О ищем частные решения в виде у(х) ос + огх + огх + 03х + г 3 ()тносизельно коэффициентов извеспгым путем получаем систему уравнений: 1 ! 1 2аг — оа = О бог — аг — — ос = О !2а — — вг — ог — — ос = О > 3 яз которой, пояыая ас = 1, ог — — О, получаем 1 1 5 аг=-, аг= —, а4= —, 2' 12' 72' 547.
ух - ху'+ ху = О. м Поскольку ре(х) ш 1 Ф О, функции р, = рг(х) = -х, р, = рг(х) = х — аналитические, го уравнение имеет частные решения, которые образуют фундаментальную систему и являются аналитическими функциями при всех х б (-ос, +ею). Степенной ряд у(х) = ~3„ о„х", и О а виде которого мы будем искать частные решения, сходится при всех х. Подставляя в ланное уравнение ряд и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему относительно чисел о„: 254 Гл. 5. прибюожевиме методм решеюи дифференциальных уравнений Следовательно, первое частное решение имеет вид: 1 2 1 3 уэ(х) =!+ — х + — х 2 12 Для получения второго частного решения полагаем найдем 5 + — х +....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
