Антидемидович 2 - ряды (1113363)
Текст из файла
Глава 1. Ряды 01. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 82. Признаки сходимости знакопеременных рядов 83. Действия над рядами 84. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов 85. Степенные ряды 58 86. Ряды Фурье 79 87. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 96 Глава 2. Дифференциальное исчисление функция векторного аргумента 81. Предел функции. Непрерывность 82.
Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента. 03. Неявные функции 94. Замена переменных 85. Формула Тейлора 86. Экстремум функции векторного аргумента Ответы 3 3 25 38 40 113 113 124 147 167 186 196 220 ИИЛя«<ко, А.КБоярчук, ЯГГай ГЛГоловач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: РЯДЫ, ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА Справочное пособие по высшей математике. Т. 2 М.: Ел>порвал УРСС, 2003. — 224 с.
<<Справочное пособие по высшей математике>> выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики— математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу» и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций векторного аргумента. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Глава 1 Ряды ~1.
Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 1.1. Общие понятия и определения. Определение 1. Прешь а„— произвольныг злгмснты линейного пространство Е, в котором определено сходимостсэ и б Ы. Рядом элементов а„называют выражгнис аз + аз + ... + а„+ .. = ~ ~а„, а злгмснты а„— его члгнамо. В частноспзи, если а б !й или а„б С, пю ряд(1) называют числовым.
Определение 2, Сумма и первых членов ряда (1) называгшся частичной суммой и часто обозначается через В„, гл.г. Б = аз+ аэ + ... + а . Определение 3. Если сущсствусгп конечный предел !ио В =В, ВбЕ, то ряд (1) сходится в Е, а элемент 5 называют суммой ряда. Если !пп Вь = со или нг сущссгпвуст, пзо ряд (1) называют расходящимся. Определение 4. Ряд (2) а ь= эз называсшся и-м остатком рядо (1) или остатком после и-го члвна. Ряд (1) сходится или расходится вместе со своим остатком, поэтому часто нрн исследовании вопроса о сходнмости ряда вместо него рассматривают и-й остаток.
Определение б. Пусть аь б !й. Если а„> О, то ряд (1) называют положит сльным; если а„> О, п б И, шо ряд (1) называют строго положит гльным. 1.2. Необходимое Условие сходимости ряда. Для того чтобы ряд (1), п.!.1, сходился в Е, необходимо, чтобы йзп а„ж й, й б Е, и ю где й — нулевой элемент линейного пространства Е. 1.3. Критерий Коши. Дуста ь есть !й или С, для того чтобы ряд (1), и, 1.1, сходился в Е, необходимо и досках~ э» ч обы у > О Эпо такое, что уп > по ЛЗгр б р! выполнялось бы неравенство )В+, — Вп(ж! + + аз+ "+в+э)( Гл. 1. Рады 1.4. Обобщенный гармонкчесюй ркд.
Определение. Числовой ряд 1 называется оБоБщенным гармоническим рядом, а яри р ы 1 — гармоническим, Он сходится при р > 1 и расходится при р ~ (1. 1.5. Признаки сравненбя чнсловых рядов. Теорема 1. Если ряды (1), и. 1.1, и Пп1 положительны и ап ( Ьп гп > пе, то из сходимости ряда(1) настоящего пункта вытекает сходимосзпь ряда(1), п. 11, а иэ расходимости ряда(1), п. 11, вьзтекает расходимоспзь ряда (1). Теорема й. Если ряды ~ ап и ~Ьп строго положительны и Чп > пэ выполняются неравенства аэз ЬЕ1 — <— ап Ьп тв справедливы вьиоды предыдущей теоремы.
Теорема Я. Если ряды ~ап и ~ Ьп строго полоыительны и ап Еш — = с, О < с < +со, Ьп то они сходятся или расходятся одновременно. Теорема 4. Если при п -+ оо „=о*( — '), то при р > 1 ряд (1), и. 1.1, сходится, а при р ( 1 расходится. 1.6. Признаки дзАламбера н Колэн. Если ряд (1), п.1Л „строго положителен и Мш — = Е, оп+1 п-эп ап ао при Е < 1 этот ряд сходнтсв, а при Е > 1 расходится. При Е = +со ряд (1), п.1.1, также расходится, а если Е ы 1, то вопрос о сходимостл ряда остаегсл открытым (признак д'АламБера е предельное форме). Если ряд (1), п.1.1, положителен и бш Г(а„ы Е, то относительно сходкмости ряда (1), п.1.1, делаем те же выводы, что и в признаке д'Аламбера (признак Коши е простебшей предельноб форме).
Ыт. Прнзнак Раабе. Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и 1по и — — 1 =р, то прн р > 1 он сходится, а прн р < 1 расходится. Прн р = +оо ряд (1), п, 1,1, схопвтся, а если р 1, то для взгяскення вопроса о его сходнмостн нлк расходнмостк слезП1ет прнмеияэз другке прищеми. 11. Числовме ряды. Признаки сходимости зиакопостояиных рядов 5 Если функция у иеотрицательна при х > 0 и не возрастает, то ряд 2 г(п) сходится или =1 расходится одновременно с несобственным интегралом Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы: 1. — + — +...+ 1 4 4 7 (Зо — 2)(зп + 1) М Покажем, что сходится последовательность частичных сумм (5„) этого ряда: 1 1 1 5„ж — + — + ...
+ 1 4 4 7 (Зо — 2)(зп+1) Для этого с помощью очевидных преобразований приведем 5 к виду Легко видеть, что последовательность (б») сходится, т.е. сходится, по определению, данный числовой ряд. Сумма его Я = йщ 5 = йщ — (1 — ) = —. В З (, Зп + 1) З 2. а) дала+ дэ ил2а+ ... +д" зщпа+ ...: б) дсоза+ да сов 2а+ ... + д" созна+ ...; (д( < 1. и Пусть (о„) и (е„) — последовательности частичных сумм рядов б) и а) соответственно, е и е — их суммы Тогда. использовав формулу Эйлера е'т ж соз я+ ~ зщ да можем написать я »+1 д 40 т 2 эя и„+дэ» = де' + д е ' + ... + д е' 1 — де'» Принимая во внимание условие )д( < 1, имеем )де' ( < 1; отсюда следует, что Б»+1 ц»з П») 0 (д е » А тогда иэ предыдущей формулы находим де'» ( соз а — д япа и + го = йщ (э + эе») = —, +э » 1-де' т 1 — 2дсоза+дэ 1 — 2дсоза+дэ Поэтому соз а — д и =д 1 — ' 2д оси а + дэ 3 ~~~,(»го+2 — зт/в+1+ т/в).
дива з= 1 — 2д соз а + дэ » з 1.8. Привили )Гаусса. Если ряд (1), тв.'1.1, строго яеложителен и д р» яд+ — +,+,, л, дж сонет, о»+1 в в'+' где е > О, (В ( < с, то прм А > 1 рлд (1), п.1.1, сходится, а при 2 < 1 расходится. Если же 1 = 1, то ряд сходится при и > 1 и расходится при д < 1. 1.0. Интегральный признак Коши — Маклорена.
Гл. 1. Ряды и Непосредственно находим б = (ъ/3 — 21/2+ 1) + (!/4 — 2ъ'3+ ъ/2) + (Л вЂ” 21/4+ ъ'3) + ... + + (ъ/и — 22/и - 1 + ъ и - 2) + (!/я + 1 — 22/»+ !/з- 1) + (ъ/н + 2 — 2 /и + 1 + 1/и) = 1 =1 — ъ/2+2/н+г — / +1=1 — ъ2+ ъ/о + 2+ ъ'» + 1 Следовательно, Я= Вш Я =1 — 1/2.М 4. Исследовать сходимость ряда ~ маля. »1 и 1!усть х ~ )ст (1 — целое) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое условие сходнмости ряда: йш ип ох = О, х ф )ст. (1) » Отсюда следует, что йгп ыл(»+1)х = О, или йш (нпкксозх+созптыпх) = О. Принимая во внимание (1), из последнего соотношения находим, что (2) йш сов ох = О, х ф )ст.
Из (1) и (2) получаем равенство )пп (соз»я+зги»2) = О, г . г которое противоречит известной формуле зш о+ соз а = 1. Источник противоречия — фор- 2 г мула (1). Следовательно, если х ~ йт, то данный ряд расходится. Сходимость же ряда прн х = )гт (й — целое) очевидна, и сумма такого ряда равна нулю. > р„.р, -1 5. Доказать, что если ряд ~2 а сходится, то ряд ~ А, где А„= 2 а„рг = 1, !»1 »1 »Р рг < рг < ..., полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. ч Нз сходимости ряда ~ а вытекает существование предела любой подпоследователь- »1 ности последовательности его частичных сумм, равного сумме ряда Я. Возьмем эту подпоследовательность в виде а, = Брг, аг +аг + ...
+ ар, 1 = .5рг, з1 +з2+ ... +зр2 1+Яр!+ ... +Яр!-1 =Яр!, ... з1+о2+ ... +ЙР ! -1 =~Р 1. Тогда )гш Яр„— ш о' по условию. Но так как последовательность частичных сумм второго ряда А! +Аз + ... +А равна Вр,ю, то йш (А! + Аз + ... + А») также равен б, что и требовалось доказать. Обратное утверждение неверно, так как из сходимости подпоследовательности еще не вы. текает сходимость самой последовательности. Возьмем пример. Пусть а» Р» (-1)"ш ряд РО 2 '( — 1)»+', очевидно, расходится, хотя, напримеР, Ряд Х (1 — 1), получаемый из предыду- »1 »=1 щего в результате группировки его членов по два, сходится. М 6.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
